資源簡介

21.2 解一元二次方程--公式法 (1)
基礎鞏固提優(yōu)
1.用公式法解方程 時,a,b,c 的值依次是（ ）.
A. 0,-2,-3 B. 1,3,-2
C. 1,-3,-2 D. 1,-2,-3
2.(2024·浙江湖州吳興區(qū)期末)在用求根公式x= 求一元二次方程的根時，小珺正確地代入了a,b,c 得到 則她求解的一元二次方程是（ ）.
3.求方程 的根時，根據(jù)求根公式，列式為 則 m 的值為 .
4.(2025·湖南永州十六中月考)用求根公式解方程 3x=-1,得
5.教材P11例2·變式 用公式法解方程：
(4)(x+1)(x-3)=6.
思維拓展提優(yōu)
6.已知方程 8x+4=0較大的根為a，則與a 最接近的整數(shù)是( ).
A. 414 B. 415 C. 416 D. 417
7.在計算正數(shù) a 的平方時，某同學誤算成a 與 2 的積，求得的答案比正確答案小1，那么正數(shù)a 的值應該為 .
8. (2024·湖南湘潭期末)對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號 max{a，b}表示a,b 中的較大值,如: max{2,5}=5.按照這個規(guī)定，方程 的解為
9.對任意兩實數(shù)a，b，定義運算“*”如下： 根據(jù)這個規(guī)則,方程2*x=9的解為 .
10.解下列方程：
11.(2025·陜西咸陽彬州月考)已知多項式 7x和B=2-3x,若A 的值與B 的值互為相反數(shù)，求x 的值.
12.中考新考法 歸納一般結論(1)解下列方程：
(2)上面的四個方程中，有三個方程的一次項系數(shù)有共同特點，請你用代數(shù)式表示這個特點，并推導出具有這個特點的一元二次方程的求根公式.
延伸探究提優(yōu)
13.數(shù)形結合思想古希臘數(shù)學家丟番圖(公元250年前后)在《算術》中提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解.在歐幾里得的《幾何原本》中，有形如 的方程的圖解法：如圖，以a/ 和b為兩直角邊作 Rt△ABC，再在斜邊上截取 則AD的長就是所求方程的解.
(1)請用含字母a，b的代數(shù)式表示AD 的長；
(2)請利用你已學的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處.
中考提分新題
14.為豐富學生課余生活，提高學生運算能力，數(shù)學小組設計了如下的解題接力游戲：
(1)解不等式組： ①
(2)當m 取(1)的一個整數(shù)解時，解方程 2x-m=0.
公式法(2)
基礎鞏固提優(yōu)
1.(2023·吉林中考)一元二次方程 根的判別式的值是（ ）.
A. 33 B. 23 C. 17
2. (2024·自貢中考)關于 x 的方程 根的情況是（ ）.
A.有兩個不相等的實數(shù)根
B.有兩個相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根
D.沒有實數(shù)根
3.(2024·徐州中考)關于x 的方程 有兩個相等的實數(shù)根，則k 值為 .
4.中考新考法 滿足結論的條件開放 (2023·濟南中考)關于x的一元二次方程 有實數(shù)根，則a 的值可以是 (寫出一個即可).
5.轉化思想(2025·江蘇揚州儀征期中)若關于x 的一元二次方程 兩根是-3，2，則方程 的根是 .
6.(2025·湖南岳陽期中)已知關于 x 的一元二次方程
(1)當m 為何值時，該方程有實數(shù)根
(2)當m=1時，求出這個方程的兩個根.
7.(2024·黑龍江中考)關于x 的一元二次方程(m— 有兩個實數(shù)根，則m 的取值范圍是（ ）.
A. m≤4 B. m≥4
C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2
8.(2024·宿遷中考)規(guī)定:對于任意實數(shù)a,b,c,有【a,b】★c= ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法運算,如【2,3】★1=2×1+3=5. 若關于x 的方程【x,x+1】★(mx)=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m 的取值范圍為（ ）.
且m≠0 且m≠0
9. 方程思想已知在 Rt△ABC中,∠B=90°,AC=6,則 的最大值為 .
10.設一元二次方程 在下面的四組條件中選擇其中一組 b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
11. (2025·河南鄭州期末)已知關于x的一元二次方程
(1)求證：無論m取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根.
(2)若等腰三角形的一邊長為3，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求m 的值.
12.(2025·北京東城區(qū)匯文中學期中)已知關于x 的一元二次方程 有實數(shù)根.
(1)求m 的取值范圍；
(2)若m為符合條件的最大整數(shù)，求方程的解.
延伸探究提優(yōu)
13.對于任意一個三位數(shù)k，如果k 滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”.例如：k=169,因為 ,所以169是“喜鵲數(shù)”.
(1)已知一個“喜鵲數(shù)”為 k=100a+10b+c(1≤a,b,c≤9,其中a,b,c 為正整數(shù)),請直接寫出a，b，c所滿足的關系式： ；判斷 241 “喜鵲數(shù)”(填“是”或“不是”)，并直接寫出最小的“喜鵲數(shù)” .
(2)利用(1)中“喜鵲數(shù)” k 中的a,b,c 構造兩個一元二次方程 與 bx+a=0②,若x=m 是方程①的一個根,x=n是方程②的一個根，求m 與n 滿足的關系式.
(3)在(2)的條件下,且m+n=-2,請直接寫出滿足條件的所有 k的值.
中考提分新題
14.(2024·南充中考)已知x ,x 是關于x 的方程 的兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求k 的取值范圍.
(2)若k<5,且k,x ,x 都是整數(shù)，求k 的值.
第3課時 公 式 法(1)
1. B 2. A 3. - 3
[解析]:
∴x +3x+1=0,∴a=1,b=3,c=1,
歸納總結 一元二次方程 的求根
公式是
5.(1)∵a=1,b=-1,c=-2,
(2)原方程整理，得
(4)原方程整理，得
∵a=1,b=-2,c=-9,
歸納總結 用公式法解一元二次方程的一般步驟：①把方程化成一般形式，進而確定 a，b，c的值(注意符號)；②求出 的值(若 ，則方程無實數(shù)根)；③在 的前提下，把a，b，c的值代入公式進行計算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個:①a≠0;②b -4ac≥0.
6. C [解析]∵a=1,b=-8,c=4,
∴較大的根為(
故選 C.
[解析]由題知 則
∵a=1,b=-2,c=-1,
則
又a 為正數(shù)，所以(
8. x=-2或 [解析]當x<1時,方程 max{1,為 即 解得. (不合題意，舍去),x =-2;
當x>1時，方程 為 即 x-3=0,解得 (不合題意，舍去).故方程的解為.x=-2或
9. x=-3或 [解析]①若x≤2,則. 解得x=-3或x=3(舍去);②若x>2,則. 解得 或 (舍去).
綜上,x=-3或
10.(1)整理,得
∵a=1,b=10,c=-75,
25>0,
11.∵多項式 和B=2-3x的值互為相反數(shù)，
整理，得
解得.
∴x的值為 或
思路引導 代數(shù)式A 的值與 B 的值互為相反數(shù)，則這兩個代數(shù)式的和為0，列方程求解即可.
12.(1)①∵a=1,b=-2,c=-2,
②∵a=2,b=3,c=-1,
③∵a=2,b=-4,c=1,
④∵a=1,b=6,c=3,
(2)方程①③④的一次項系數(shù)都為偶數(shù)2n(n 是整數(shù)).一元二次方程 其中b -4ac≥0,b=2n,n為整數(shù).
即
∴一元二次方程 的求根公式為
13.(1)∵∠ACB=90°,BC=a ,AC=b,
運用勾股定理
(2)用求根公式求得方程 的解為x =
正確性：AD 的長就是方程的正根.
遺憾之處：圖解法不能表示方程的負根.
14.(1)由①,得x<4,由②,得x>1,
故不等式組的解集為1(2)答案不唯一.由(1)知1則方程變?yōu)?br/>∵a=1,b=-2,c=-2,
第4課時 公 式 法(2)
1. C
2. A [解析]關于x的方程. 中，
∵a=1,b=m,c=-2,∴△=m +8>0,
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選 A.
歸納總結 對于一元二次方程 若 則方程有兩個不相等的實數(shù)根；若 ，則方程有兩個相等的實數(shù)根；若， 4ac<0，則方程沒有實數(shù)根.上面的結論反過來也成立.
3. ±2
4.1(答案不唯一)[解析]∵關于x 的一元二次方程. 4x+2a=0有實數(shù)根,∴△=16-8a≥0,解得a≤2,則a 的值可以是1.
[解析]由題意知， 或 x=2.當 即 時， 1×3=-11<0,無實數(shù)根;當 即 0時,△=1 -4×1×(-2)=9>0,∴x=-1± 解得
6.(1)由題意,得 解得 ∴當 時，該方程有實數(shù)根.
(2)將m=1代入原方程，得 即
易錯警示 一元二次方程有實數(shù)根是指方程“有兩個不相等的實數(shù)根”和“有兩個相等的實數(shù)根”兩種情況，對應的根的判別式大于等于0.
7. D
8. D[解析]根據(jù)題意,得.x(mx)+x+1=0,整理得 x+1=0,∵關于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴ 且m≠0,解得 且m≠0.故選D.
9.4 [解析]令
∵在 Rt△ABC中,∠B=90°,AC=6,
化簡，得 因為 BC 是存在的，所以這個關于BC 的一元二次方程有解
即 解得 故 的最大值為4
10.∵使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，
,即b >4c,∴②③均可.
選②解方程，則這個方程為
選③解方程，則這個方程為
即△≥0,
∴無論m 取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根.
(2)x -(m+2)x+2m=0,a=1,b=-(m+2),c=2m,
由(1)得
∴方程的兩根為
若x ≠x ,則. 若 ，則x =2，兩種情況都符用三角形三邊關系驗證
合題意，∴m的值為3或2.
12.(1)∵關于x的一元二次方程 0有實數(shù)根，
(2)∵m≤2,∴m|的最大整數(shù)為2，
∴方程為
不是1 21[ 解析]∵k=100a+10b+c 是喜鵲數(shù)， 即
∵4 =16,4×2×1=8,16≠8,∴241不是“喜鵲數(shù)”.
∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，十位上數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，
∴十位上的數(shù)字的平方最小為4.
最小的“喜鵲數(shù)”是121.
(2)∵x=m 是一元二次方程 的一個根，x=n是一元二次方程 的一個根，
將 兩邊同除以n ，得 前提是確保n不為0
c=0,∴將m, 看成是方程 的兩個根.
方程 有兩個相等的實數(shù)根 即 mn=1.
(3)∵m+n=-2, mn=1,∴m=-1,n=-1,
∴a-b+c=0,∴b=a+c.
,解得a=c,
∴滿足條件的所有 k 的值為121,242,363,484.
14.(1)∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△>0，
4=4k-4>0,解得k>1.
(2)∵1當k=2時，方程為 解得 當k=3或4時，此時方程的解不是整數(shù).
綜上所述，k的值為2.

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