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課時分層訓(xùn)練(十二)　勾股定理的應(yīng)用舉例
知識點一　勾股定理的應(yīng)用
1．如圖，在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開原來的位置2尺遠，則湖水的深度是　3.75　尺．(“尺”是我國古代的一種長度單位)
解析：若設(shè)湖水的深度為x尺，則荷花的長是(x＋0.5)尺．
在Rt△AB′C中，根據(jù)勾股定理，得＝x2＋22，解得x＝3.75.
所以湖水的深度為3.75尺．
故答案為：3.75.
2．如圖，在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，村莊C到取水點A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通了，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H(A，H，B在一條直線上)，并新修一條路CH，測得CB＝3 km，CH＝2.4 km，BH＝1.8 km.求原來的路線AC的長．
解：因為CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，CB2＝32＝9，
所以CH2＋BH2＝CB2.
所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°.
所以∠CHA＝90°.
所以AC2＝AH2＋CH2.
因為AB＝AC，
所以AH＝AB－BH＝AC－1.8.
所以AC2＝(AC－1.8)2＋2.42，解得AC＝2.5.
所以原來的路線AC的長為2.5 km.
知識點二　勾股定理與最短路徑問題
3．如圖，圓柱的底面周長為24 cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6 cm，P是BC上一點，且PC＝5BP，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是　13 cm　.
解析：圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，連接AP，則線段AP的長是螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點P的最短距離．
因為BC＝6 cm，PC＝5BP，
所以PC＝5 cm.
因為圓柱的底面周長為24 cm，
所以AC＝12 cm.
在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP＝13 cm.
故答案為：13 cm.
4．如圖是某滑雪場U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣AB＝CD＝16，點E在CD上，CE＝4.若一名滑雪愛好者從點A滑到點E，求他滑行的最短距離．(π取3)
解：中間可供滑行部分的展開圖如圖所示．
易知AD＝×3×(3×2)＝9.
因為AB＝CD＝16，CE＝4，
所以DE＝CD－CE＝16－4＝12.
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE＝15.
故他滑行的最短距離約為15.
5．如圖，要在河邊l上修建一個水泵站，分別向A村和B村送水，已知A村、B村到河邊的距離分別1 km和3 km，且CD相距3 km，則鋪水管的最短長度是　(　A　)
A．5 km B．4 km
C．3 km D．6 km
解析：如圖，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接BA′與直線l交于點P，此時PA＋PB的值最小．作A′E∥l，交BD的延長線于點E.
在Rt△A′BE中，因為A′E＝3 km，BE＝1＋3＝4(km)，
所以由勾股定理，得A′B＝5 km.
因為PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝5 km，
所以PA＋PB的最小值為5 km，
即鋪水管的最短長度是5 km.
故選：A．
6．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一道題，其譯文大意為：某秋千的示意簡圖如圖所示，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺(AC＝1尺)，將它往前推進兩步(EB＝10尺)，此時踏板升高離地五尺(BD＝5尺)，求秋千繩索OB的長度．(“尺”是我國古代的一種長度單位)
解：設(shè)OA＝OB＝x尺．
因為EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
所以EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，
OE＝OA－EA＝(x－4)尺．
在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺．
根據(jù)勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102，
解得x＝14.5.
所以秋千繩索OB的長度為14.5尺．
【創(chuàng)新運用】
7．如圖，居民樓A到鐵路CM的距離為160 m，居民樓A與車站C的距離AC＝512 m，若火車經(jīng)過時，周圍200 m內(nèi)會受到火車噪聲的輕微干擾．
(1)通過作圖說明居民樓A為什么會受到經(jīng)過的火車噪聲的影響；
(2)若火車的速度為30 m/s，求一列火車經(jīng)過時，該居民樓受到噪聲影響的時間．(火車車長忽略不計)
解：(1)如圖，作AB⊥CM于點B.
易知AB＝160 m＜200 m.
所以居民樓A會受到經(jīng)過的火車噪聲的影響．
(2)如圖，設(shè)火車行駛到點D時，恰好AD＝200 m，該居民樓開始受到噪聲影響；火車行駛到點E時，恰好AE＝200 m，該居民樓即將不受到噪聲影響．
因為AD＝200 m，AB＝160 m，∠ABD＝90°，
所以根據(jù)勾股定理，得BD＝120 m.
所以DE＝240 m.
240÷30＝8(s)，
所以一列火車經(jīng)過時，該居民樓受到噪聲影響的時間是8 s．
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