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課時分層訓練(十一)　一定是直角三角形嗎
知識點一　勾股定理的逆定理
1．△ABC的三邊長分別為a，b，c，若滿足a2＝b2＋c2，則△ABC的形狀為(　C　)
A．等腰三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．銳角三角形
2．如果將直角三角形的三條邊長同時擴大為原來的5倍，那么得到的三角形是(　C　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．不能確定
解析：設原直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則a2＋b2＝c2，
因為三條邊長同時擴大5倍，
所以擴大后的三條邊長為5a，5b，5c.
所以(5a)2＋(5b)2＝25a2＋25b2＝25(a2＋b2)＝25c2.
因為(5c)2＝25c2，
所以(5a)2＋(5b)2＝(5c)2.
所以如果將直角三角形的三條邊長同時擴大5倍，那么得到的三角形是直角三角形．
故選：C.
3．已知△ABC的三邊長分別為5，12，13，則△ABC的面積為　30　．
解析：因為△ABC的三邊長分別為5，12，13，
所以52＋122＝132.
所以△ABC是直角三角形，兩直角邊長分別是5，12.
所以△ABC的面積為×5×12＝30.
故答案為：30.
4．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，如果△ABC和△CDE的頂點都是網(wǎng)格線的交點，那么∠BCA＋∠DCE＝　45°　．(填度數(shù))
解析：如圖，連接AD.
易知由勾股定理，得AD2＝12＋32＝10，CD2＝12＋32＝10，AC2＝22＋42＝20，
所以AD＝CD，AD2＋CD2＝AC2.
所以△ACD是等腰直角三角形，且∠ADC＝90°.
所以∠CAD＝∠ACD＝45°.
觀察圖形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，
所以∠BCF＝45°，∠ECG＝45°.
所以∠BCA＋∠DCE＝180°－45°－45°－45°＝45°.
故答案為：45°.
5．如圖所示的一塊鐵皮(陰影部分)，測得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°.求這塊鐵皮(陰影部分)的面積．
解：如圖，連接AC.
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
所以由勾股定理得AC＝10.
因為CD＝24，AD＝26，AC＝10，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.
所以S陰影＝S△ACD－S△ABC＝×10×24－×6×8＝120－24＝96.
故這塊鐵皮(陰影部分)的面積是96.
知識點二　勾股數(shù)
6．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(　D　)
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5
C．7，12，13 D．18，24，30
7．滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．寫出你比較熟悉的兩組勾股數(shù)：①　3，4，5　；
②　6，8，10(答案不唯一)　．
8．(1)請你觀察下列勾股數(shù)：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；…；分析其中的規(guī)律，直接寫出第4組勾股數(shù)：　(9，40，41)　.
(2)若a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，其中n＞2且n是正整數(shù)．試說明：以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形．
解：(1)通過觀察得：
第1組勾股數(shù)為2×1＋1，2×12＋2×1，2×12＋2×1＋1；
第2組勾股數(shù)為2×2＋1，2×22＋2×2，2×22＋2×2＋1；
第3組勾股數(shù)為2×3＋1，2×32＋2×3，2×32＋2×3＋1；
所以第4組勾股數(shù)為2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41.
故答案為：(9，40，41)．
(2)因為a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，
所以b2＋c2＝(4n)2＋(n2－4)2＝16n2＋n4－8n2＋16＝n4＋8n2＋16＝(n2＋4)2＝a2，
即b2＋c2＝a2.
所以以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形．
9．下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　B　)
A．∠A＝∠B＋∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．a(chǎn)2＝(b＋c)(b－c)
D．a(chǎn)∶b∶c＝5∶12∶13
解析：A．因為∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；
B．設∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根據(jù)題意，得3x＋4x＋5x＝180，解得x＝15，則5x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意．
C．因為a2＝(b＋c)(b－c)，即a2＝b2－c2，所以b2＝a2＋c2.所以△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意；
D．因為52＋122＝132，所以△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意．
故選：B.
10．如圖，在一個6×6的正方形網(wǎng)格中，有三個格點三角形(頂點在網(wǎng)格的交點上)，其中直角三角形有(　C　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
解析：由題圖可知：左上第一個三角形：(12＋22)＋(12＋22)＝12＋32，故此三角形是直角三角形；
右上第二個三角形：(12＋22)＋(12＋32)≠22＋32，故此三角形不是直角三角形；
第三個三角形：(22＋22)＋(32＋32)＝12＋52，故此三角形是直角三角形．
綜上，直角三角形的個數(shù)是2.
故選：C.
11．若三角形三邊長滿足a∶b∶c＝3∶4∶5，且三角形周長為24 cm，則這個三角形最長邊上的高為　 cm　．
解析：因為a∶b∶c＝3∶4∶5，
所以設三邊長分別為a＝3x cm，b＝4x cm，c＝5x cm.
因為周長為24 cm，
所以3x＋4x＋5x＝24，解得x＝2.
所以三邊長分別為a＝6 cm，b＝8 cm，c＝10 cm.
因為62＋82＝102，
所以三角形是直角三角形．
設最長邊上的高是h cm，根據(jù)題意，得×6×8＝×10×h，
解得h＝.
故答案為： cm.
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，則四邊形ABCD的面積是　36　．
解析：如圖，連接AC.
在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，
所以由勾股定理，得AC＝5.
在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5.
因為122＋52＝132，即AD2＋AC2＝CD2，
所以△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°.
所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AC·AD＝×4×3＋×5×12＝6＋30＝36.故答案為：36.
13．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點D，BD＝1，CD＝2，AD＝4.試說明：∠ACB＝90°.
解：因為CD⊥AB，垂足為點D，BD＝1，CD＝2，AD＝4，
所以BC2＝BD2＋CD2＝12＋22＝5，AC2＝AD2＋CD2＝42＋22＝20.
因為AB＝AD＋BD＝4＋1＝5，
所以AB2＝25＝20＋5＝AC2＋BC2.
所以△ABC是直角三角形．
所以∠ACB＝90°.
【創(chuàng)新運用】
14．已知整式A＝n2＋1，B＝2n，C＝n2－1，整式C＞0.
(1)當n＝1 999時，寫出整式A＋B的值　4×106　；(用科學記數(shù)法表示結(jié)果)
(2)求整式A2－B2的值；
(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當n取正整數(shù)且n>1時，整式A，B，C滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．
解：(1)A＋B＝n2＋1＋2n＝(n＋1)2，當n＝1 999時，
原式＝(1 999＋1)2＝2 0002＝4×106.
故答案為：4×106.
(2)A2－B2＝(n2＋1)2－(2n)2
＝(n2)2＋2n2＋1－4n2
＝(n2)2－2n2＋1
＝(n2－1)2.
(3)嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確．理由如下：
因為B2＋C2＝(2n)2＋(n2－1)2
＝4n2＋(n2)2－2n2＋1
＝(n2＋1)2，
所以B2＋C2＝A2.
所以當n取正整數(shù)且n>1時，整式A，B，C滿足一組勾股數(shù)．
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