資源簡介

21.2 解一元二次方程--因式分解法
基礎鞏固提優
1.(2025·湖南婁底婁星區期中)方程(3x—1)(2x+4)=0的解是( ).
A. 或-2 B. 2 D. 或2
2.方程 利用因式分解法解時可得方程（ ）.
A. (x+2)(x-3)=0
B. (x-2)(x+3)=0
C. (x-1)(x+6)=0
D. (x+1)(x-6)=0
3.(2025·重慶梁平區期中)一元二次方程 的根是 .
4.用因式分解法解方程 將左邊分解因式后有一個因式是x+3，則p 的值是
5.(2025·山東德州樂陵期中)小華設計了一個魔術盒，將任意實數對(a，b)放入其中，會得到一個新的實數 若將實數對(2x，-x)放入其中得到實數-1，則x 的值為 。
6.用因式分解法解下列方程：
(1)(2024·濱州中考)、
(2)(2023·廣州中考)
思維拓展提優
7.關于x的方程( 0的一個根是0，則m 的值是（ ）.
A. 7 B. - 3 C. 1或-3 D. 0
8.(2024·赤峰中考)等腰三角形的兩邊長分別是方程 的兩個根，則這個三角形的周長為（ ）.
A. 17或13 B. 13 或 21
C. 17 D. 13
9. (2025·江蘇連云港海州區新海實驗中學期中)對于兩個不相等的實數a，b，現規定 max{a,b}表示 a,b 中較大的數,例如max{1,2}=2.則方程max{2x,x+2}=x -4 的解為 .
10.(四川綿陽東辰國際學校自主招生)如果關于 x 的方程、x +2(a+1)x+2a+1=0有一個小于1的正數根，那么實數a 的取值范圍是 .
11.教材P17習題T6·變式用因式分解法解方程：
12.閱讀后解答問題.
答案解方程：
解：
拆項、分組，得
提公因式，得2x(x-2)+(x-2)=0,
再提公因式,得(x-2)(2x+1)=0,
所以x-2=0或2x+1=0,
解得
運用以上因式分解法解方程：
13.(2024·青海中考)(1)解一元二次方程: 4x+3=0;
(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.
14.如果關于x 的方程 有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”.例如，方程 2x=0的兩個根是 則方程 是“隔根方程”.
(1)方程 是“隔根方程”嗎 判斷并說明理由.
(2)若關于x 的方程 0是“隔根方程”，求m 的值.
延伸探究提優
15.轉化思想(2025·江蘇常州新北區北郊中學期中)我們知道，解一元二次方程，可以把它轉化為兩個一元一次方程來解，其實用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程，例如一元三次方程 可以通過因式分解把它轉化為 通過解方程x=0和 可得方程 0的解.
(1)方程 的解是 ,x = ;
(2)用“轉化”的思想求方程 的解；
(3)試直接寫出方程組 的解.
中考提分新題
16.(2024·涼山州中考)已知 x-3=0,則x的值為 .
因式分解法
1. A [解析]∵(3x-1)(2x+4)=0,
∴3x-1=0或 故選 A.
素養考向 因式分解法解一元二次方程的理論基礎是“若 ab=0，則a=0或b=0”，因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).
4.1[解析]設另一個因式為x+a，則 a)(x+3)=x +(3+a)x+3a=0,∴p=3+a,-6=3a,∴a=-2,p=1.
5.-1或 [解析]由題意，得( 整理，得2x +x-1=0,∴(x+1)(2x-1)=0,
∴x+1=0或2x-1=0,解得
∴x的值為-1或
∴x=0或x-4=0,∴x =0,x =4.
(2)∵x -6x+5=0,∴(x-1)(x-5)=0,
∴x-1=0或.
7. C [解析]把x=0代人方程( 3=0,得 ,解得m=1或-3.故選C.
易錯提醒 注意方程與一元二次方程的區別，雖然當m=1時m-1=0，但它仍然是一個方程，故不能舍去.
8. C [解析]x -10x+21=0,(x-3)(x-7)=0,解得.
當等腰三角形的邊長是3，3，7時，3+3<7，不符合三角形的三邊關系，應舍去；
當等腰三角形的邊長是7，7，3時，這個三角形的周長是7+7+3=17.故選C.
9. x=-2或. [解析]①當2x≥x+2時,此時x≥2,則
解得 (不合題意，舍去)；
②當2x則x+2=x -4,∴(x+2)(x-3)=0,
解得 (不合題意，舍去).
∴方程 的解為x=-2或.
[解析]原方程可化為(x+1)(x+2a+1)=0,解得
∵-1<0,∴小于1的正數根只能為-2a-1,
即0<-2a-1<1,解得
∴(x-1)[(x-1)-2(x+1)]=0,
即(x-1)(-x-3)=0,
∴x-1=0或-x-3=0,解得x =1,x =-3.
是前提
即( 解得
拆項、分組，得
提公因式,得3x(2x+3)-(2x+3)=0,
再提公因式,得(2x+3)(3x-1)=0,
所以2x+3=0或3x-1=0,解得
13.(1)∵x -4x+3=0,∴(x-1)(x-3)=0,
∴x-1=0或x-3=0,∴x =1,x =3.
(2)當3 是直角三角形的斜邊長時，第三邊長 =
當1 和 3 是直角三角形的直角邊長時，第三邊長=
∴第三邊的長為2
14.(1)方程. )不是“隔根方程”.理由如下：
∵x -x-20=0,∴(x-5)(x+4)=0.∴x-5=0或x+4=0,解得.
∵5-(-4)=9≠2,∴方程. 不是“隔根方程”.
(2)∵x +(m-1)x-m=0,∴(x+m)(x-1)=0.
或x-1=0,解得.
當-m=1+2時,解得m=-3;
當-m+2=1時,解得m=1.
綜上所述，m的值為-3或1.
15.(1)-2 1 [解析] x(x+2)(x-1)=0,x=0或x+2=0或x-1=0,解得
兩邊平方，得
根號下有未知數，可以將方程兩邊平方
即x -2x-3=0,∴(x+1)(x-3)=0,
∴x+1=0或x-3=0,解得
經檢驗，x =-1不是原方程的解，x =3是原方程的解。
必須滿足x≥0
∴原方程的解是x=3.
由②,得y=1-x③,
把③代入①，得
化簡，得 ,解得x=2或
當x=2時,y=-1,當 時，
∴原方程組的解為
16.3 [解析]:
即 解得x =3,x =-1(舍去),
即x的值為3.

展開更多......

收起↑