資源簡介

21.3實際問題與一元二次方程
第 1課時 實際問題與一元二次方程 (1)
基礎鞏固提優
1.舉辦單循環籃球賽某校九年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環形式(每兩班之間都賽一場)，共需安排15 場比賽，則九年級班級的個數為（ ）.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.(2024·牡丹江中考)一種藥品原價每盒48 元，經過兩次降價后每盒27 元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（ ）.
A. 20% B. 22% C. 25% D. 28%
3.(2024·山東濟南章丘區期中)某班文學小組在舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，全組共互贈了132本圖書，則全組共有 名同學.
4.(2023·郴州中考)隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人.
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率.
(2)預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率.已知該景區5月 1日至5月 21 日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人
思維拓展提優
5.某次足球比賽中，每兩個足球隊之間要進行一次主場比賽和一次客場比賽，所以共組織了20場比賽，這次比賽參加的足球隊有（ ）.
A. 10個 B. 6 個 C. 5 個 D. 4個
6.某病毒主要是經呼吸道飛沫傳播的，在無防護下傳播速度很快，已知有1個人患了某病毒，經過兩輪傳染后共有196個人患了該病毒，每輪傳染中平均一個人傳染 m人,則m 的值為（ ）.
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
7.(2024·重慶中考)隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021 年繳稅40萬元，2023年繳稅 48.4萬元.該公司這兩年繳稅的年平均增長率是 .
8.某型號電動汽車，第一年充滿電可行駛500 km，第三年充滿電可行駛405km，則該型號電動汽車續航里程平均每年衰減的百分比為 .
9.教材P22習題T4·變式某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干、小分支的總數是 73，每個支干長出 個小分支.
10.小武同學建立了一個名為“正能量”的群.這個群里有若干個好友，每個好友都分別給群里其他好友發送了一條充滿正能量的消息，這樣共有870條消息.這個群里共有 個好友.
11.(2025·四川綿陽外國語學校期中)某頭盔經銷商5 至7月份統計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同.請解決下列問題.
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率.
(2)某工廠已建有一條頭盔生產線生產頭盔，經過一段時間后，發現一條生產線最大產能是900個/天，但如果每增加一條生產線，每條生產線的最大產能將減少30個/天，現該廠要保證每天生產頭盔3900個，應該增加幾條生產線
延伸探究提優
12.要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽.
(1)①共有 場比賽.
②設比賽組織者應邀請x 個隊參賽，每個隊要與其他 個隊各賽一場.因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽一共有 場，列方程： .
[小試牛刀](2)參加一次聚會的每兩人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人參加聚會
[綜合運用](3)將 A ,A ,A ,…,A ,共n個點每兩個點連一條線段共得到y 條線段,將 B ,B ,B ,…,B ,共2n個點每兩個點連一條線段共得到 y 條線段，問 能否為整數 寫出你的結論，并說明理由.
中考提分新題
13.(2024·西藏中考)某商場響應國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動.四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬元，現假定每月投入資金的增長率相同.
(1)求該商場投入資金的月平均增長率.
(2)按照這個增長率，預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元
第2課時 實際問題與一元二次方程 (2)
基礎鞏固提優
1. 如圖,在長為 100 m,寬為 50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉,且花圃的面積是 3 600m ,則小路的寬是（ ）.
A. 5m B. 70 m
C. 5m 或 70 m D. 10m
2.(2024·青島中考)如圖,某小區要在長為16 m,寬為 12 m 的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為 m.
3. 教材P20探究3·變式如圖,在長為16 m,寬為10m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為整個矩形面積的 ，則道路的寬為 m.
4.為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態園ABCD(如圖)，生態園一面靠墻(墻足夠長)，另外三面用 18m的籬笆圍成.生態園的面積能否為40 m 如果能，請求出 AB 的長；如果不能，請說明理由.
思維拓展提優
5.如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設a =1，則這個正方形的面積為( ).
6.(2025·安徽合肥蜀山區期末)為了節省材料，某農場水產養殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為120米的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，且這三塊矩形區域的面積都為225平方米，則圖中區域①矩形的長a 為 米.
7.如圖，有長為34 米的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度為 22 米)圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，園主在花圃的前端各設計了兩個寬1米的小門，設花圃的寬AB 為x 米.
(1)若圍成的花圃面積為 96 平方米，求此時的寬AB.
(2)能圍成面積為 120 平方米的花圃嗎 若能，請求出 x 的值；若不能，請說明理由.
8.(2023·東營中考)如圖,老李想用長為 70 m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊 BC 上留一個2m寬的門(建在 EF 處，另用其他材料).
(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640 m 的羊圈
(2)羊圈的面積能達到 650 m 嗎 如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由.
9.(福建泉州華僑中學自主招生)用總長680 cm的木板制作矩形置物架ABCD(如圖)，已知該置物架上面部分為正方形ABFE，下面部分是兩個全等的矩形 DGMN 和矩形CNMH，中間部分為矩形 EFHG.已知DG=60cm,設正方形的邊長AB=x cm.
(1)當x=72時,EG的長為 cm;
(2)置物架ABCD 的高AD 的長為 cm;(用含x的代數式表示)
(3)為了便于置放物品，EG 的高度不小于22cm，若矩形 ABCD 的面積為 12 000cm ,求x 的值.
延伸探究提優
10.分類討論思想如圖，A，B，C，D 為矩形的4個頂點,AB=16cm,BC=6cm,動點 P,Q 分別以3cm/s,2cm/s的速度從點 A,C 同時出發，點Q 從點C 向點D 移動.
(1)若點 P 從點A 移動到點 B 停止,點Q 隨點P 的停止而停止移動，點P，Q分別從點A，C同時出發，問經過多長時間 P，Q兩點之間的距離是10cm
(2)若點 P 沿著 AB→BC→CD 移動,點 Q從點C 移動到點 D 停止時，點P 隨點 Q 的停止而停止移動，試探究經過多長時間△PBQ 的面積為12cm
中考提分新題
11.(2024·通遼中考)如圖,小程的爸爸用一段 10 m長的鐵絲網圍成一個一邊靠墻(墻長5.5m)的矩形鴨舍，其面積為15 m ，在鴨舍側面中間位置留一個 1m 寬的門(由其他材料制成),則BC長為( ).
A. 5m 或6m B. 2.5m或3m
C. 5m D. 3m
第 3課時 實際問題與一元二次方程(3)
基礎鞏固提優
1.(2024·河北中考)淇淇在計算正數a的平方時，誤算成a 與2的積，求得的答案比正確答案小1，則a=（ ）.
A. 1
D. 1或
2. 已知兩個數的差等于 2，積等于15，則這兩個數中較大的是 .
3.某商品進價為每件 30元，有一段時間若以x 元賣出,則可賣(100-x)件,商場計劃要賺1200元,同時又讓顧客得到實惠，則該商品的售價x為 元.
4.(2025·山東濱州濱城區期中)某商店以每件70元的價格購進若干件襯衫，第一個月按單價 100 元銷售，售出200件，第二個月為增加銷售量，且讓利于顧客，決定降價處理，經市場調查， ，如何定價，才能使以后每個月的利潤達到7820元
解：設…，根據題意，得
…
根據上面所列方程，完成下列任務：
(1)數學問題中橫線處缺少的條件是 ；
(2)所列方程中未知數x 的實際意義是 ；
(3)請寫出解決上面的數學問題的完整解題過程.
思維拓展提優
5.某電商銷售一款服裝，進價為40元/件，售價為110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用5元.為盡快回籠資金并讓利于顧客，該電商計劃開展降價促銷活動.通過市場調研發現，該時裝售價每降價1元，每天銷量增加4件.若該電商每天扣除平臺推廣費之后的利潤要達到4500元，則適合的售價應定為（ ）.
A. 70元 B. 80元
C. 70元或 90元 D. 90元
6.新情境日歷表 如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的數(如 12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為 161，則這9個數中最小數為（ ）.
A. 18 B. 13 C. 7
7.跨學科古詩詞理解在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風流，雄姿英發，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌：“大江東去浪淘盡，千古風流數人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位數.十位恰小個位三，個位平方與壽符.”則這位風流人物去世的年齡為 歲.
8.(重慶南岸區自主招生)北京冬奧會期間，某商店購進 600個紀念品，每個紀念品的進價為6元，第一周以每個 10元的價格售出 200個.第二周商店為了適當增加銷售量，決定降價銷售.根據市場調查，單價每降低 1元，可多售出50個(售價不得低于進價).第三周商店把每個紀念品的售價再在第二周售價的基礎上降低20%，剩余紀念品全部售完.(注：銷售利潤=銷售量×(售價一進價))
(1)若第二周每個紀念品降價m 元，用含m 的代數式表示這批紀念品第二周的銷售利潤；
(2)若前兩周商店銷售這批紀念品的利潤為1 400元，求第二周每個紀念品的售價；
(3)若這批紀念品共獲得銷售利潤1 730 元，求這批紀念品第三周的銷售數量.
延伸探究提優
9.(2024·安徽安慶懷寧期末)某青年旅社有 60間客房供游客居住，在旅游旺季，當客房的定價為每天 200 元時，所有客房都可以住滿.客房定價每提高10元，就會有1個客房空閑，對有游客入住的客房，旅社還需要對每個房間支出 20元/天的維護費用，設每間客房的定價提高了x元.
(1)填表(不需化簡)：
入住的房間數量 房間價格 總維護費用
提價前 60 200 60×20
提價后
(2)若該青年旅社希望每天純收入為 14 000元且能吸引更多的游客，則每間客房的定價應為多少元 (純收入=總收入—維護費用)
中考提分新題
10.(2024·淄博中考)“我運動,我健康,我快樂!”隨著人們對身心健康的關注度越來越高.某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人.
(1)求該市參加健身運動人數的年均增長率；
(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從 A公司購買某種套裝健身器材.該公司規定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低 40 元.但最低售價不得少于1000 元.已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數.
21.3實際問題與一元二次方程
第1課時 實際問題與一元二次方程(1)
1. B[解析]設九年級共有x 個班，根據題意，得 15,解得x=6或x=-5(舍去),
∴九年級班級的個數為 6.故選 B.
解題通法 比賽場次問題：一些體育賽事，經常采用“單循環”“雙循環”或“主客場”賽制，參賽隊伍數與比賽場次數之間存在的關系有時可借助一元二次方程來解決，一般地，n個隊“單循環”賽的比賽場次數為 場，“雙循環”或“主客場”賽的比賽場次數為n(n-1)場.
2. C
3.12[解析]設全組共有x名同學，則每個同學贈送出(x-1)本圖書,依題意,得x(x-1)=132,整理,得 132=0,解得. l(不合題意，舍去).
4.(1)設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為x.由題意，得
解得 (不合題意，舍去).
故這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為25%.
(2)設5月份后 10 天日均接待游客人數是 a 萬人.
由題意,得2.125+10a≤2.5×(1+25%),解得a≤0.1.故5月份后 10天日均接待游客人數最多是0.1萬人.
5. C[解析]設有x 個足球隊參加比賽，依題意，得x(x-1)=20,整理,得x -x-20=0,(x-5)(x+4)=0,解得 (舍去)，即共有5個足球隊參加比賽.故選C.
6. C
7.10%[解析]設該公司這兩年繳稅的年平均增長率是x，根據題意，得 解得 (不符合題意，舍去)，∴該公司這兩年繳稅的年平均增長率是10%.
知識拓展 對于平均增長(降低)率問題，經過多輪變化，有關系式a(1±x)"=b，a為增長(降低)前的基礎數量，x 為增長率(降低率)，n為增長(降低)的次數，b為增長(降低)后的數量.要注意根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性.
8.10%[解析]設該型號電動汽車續航里程平均每年衰減的百分比為x，根據題意，得 解得 0.1=10%,x =1.9(不符合題意,舍去).故該型號電動汽車續航里程平均每年衰減的百分比為10%.
9.8[解析]設每個支干長出x個小分支，則主干上長出了x個支干，根據題意，得 解得 (舍去)，x =8，即每個支干長出8個小分支.
10.30 [解析]設這個群里共有x個好友，依題意，得x(x-1)=870,整理,得. ,即(x-30)(x+29)=0，解得 (舍去).故這個群里共有 30個好友.
11.(1)設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x.
依題意，得
解得 (不合題意，舍去).
故該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%.
(2)設增加m 條生產線，
由題意,得(900—30m)(m+1)=3900,
整理，得 ，解得：m =4,m =25.
故增加4條或25條生產線.
方法詮釋 列一元二次方程解應用題的“六字訣”.①審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系；②設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數；③列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程；④解：準確求出方程的解；⑤驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題；⑥答：寫出答案.
12.(1)①28
(2)設有x 人參加聚會，
由題意，得 解得 (舍去).故有5人參加聚會.
能為整數.理由如下：
由題意，得
∵n為正整數,∴當n=2或3時,y y 為整數;當n≥4時,y y 不能為整數.
13.(1)設商場投入資金的月平均增長率為x，
依題意，得
解得 (不合題意，舍去).
故商場投入資金的月平均增長率為10%.
(2)由題意,得24.2×(1+10%)=26.62(萬元).
故預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元.
第2課時 實際問題與一元二次方程(2)
1. A[解析]設小路的寬是x m，則余下的部分可合成長為(100-2x) m,寬為(50-2x)m的矩形.根據題意,得(100—2x)(50—2x)=3600,整理,得 解得 )(不符合題意，舍去)，∴小路的寬是5m.故選 A.
2.2 [解析]設小路寬為x m,根據題意,得(16-2x)(12- 解得x=2或x=12(舍去),∴小路寬為2m.
3.2[解析]設道路的寬為x m，則余下的部分可合成長為(16-x)m,寬為(10-x)m的矩形.依題意,得(16- 整理，得 解得x =2,x =24(舍去).故道路的寬為2m.
4.生態園的面積能為40 m ，理由如下：
∵四邊形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC.設 AB的長度為x m，則 BC的長度為 由題意，得
整理，得 ,解得x =10,x =8,∴生態園的面積能為40m ,AB 的長為10m或8m.
知識拓展 本題屬于形積問題，常見類型有：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長；②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程.
5. A[解析]根據圖形和題意，得( 其中a=1，則方程可化為( 解得 根據實際意義，負根舍去所以正方形的面積為 故選 A.
關鍵提醒 關鍵是從兩個圖形中找到兩圖形的邊長的值，利用面積相等列出等式求方程，解得b的值，從而求出正方形的邊長，再求面積.
6.30 [解析]設圖中區域①矩形的寬為x米，則圖中區域②矩形的寬為2x 米，圖中區域①矩形的長 =(60-4x)米,根據題意,得(60-4x)x=225,整理,得 解得
(米).
7.(1)∵花圃的寬AB為x米,
∴花圃的長AD為34+2-3x=(36-3x)米.
依題意,得x(34+2-3x)=96,解得.
當x=4時,36-3x=24>22,不合題意,舍去;
當x=8時,36-3x=12<22,符合題意.
故此時的寬 AB 為8米.
(2)不能圍成面積為120平方米的花圃.理由如下：
依題意,得x(36-3x)=120,整理,得.
∴該方程無實數根.
故不能圍成面積為120平方米的花圃.
8.(1)設矩形ABCD的邊AB= xm,則邊BC=70-2x+2=(72-2x)m.根據題意,得x(72-2x)=640,
化簡，得 解得
當x=16時,72-2x=72-32=40;
當x=20時,72-2x=72-40=32.
故當羊圈的長為40m,寬為16 m或長為32m,寬為20 m時，能圍成一個面積為640m 的羊圈.
(2)不能.理由如下：
由題意,得x(72-2x)=650,化簡,得 ∴一元二次方程沒有實數根.∴羊圈的面積不能達到650m .
9.∵矩形 DGMN 和矩形CNMH 全等,
∴MN=CH=DG=60cm.
若AB=x cm,則AE=BF=EF=CD=GH= xcm,
(1)34 [解析]當x=72時,EG=250-3x=250-3×72=34(cm).
(2)(310-2x) [解析]依題意,得
(3)依題意,得x(310-2x)=12000,
整理，得 解得
∵EG的高度不小于22cm,即250-3x≥22,
∴x≤76,∴x =80不合題意,舍去.故x 的值為75.
10.(1)如圖,過點 P 作PE⊥CD 于點 E.設經過 xs,P,Q兩點之間的距離是10cm.根據題意,得 EQ=|16-2x-3x| cm,PE=BC=6cm.
則
解得 .經過 是前提
P,Q 兩點之間的距離是 10cm.
(2)如圖,連接BQ.設經過 ys,△PBQ的面積為12cm .
①當 時，PB=(16-3y) cm,
應分類討論，當點 P 在AB 上運動
則 解得y=4;
②當 時,BP=3y-AB=(3y-16) cm,QC=當點 P 在 BC 上運動2y cm,則 解得 y = (舍去);
③當 時,QP=CQ-PC=2y-(3y-22)=
當點 P 在CD 上運動
(22-y) cm,
則 解得y=18(舍去).綜上所述,經過4s或6s,△PBQ的面積為12cm .
思路引導 動態問題解題的基本思想是化動為靜，即假設運動時間為t，在第t秒這一時刻，動態問題就成了一個靜態問題.觀察圖形，尋找相等關系，物體運行的路線與圖中其他線段會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解.
11. C
第3課時 實際問題與一元二次方程(3)
1. C[解析]根據題意，得 解得
故選C.
2.5 或-3 3.60
4.(1)單價每降低2元時，月銷售量可增加40件
(2)單價降低了x 元
(3)設單價降低了x元，
根據題意，得( 整理得 解得x =4(舍去), ∴100-x=100-16=84.故定價為每件84元時,才能使以后每個月的利潤達到7280元.
5. A [解析]設降價x元后利潤達到4500元，由題意，得(110-40-5-x)(20+4x)=4500,解得.
∵為盡快回籠資金并讓利于顧客，∴故應舍去. 則讀懂題目的隱含條件
每件售價定為70元能使該電商每天扣除平臺推廣費之后的利潤達到4500元.故選 A.
6. C[解析]設最小數為x，則另外八個數分別為(x+1)，(x+2),(x+7),(x+8),(x+9),(x+14),(x+15),(x+16),依題意,得x(x+16)=161,解得. -23(不合題意,舍去).故選 C.
7.36 [解析]設這位風流人物去世的年齡十位數字為x，則個位數字為x+3.
根據題意,得10x+(x+3)=(x+3) ,
整理，得 解得
由題意，而立之年督東吳，則x=2舍去，
∴這位風流人物去世的年齡為36歲.
8.(1)依題意，得第二周每個紀念品的銷售利潤為(10-m-6)=(4-m)元,銷售量為(200+50m)個,
∴這批紀念品第二周的銷售利潤為(4-m)(200+50m)= 元.
(2)設第二周每個紀念品降價m元.依題意，得(10-6)×200+(4-m)(200+50m)=1400,整理,得 解得： (不符合題意，舍去)，
∴10-m=10-2=8.
故第二周每個紀念品的售價為8元.
(3)設第二周每個紀念品降價m元.依題意，得(10-6)×200+(4-m)(200+50m)+[(10-m)×(1-20%)-6]·[600-200-(200+50m)]=1730,整理,得 26m-27=0,解得m =1,m =-27(不符合題意,舍去),
前提條件: 10-m≥6, 即m≤4
∴600-200-(200+50m)=600-200-(200+50×1)=150.故這批紀念品第三周的銷售數量為150個.
[解析]∵每增加10元，就有一個房間空閑，增加20元就有兩個房間空閑，以此類推，空閑的房間為 ，∴入住的房間數量= 房間價格是(200+x)元，總維護費用是(
(2)依題意,得( 整理，得 解得x =320,x =100.當x=320時，有游客居住的客房數量是 (間).當x=100時，有游客居住的客房數量是 (間).所以當x=100時，能吸引更多的游客，則每個房間的定價為200+100=300(元).
故每間客房的定價應為300元.
10.(1)設該市參加健身運動人數的年均增長率為x，由題意，得
解得. 5(不符合題意，舍去)，故該市參加健身運動人數的年均增長率為25%.
(2)設購買的這種健身器材的套數為 m套，
∵240000÷1600=150(套),∴m>100.
由題意，得
整理，得m -500m+60000=0,
解得m =200,m =300,
當n = 200 時, 1200>1000,符合題意;
當m =300 時, 800<1000,不符合題意,舍去.
故購買的這種健身器材的套數為200套.
中高考趨勢 這類題目符合當前中高考”重應用、強分析”的命題趨勢，需通過系統性練習提升綜合解題能力.未來中高考可能會繼續加強這類題目的比例，以更好地評估學生的綜合數學素養和解決實際問題的能力，因此，學生在備考時，需強化實際應用題訓練，尤其是增長率、分段定價等典型模型；注重分情況討論的思維訓練，避免遺漏約束條件(如最低售價)；提高審題能力，注意題目隱含條件或潛在錯誤，培養自主驗證的習慣.

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