資源簡介

21.2 解一元二次方程-配方法(1)
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1.(2025·江蘇連云港期中)老師出示問題：“解方程 四位同學給出了以下答案:甲:“x=1”;乙:“ 丙： 丁： 下列判斷正確的是（ ）.
A.甲正確 B.乙正確
C.丙正確 D.丁正確
2.若一元二次方程 可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x+6=8，則另一個一元一次方程是（ ）.
A. x-6=-8 B. x-6=8
C. x+6=8 D. x+6=-8
3.若關于x 的方程( 有實數根，則m 的取值范圍是（ ）.
A. m>1 B. m>-1
C. m≥1 D. m≥-1
4.(2025·上海楊浦區期中)方程 的解是 .
5.教材P6練習·變式 用直接開平方法解下列方程：
(3)(4x-1) =225; (
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6.如圖是一個簡單的程序計算器，如果輸出的數值為-10，那么輸入 x 的值為（ ）.
A. - 8
或
或
7.(湖北實驗中學自主招生)定義[x]表示不超過實數x的最大整數,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函數y=[x]的圖象如圖所示,已知-2≤x<2,則方程 的解為（ ）.
A. 0或 B. 0或 1
C. 1或 D. 或
8.(2025·安徽合肥蜀山區期中)已知關于 x 的方程 的解是 b,m均為常數,a≠0),則方程a(x+m- 的解是 .
9.(2025·重慶北碚區朝陽中學期中)已知三角形的兩邊長分別為4 和6，第三邊的長是一元二次方程 的一個根，則三角形的周長為 .
10.對于實數p，q，我們用符號 min{p,q}表示 p,q 兩數中較小的數,如 min{1,2}=1,若 則x= .
11.如果( ,求a+b 的值.
12.若關于x 的一元二次方程 (a≠0)的一個根是1,且a,b 滿足 求關于y的方程 的根.
已知一元二次方程 1的兩個解恰好分別是等腰三角形 ABC 的底邊長和腰長，求△ABC 的周長.
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14.閱讀理解題 在解一元二次方程時，發現有這樣一種解法：
如:解方程x(x+8)=4,
解：原方程可變形，得[[(x+4)-4][(x+ 直接開平方，得 我們稱這種解法為“平均數法”.
(1)下面是小明用“平均數法”解方程(x+2)·(x+8)=40時寫的解題過程:
解：原方程可變形，得[[(x+a)-b][(x+a)+ 直接開平方，得
上述解題過程中的a，b，c，d所表示的數分別是 , , , .
(2)請用“平均數法”解方程:(x-2)(x+6)=4.
中考提分新題
15.(2024·涼山州中考)若關于x 的一元二次方程 的一個根是x=0，則a 的值為（ ）.
A. 2 B. - 2
C. 2或-2 D.
配方法(2)
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1.(2025·河南洛陽老城區期中)若一元二次方程. 4x+3=0經過配方變形為 則 k的值是（ ）.
A. - 3 B. - 7 C. 1 D. 7
2.用配方法解方程 時，配方后正確的是（ ）.
3.用配方法解一元二次方程 時，將它化為( 的形式，則a+b的值為( ).
A. B. C. 2 D.
4.(2025·山西運城鹽湖區期中)小兵同學解關于 x 的一元二次方程. 時，先在方程的兩邊加上16，把方程變形為 他這種解一元二次方程的方法是 法.
5.(2025·河南平頂山九中教育集團期中)用配方法解方程 配方得 常數 m 的值是
6.教材P7例1·變式 用配方法解下列方程：
(1)(2024·徐州中考)
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7.若關于x的一元二次方程 配方后得到方程( ,則c 的值為( ).
A. - 3 B. 0 C. 3 D. 9
8.用配方法解一元二次方程 2x-2023=0,將它轉化為( 的形式,則a 的值為( ).
A. - 2024 B. 2024
C. - 1 D. 1
9.(2025·江蘇無錫經開區期中)若一元二次方程 4100 625 = 0 的兩根為 —2025,則方程 的兩根為 .
10.閱讀并回答問題： 在實數范圍內無解，如果存在一個數 i，使 ，那么當 時,有x=±i,從而x=±i是方程 的兩個根.據此可知i可以運算，例如： 則方程 2=0的兩根為 .(根用i表示)
11.中考新考法證明代數結論用配方法證明：
答案(1)無論x 為任何實數，代數式 10的值恒小于零；
(2)(2025·甘肅白銀期中)用配方法求證：代數式 的值恒為正數.
12.若a為方程( 的一正根，b為方程 的一負根，求a+b的值.
13.中考新考法過程糾錯改錯 有 n 個方程：
小靜同學解第1個方程 的步驟如下：( ③(x+1) =9;④x+1=±3;⑤x=1±3;
(1)小靜的解法是從第幾步開始出現錯誤的 請完成之后的正確步驟.
(2)用配方法解第 n 個方程 (用含有n的式子表示方程的根)
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14.配方法(2025·江蘇鎮江新區期中)閱讀材料：關于x的二次多項式，當x-t=0時，該多項式有最值，就稱該多項式關于x=t平衡.例如：由于 所以當x-1=0 時，多項式 有最小值2，則稱 關于x=1平衡；由于 所以當x+1=0時,
多項式 有最大值 4，則稱 關于x=-1平衡.
運用材料中定義解決下列問題：
(1)多項式 關于x= 平衡；
(2)若關于x的多項式. 關于x=5平衡,則a= ;
(3)若關于x 的多項式 關于x=—3平衡，且最小值為 6，求方程 c=7的解.
15. 如圖,在△ABC 中,∠ACB=90°,以點 B 為圓心，BC 長為半徑畫弧，交線段AB 于點D,連接CD.以點 A 為圓心,AC 長為半徑畫弧，交線段 AB 于點E，連接CE.
(1)求∠DCE 的度數.
(2)設BC=a,AC=b.
①線段 BE 的長是關于x 的方程 的一個根嗎 說明理由.
②若D 為AE 的中點,求 的值.
21.2 解一元二次方程
第1課時 配 方 法(1)
1. D 2. D
3. D [解析]∵關于x的方程( 有實數根，∴m+1≥0,解得 m≥-1.故選 D.
[解析]∵
解得
歸納總結 形如 或 的一元二次方程可采用直接開平方的方法求解.如果方程能化成 的形式，那么 ；如果方程能化成 )的形式，那么
5.(1)直接開平方，得
解得
即
知識拓展 用直接開平方的方法解一元二次方程：①等號左邊是一個完全平方式，而等號右邊是一個非負數；②降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程；③方法是根據平方根的意義開平方.
6. C
7. A [解析]當1≤x<2時, 解得 (舍去);當0≤x<1時, 解得 當-1≤x<0時, 方程沒有實數解；當-2≤x<-1時. 方程沒有實數解，所以方程[x]= 的解為0或 .故選 A.
易錯警示 分析題意，得出x-1<[x]≤x，注意是否包含等號，否則容易出錯.
[解析]∵關于x的方程 0的解是x =2,x =-1(a,b,m均為常數,a≠0),∴方程. 變形為a[(x-2)+m] +b=0,即此方程中 解得.
9.18 [解析]∵ ±3,解得. ，當第三邊長為2時，2+4=6，不符合題意；當第三邊長為8時，4+6=10>8，符合題意，根據三角形三邊關系進行判斷此時周長為8+6+4=18.
10.2或-1 [解析]當( 時,解得x=2或x=0,當x=0時, 不符合題意,∴x=2;當 時,解得x=1或x=-1,當x=1時, min{(x-,不符合題意,∴x=-1.綜上,x=2或-1.
11.整理,得[
開方，得
12.由題意,得a-2≥0,4-2a≥0,解得a=2,∴b=-3.
∵關于x的一元二次方程( 的一個
根是1,∴a+b+c=0,∴c=1,
則關于y的方程為
整理，得
解得.
∵一元二次方程( 的兩個解恰好分別是等腰三角形ABC的底邊長和腰長，
∴①當底邊長和腰長分別為4和2時，2+2=4，此時不能構成三角形；
②當底邊長和腰長分別是2和4時，4+4>2，可以構成三角形,△ABC 的周長為2+4+4=10.
14.(1)5 3 2 - 12 [解析]原方程可變形,得[(x+5)-3 .
平均數
直接開平方并整理，得 上述過程中的a,b,c,d 表示的數分別為5,3,2,-12.
(2)原方程可變形,得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4,(x+2) -4 =4,(x+2) =4+4 =20,
15. A [解析]∵關于x 的一元二次方程( 的一個根是 且a+2≠0,解得a=2.故選 A.
第2課時 配 方 法(2)
1. C 2. C
3. B [解析]: 則 即 故選 B.
名師點評 配方法的理論依據是公式 (a±b) ，本題可利用完全平方公式的結構特征解答，并不需要拘泥于配方法解一元二次方程的一般步驟.
4.配方
5.-2 [解析]方程
移項，得 配方，得.
6.(1)移項,得
配方，得 即
直接開平方，得.
(2)∵(2x+1) -2(2x+1)+1=4,∴(2x+1-1) =4,
知識拓展 用配方法解一元二次方程的一般步驟：①原方程化為 的形式；②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數化為1，并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解；如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解.
7. C [解析]∵
即
,解得c=3.故選C.
8. D[解析]由題知, x -2x+1=2023+1,(x-1) =2024,所以a=-1,b=2024,所以 故選D.
[解析] 移項，得 配方，得 ∴(x-2) =4100625,∴x-2=±2025,
[解析]方程整理，得 配方，得 即 開方,得x-1=±i,解得.
11 -
∴無論x為任何實數，代數式 的值恒小于零.
(2)將原式進行配方，得原式
,
∴代數式 的值恒為正數.
易錯警示 本題利用配方法和非負數的性質解題，解題時要注意配方法的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值.
12.∵方程( 的解為
∵方程 即 的解為y=1±
13.(1)小靜的解法是從步驟⑤開始出現錯誤的.正確步驟如下：
即
14.(1)-2 (2)5
(3)∵關于x的多項式. 關于x=-3平衡，且最小值為6 可表示為
或
15.(1)由作圖知,BC=BD,AC=AE,
∴∠BCD=∠BDC,∠ACE=∠AEC.
∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACE-∠DCE=90°.
又在△DCE 中,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴90°+2∠DCE=180°,∴∠DCE=45°.
(2)①線段 BE 的長是關于x 的方程. 的一個根，理由如下：
由勾股定理，得
勾股定理使用的前提是直角三角形
解關于x 的方程.
得
∴線段 BE 的長是關于x 的方程. 的一個根.
②∵D為AE 的中點,AE=AC=b,
由勾股定理，得
整理，得
兩邊同時除以b，一定要先判斷b≠0

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