資源簡介

21.1 一元二次方程
第1課時 一元二次方程(1)
基礎鞏固提優
1.(2025·江蘇淮安淮陰區期中)已知關于x 的方程 是一元二次方程，則（ ）.
A. a>0 B. a≥0 C. a≠0 D. a=1
2.下列關于x 的方程中，一定是一元二次方程的為（ ）.
3.(2025·福建廈門期中)關于x 的一元二次方程 的二次項系數和一次項系數分別是（ ）.
A. 3,-2 B. 3,2 C. 3,5 D. 5,2
4.(山東德州雙語中學自主招生)若方程 x+3=0是關于x的一元二次方程，則m 的值為( ).
A. ±3 B. 3
C. - 3 D.都不對
5.將一元二次方程 化成一般形式之后，若二次項的系數是 2，則一次項系數為 .
6. 教材P3例·變式 把方程(x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項.
思維拓展提優
7.(2025·河南商丘期中)下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）.
8.(2025·江蘇宿遷期中)若關于x 的一元二次方程 的常數項是6，則一次項是（ ）.
A. - x B. - 1 C. x D. 1
9. (2024·眉山中考)眉山市東坡區永豐村是“天府糧倉”示范區，該村的“智慧春耕”讓生產更高效，提升了水稻畝產量，水稻畝產量從2021年的670千克增長到了 2023年的780千克，該村水稻畝產量年平均增長率為x，則可列方程為（ ）.
A. 670×(1+2x)=780
D. 670×(1+x)=780
10.已知關于x 的一元二次方程(a- 的一次項系數為0,則a 的值為 .
11.關于x的一元二次方程 1)+c=0化為一般形式后為 0,試求b,c 的值.
12.某中學數學興趣小組對關于x 的方程(m+ 提出了下列問題：
(1)是否存在 m 的值，使方程為一元二次方程 若存在，求出 m 的值，并寫出此方程.
(2)是否存在 m 的值，使方程為一元一次方程 若存在，求出 m 的值，并解此方程.
13.(2024·揚州邗江區梅嶺中學模擬改編)關于x 的一元二次方程 與 k=0稱為“同族二次方程”，如 4=0 與 是“同族二次方程”.現有關于 x 的一元二次方程 2(x一 與 是“同族二次方程”，求代數式 ab 的值.
延伸探究提優
14.若 是關于x 的一元二次方程，求a，b的值.
下面是兩位同學的解法：
甲：根據題意，得 解得
乙：根據題意，得 或
解得 或
你認為上述兩位同學的解答是否正確，為什么 如果不對，請給出正確的答案.
中考提分新題
15.(2024·西寧中考)如圖，小區物業規劃在一個長60m,寬22m的矩形場地ABCD 上,修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區域，兩側是寬 x m 的道路，中間是寬 2 x m 的道路.如果陰影部分的總面積是 600 m ，那么x 滿足的方程是（ ）.
第2課時 一元二次方程(2)
基礎鞏固提優
1.(2025·福建福州馬尾區期中)已知方程 1)x+3k+2=0有一個根是-1,則k 的值是( ).
A. - 3 B. - 1 C. 1 D. 2
2.已知x=-1是方程 0的一個根，則必有（ ）.
A. a+b=c
C. a-b=c
3.(2025·福建泉州師范學院附中期中)已知x=m 是一元二次方程 的一個根，則代數式 的值為（ ）.
A. 2025 B. 2026 C.2027 D. 2028
4.(2024·深圳中考)一元二次方程 0的一個解為x=1,則a= .
5.(2025·山東菏澤期中)若x=m 是一元二次方程 一個根，則 的值為 .
6.(2025·河北承德期中)已知一元二次方程 bx+c=0(a≠0),若a+b+c=0,則方程必有一根為 .
7.教材P4習題T3·變式下列哪些數是方程 6x+8=0的根
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
思維拓展提優
8.(2025·江蘇鎮江新區期中)若關于x 的一元二次方程 有一根為x=2025,則一元二次方程 0必有一根為（ ）.
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
9.(2024·聊城二模)已知a 是方程 0的一個根，則
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
10.(重慶南岸區自主招生)已知 m 為方程. 0的一個根，則代數式 的值為 .
11.(2025·河南新鄉長垣期中)閱讀下列材料：方程. 3x-1=0兩邊同時除以x(x≠0),得x+ 即 因為 所以 11.根據以上材料解答下列問題：
(1)已知方程x -4x-1=0(x≠0),則x-
(2)若m 是方程 的一個根，求 的值.
12.中考新考法 新定義問題 定義：如果關于x 的一元二次方程 滿足a—b+c=0，那么我們稱這個方程為“黃金方程”.
(1)判斷一元二次方程 是否為“黃金方程”，并說明理由；
(2)已知 是關于 x 的“黃金方程”，若m 是此方程的一個根，求代數式 的值.
13.換元思想請閱讀下列材料：
問題：已知方程 求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.
解：設所求方程的根為 y，則y=2x，
所以
把 代入已知方程，得 化簡，得
故所求方程為
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求：把所求方程化為一般形式)：
(1)已知方程 求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數；
(2)已知關于 x 的一元二次方程 bx+c=0(a≠0)有兩個不等于零的實數根,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數.
延伸探究提優
14.在實數范圍內定義一種運算“*”，其運算法則為 如： 根據這個法則：
(1)計算:3*2= ;
(2)判斷(t+2)*(2t+1)=0是否為一元二次方程；
(3)判斷方程(x+2)*1=3的根是否為 并說明理由.
中考提分新題
(2024·南充中考)已知m 是方程 的一個根,則(m+5)(m-1)的值為 .
21.1 一元二次方程
第1課時 一元二次方程(1)
1. C
2. B
3. A [解析]方程 中，二次項系數為3，一次項系數為-2.故選 A.
知識拓展 一般地，任何一個關于x 的一元二次方程經過整理，都能化成 )的形式.這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中 ax '叫做二次項，a 叫做二次項系數；bx 叫做一次項，b 叫做一次項系數；c 叫做常數項.
4. C[解析]由一元二次方程的定義可知 解得m=-3.故選 C.
5.-5[解析]∵一元二次方程： 化成一般形式之后，二次項的系數是2，∴化成的一般形式為 3=0,∴一次項系數為-5.
6.將(x+2)(x-3)=2x-6化簡,得
所以它的二次項系數是1，一次項系數是-3，常數項是0.易錯警示 要確定二次項系數、一次項系數和常數項，首先要把一元二次方程化成一般形式.注意在說明二次項系數、一次項系數和常數項時，一定要帶上前面的符號.
7. B
8. A[解析]∵關于x 的一元二次方程( mx+|m|+3=0的常數項是6,∴|m|+3=6,m+3≠0,解得m=3，把m=3代入原方程可得 ∴一次項是-x.故選 A.
易錯警示 二次項系數含有參數的一元二次方程，一定要注意二次項系數不能為0，否則易出錯.
9. B [解析]利用2021年的水稻畝產量×(1+年平均增長率 年的水稻畝產量，得故選 B.
延伸拓展 有關增長(下降)率問題的公式為：設基數為a，增長(下降)率為x，增長(下降)的次數為n，增長(下降)后的量為b，則有
10.—1 [解析]由題意,得a—1≠0且,解得a=-1.
11.原方程可化為 化簡，得 所以b-4=-3,2-b+c=-1,解得b=1,c=-2.
12.(1)存在.根據一元二次方程的定義可得 且m+1≠0,解得m=1,此時方程為
(2)存在.由題意，得 或m+1=0時,原方程可能為一元一次方程.
當 時,m=0,此時方程為-x-1=0,解得x=-1;
當m+1=0時,m=-1,此時方程為-3x-1=0,解得
與 是“同族二次方程”，
方程需滿足m=1, k=1
即( a+3,
解得(a=5-1 ,∴ab=-50.
14.上述兩位同學的解法都不正確.理由如下：
是關于x 的一元二次方程，
∴分以下幾種情況：
元二次方程可以缺少一次項
解得 ② 解得
解得 ④{a=0,b=2,解得
解得
綜上所述， 或 或 或
素養考向 本題是一道探究性問題，考查學生對一元二次方程概念的理解和運用，也考查了學生對于分類討論數學思想的掌握情況.
15. A [解析]∵矩形場地ABCD 的長為60m,寬為22m,且所修建停車位的兩側是寬 x m 的道路，中間是寬2x m的道路，∴停車位(即陰影部分)可合成長為(60—2x)m,寬為(22-2x)m的矩形.根據題意,得(60-2x)·(22-2x)=600,化簡,得. .故選 A.
第2課時 一元二次方程(2)
1. B 2. C 3. B 4.3
5.2027 [解析]∵x=m 是一元二次方程 的一個根， 即 2025=2(m +m)+2025=2×1+2025=2027.
6. x=1 [解析]∵a+b+c=1,∴x=1是一元二次方程 的一個根.
7.將x=2代入方程. 中，左邊 8=0,即左邊=右邊,故x=2是方程. 的根；將x=4代入方程. 中，左邊 8=0,即左邊=右邊,故x=4是方程. 的根.同理可得,當x=0,1,3,5,6,7,8,9,10時,都不是方程 )的根，故2和4是方程. )的根.
8. B[解析]把方程( 看作關于(x+1)的一元二次方程，∵關于x的一元二次方程( bx+2=0(a≠0)有一根為x=2025,∴關于x+1的一元二次方程 有一根為x+1=2025,解得x=2024,∴一元二次方程 1)+2=0必有一根為x=2024.故選 B.
9. B [解析]∵a 是方程. 的一個根， 即
故選 B.
10.9 [解析]∵m為方程 的一個根， 6=3m+3-3m+6=9.
11.(1)4 18 [解析]方程. 兩邊同時除以x，得
(2)∵m是方程 的一個根，
易知m≠0,
方程兩邊同時除以2m，得
12.(1)方程 是“黃金方程”.理由如下：
∵a=4,b=11,c=7,∴a-b+c=4-11+7=0,
∴一元二次方程 是“黃金方程”.
是關于x 的“黃金方程”，其中a=3,b=-m,c=n,
∴3-(-m)+n=0,∴n=-3-m,
∴原方程可化為
∵m是此方程的一個根，.
即
13.(1)設所求方程的根為 y,則 y=-x,所以x=-y.把x=-y代入方程. 中，得 代入時需注意符號.如( 即所求方程為
(2)設所求方程的根為y，則 所以
把 代入方程 中，得 化簡，得
需對所有項乘 y 消分母，勿漏乘
若c=0,則( ,即x(ax-b)=0,可得有一個解為x=0,不合題意,所以c≠0,
即所求方程為
14.(1)3[解析]根據題中的新定義，得 9-6=3.
(2)由新定義，得( 整理，得 ，是一元二次方程.
去括號的過程注意符號
(3)方程變形，得(
整理，得 即
當 時，方程 的左邊≠0；
當 時，方程 的左邊≠0.
故方程(x+2)*1=3 的根不是
15.-4 [解析]把.x=m代入 得 1=0,∴m +4m=1,∴(m+5)(m-1)=m -m+5m-
思路引導 代數式中的字母表示的數沒有明確告知，而是隱含在題設中，首先應從題設中獲取代數式 的值，然后利用“整體代入法”求代數式的值.

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