資源簡介

內江六中2025-2026學年（上）高2027屆入學考試
數學試題
考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、單項選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知復數，則的虛部是（ ）A. B. C. D.
2. 為普及居民的消防安全知識，某社區開展了消防安全專題講座．為了解講座效果，隨機抽取14位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份消防安全知識問卷，這14位社區居民在講座前和講座后問卷答題的得分如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
（第2題圖） (第7題圖) (第10題圖)
A. 講座前問卷答題得分的中位數小于70 B. 講座后問卷答題得分的眾數為90
C. 講座前問卷答題得分的方差大于講座后得分的方差 D. 講座前問卷答題得分的極差大于講座后得分的極差
3. 已知，則（ ）A. B. C. D.
4. 已知向量，，若，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
5. 要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度
6. 位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距30海里的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待救援．甲船以15海里/小時的速度沿正東方向前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏東45°方向的C處的乙船，此時C處的乙船測得漁船位于自己的北偏東30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙兩船同時到達救援處，則乙船的速度為（ ）
A. 海里/小時 B. 海里/小時 C. 海里/小時 D. 海里/小時
7. 如圖所示，某圓臺型木桶（厚度不計）上下底面的面積分別為和，且木桶的體積為，則該木桶的側面積為（ ）A. B. C. D.
8. 定義行列式，已知函數，若在區間上，始終存在兩個不相等的實數，，滿足，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每個小題的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，事件“兩次擲出的點數之和是”，事件“第一次擲出的點數是奇數”，事件“兩次擲出的點數相同”，則下列結論正確的是（ ）
A. 與互斥 B. C. D. 與相互獨立
如圖，在中，點D為的中點，點E為的四等分點（靠近點C），，，，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D. 是在上的投影向量
11. 化學中經常碰到正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式） 金剛石等的分子結構.將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為2，則（ ）
A. 正八面體的內切球表面積為
B. 正八面體的外接球體積為
C. 若點為棱上的動點，則的最小值為
D. 若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值
三、填空題（本題共3個小題，每小題5分，共15分.）
12. 按斜二測畫法得到，如圖所示，其中，那么的面積為______．
13. 著名數學家歐幾里得《原本》中曾談到：任何一個大于1的整數要么是質數，要么可以寫成一系列質數的積，例如．已知，且均為質數，若從中任選2個數，則這兩個數之和小于10的概率為_______．
14. 中，，點為平面內一點，且分別為的外心和內心，當的值最大時，的長度為__________.
四、解答題（本題5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 本小題13分已知復數，，且為純虛數．
（1）求復數；
（2）設，在復平面上對應的點分別為為坐標原點．求向量在向量上的投影向量的模．
16. 本小題15分在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；（2）若∠BAC的角平分線交BC于點D，且，求面積的最小值．
17. 本小題15分文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者，遵義市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第80百分位數；（2）求樣本成績的平均數，中位數和眾數；
（3）已知落在的平均成績是55，方差是7，落在的平均成績為67，方差是4，求兩組成績合并后的平均數和方差.
18. 本小題17分在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c滿足．
（1）求B；（2）若，，求的面積；（3）求的取值范圍．
19.本小題17分“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”.如圖1，三個內角都小于的內部有一點P，連接PA，PB，PC，求的最小值.我們稱三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點為費馬點.要解決這個問題，首先應想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據“兩點之間，線段最短”，就可求出這三條線段和的最小值.某數學研究小組先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，發現通過旋轉可以解決這個問題，具體的做法如圖2，將繞點C順時針旋轉，得到，連接PD，BE，則BE的長即為所求，此時與三個頂點連線恰好三等分費馬點P的周角.同時小組成員研究教材發現：已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量
已知平面內點，，把點B繞點A沿順時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標;
在中，，，，借助研究成果，直接寫出的最小值;
已知點，，，求的費馬點P的坐標.內江六中高2027屆高二第一學期入學考試數學試題參考答案
122:1號（或04：14【省案）22【解折1【帶g1由歷C=分，元C-日所以
2
1.B.:2.B:3.B:4.A:5.D:6.A:7.D:8.【答案】C【詳解】由題中所給定義可知，
1
f (x)=4sinx+2cosx+2sinxcosx +2a 2sinx+2+sin2x+2a
歷+PCBC主0，所以P在BC的直平分載上，設K為BC的中點，可得水+K8):2BK方
2BR=1
BC
AB
3+2a+sm2r-2r=3+2a+V22x當xe0時，2xe至
人=之所以BK=從而C=1，由正弦定理可得
2
sin∠BAC sin∠ABC
，所以
4
sin∠BHC-BCxsin∠4CB-5in∠ACB,當sm乙ACB=-l,(Sm∠BAOm
2
,又要使tan∠BAC的
AB
2
2
所以22x--,所以)a+2,2a+個，當a2-1時，
2a+220,
值最大時，則∠BAC為銳角，所以∠B4C=子從面△BC為等腰直角三角形，所以4C=1,所以O、H均在
f)fk)2a+2,(2a+4）,所以(2a+2<號<(2a+4,解得-1sa<4
斜邊AB的垂直平分線上，即OH為內切圓的半徑，設內切圓半徑為r,所以二(AC+BC+AB)r
2
-2AC.BC,
當所子（ +4，解-子a<小候上a的k信面湖（子》放適：C
3010r-分g2g22,0m2點
2
15.【小問1詳解】因為z=3+mi,所以z,=(1+3i)z=(1+3i(3+mi=3+mi+9i+3mi2=3-3m+(9+m)i,
9.BCD;10.AD;11.【答案】ACD【詳解】對于A項，設該正八面體內切球的半徑為r,由內切球的性質可知正
八面體的體積y=8x××2x2×sin60°r=2××2x2×√2-(N2列，解得r=Y6,故它的內切球表面積為
a分又調為：為寶數所日。G分)解別m1.所：：6分
32
3
【小問2詳解】由(1)可知，z=3+i,z2=(3+i)2=8+6i,所以A3,1),B(8,6),(8分，各1分)
4π×
(6_8不，放A項正確：對于B項，設該正八面體外接球的半徑為R,由圖知。4BCD是正方形
=
3
3
所以OA=(3,1),OB=(8,6),(9分)
OM=OB=0C=OD=5x2=V5,在Ri△E0B中，OE=VBB-OB-2,利用對稱性知OF=V5,放點
所以向量OA在向量OB上的投影向量的模為
0A.08_3×8+1x6_30=3.(13分)
2
0B82+6210
0為正八面體外接球的球心，則R=2,所以正八面體外接球的體積為8V2n,故B項錯誤：對于C項，如圖，16.【小間1詳解】c0sA_c0s1,由正弦定理可知：sin11-c0s4_5
sinA(sinBcosC+sinCcosB)
3
2
2
2
因△ABE與△BCE是邊長為2的全等的正三角形，可將aBCE翻折到aBCE',使其與△ABE共面，從而得到一個(2分)又sin4>0,化簡得：1-cosA=V5(sinBcosC-+sinCcosB),即1-cosA=V5sin(B+C)=5sinA,
菱形HBCE,連接AC與BE相交于點P,此時AP⊥EB,CP⊥EB,AP=CP=5x2=5,則AP+CP取得
2
4分)以.-24+1，即48片分)為4"質世
最小值為25，故C項正確：對于D項，易知AF11BC,因為4Fa平面EBC,ECC平面EBC,所以AF/平面A+=5紅，從而A=2；( 分)
66
BC,議Eyo成yY了×2x2x222。故D項
3
【小向2詳解】由題意可得：SBD+Sac4D=SA4c,且AD=l,即bsin+cS
2
m寫+2csin子-asim2紅，9分
32
3
故選：ACD.
化簡得b+c=bc,(10分)而b+c=bc≥2Wbc,解得bc≥4，等號成立當且僅當b=c=2,(13分)

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