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專題大招2 一元二次方程的特殊解法
大招1 十字相乘法
十字相乘法實際是因式分解法的一種.下面用例題 講解怎么使用十字相乘法.將從左到右各項標為A=a ,B=3a,C=-4.
(1)將A 項進行拆解，就例題來說，A項的拆解過程比較簡單，只要拆解為a·a；
(2)接下來拆解C項，此例題C項為—4，可拆解為—1×4、—2×2和—4×1這三種情況，碰到這種情況，至于要取哪種拆解結果，就要看接下來的計算結果，看哪種結果符合我們的拆解要求；
(3)這個步驟是十字相乘法的核心，十字相乘法這個名字的由來也是因為這個步驟，我們需要將在第1，第 2步驟的拆解結果進行十字相乘再相加，看計算結果哪個恰好等于 B 項，那么這個拆解結果就是我們想要的拆解情況.本例題我們所要的拆解情況就是A項為a·a,C項為-1×4.如圖,
(4)將我們得到的數據帶回到原方程中，這道題我們可以得到(a+4)(a-1)=0，由此即可得到方程的解.注意事項：十字相乘法熟練使用，對于數值比較小的題目，其速度優勢會很明顯，換句話說，當碰到數值很大的數據，并不建議使用這個方法，最好使用公式法.從考試中看，十字相乘法是解一元二次方程必要掌握方法，基本都會設置使用該方法的題目，所以很有必要掌握此種方法.
1.利用十字相乘法解方程：
(1)(2025·河南駐馬店期末)
(2)(2025·廣東梅州樂昌期末))
2.利用十字相乘法解方程：
(1)(2025·湖北咸寧赤壁期中
(2)(2025·海南瓊中期中
大招2 換元法
解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化.我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，當某個代數式幾次出現時，用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現.把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的.
3.(2025·河南南陽南召期中)閱讀下列材料：整體思想是數學解題中常見的一種思想方法.下面是某同學對多項式 進行因式分解的過程：
解：設
原式=y(y+2)+1(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
問題：
(1)該同學沒有完成因式分解，請你直接寫出最后的結果 ；
(2)請你結合以上的思想方法對多項式 進行因式分解；
(3)若( 求 y 的值.
4.(2025·山東濟寧梁山期中)閱讀下列材料：
解方程： 這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設 那么 于是原方程可變為
解這個方程得
當y=1時,
當y=5時,
所以原方程有四個根：
在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現了轉化的數學思想.
(1)解方程( 時，若設 則原方程可轉化為 ；
(2)若( 則 ;
(3)參照上面解題的思想方法解方程：
專題大招2 一元二次方程的特殊解法
1.(1)x -2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,
∴x-3=0或x+1=0,解得
(2)x -2x-15=0,∴(x-5)(x+3)=0,
∴x-5=0或x+3=0,解得
2.(1)3x -5x-2=0,∴(x-2)(3x+1)=0,
∴x-2=0或3x+1=0,解得
(2)2x -7x+5=0,∴(2x-5)(x-1)=0,
∴2x-5=0,x-1=0,解得
3.(1)(x+1) [解析]由題知
(2)令 ，則原式=
(3)令 則由 得(m+1)(m-1)=63,解得m=±8.
因為 所以m=8,則
(2)4 [解析]設 則原方程可變為t(t-1)=12,解得t =4,t =-3(舍去)，
設 則 原方程變形為
∴y -4y+4=0,∴(y-2) =0,解得
去分母，得
解得
經檢驗 和 是上述分式方程的根，
∴原方程的解為

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