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專題提優特訓3 與一元二次方程的根有關的問題
題型1 與根的定義結合
1.(2025·湖北武漢洪山區期中)如果關于x 的一元二次方程 的一個解是x=-1，那么代數式2022—a+b 的值為 .
2.已知x=1是一元二次方程 的一個解，且a≠b，求 的值.
3.(2025·遼寧丹東期末)“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規定，要求同學們現學現用，更多考查閱讀理解能力、應變能力和創新能力.定義：方程 是一元二次方程 的倒方程，其中a，b，c為常數(且a，c≠0).根據此定義解決下列問題：
(1)一元二次方程 的倒方程是 ;
(2)若x=-1是一元二次方程 0 的倒方程的解，求出 c 的值；
(3)若m 是一元二次方程 的倒方程的一個實數根，則 2 025的值為 .
題型2 與根的判別式結合
4.(2024·湖州一模)對于關于 x 的一元二次方程 的根的情況，有以下四種表述：
①當a<0,b+c>0,a+c<0時,方程一定沒有實數根；
②當a<0,b+c>0,b-c<0時,方程一定有實數根；
③當a>0,a+b+c<0時,方程一定沒有實數根；
④當a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0時,方程一定有兩個不相等的實數根.
其中表述正確的序號是（ ）.
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5.(2025·云南昆明五華區期中)若關于 x 的方程 有兩個相等的實數根，則 的值為 .
6.已知關于x 的一元二次方程 2k+2=0.
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一根小于-3，求k 的取值范圍.
7.已知一元二次方程 的一個根為2.
(1)求q 關于p的關系式；
(2)求證：方程 有兩個不相等的實數根；
(3)若方程 有兩個相等的實數根，求方程 的兩根.
題型3 與根與系數的關系結合
8.(2025·江蘇連云港灌南期中)有兩個一元二次方程為A:ax + bx+c=0,B:cx + bx+a=0,其中a-c≠0，下列四個結論中，錯誤的是（ ）.
A.如果方程A 有兩個不相等的實數根，那么方程 B 也有兩個不相等的實數根
B.如果方程A 兩根符號相同，那么方程B 的兩根符號也相同
C.如果2是方程A 的一個根，那么 是方程B的一個根
D.如果方程A 和方程B 有一個相同的根，那么這個根必是1
9.整體思想(2025·江蘇南京東南實驗學校月考)若關于x的方程 的兩根之和為p，兩根之積為 q，則關于 y 的方程a(y- 的兩根之積是 .
10.已知關于x的一元二次方程 3m+6=0的兩根是一個矩形的兩鄰邊的長.
(1)求證：不論實數m 取何值，方程總有實數根.
(2)當矩形的對角線長為5 時，求m 的值.
(3)當m 為何值時，矩形為正方形
11.若 為一元二次方程 0的根.
(1)方程的另外一個根β= ,t= ;
(2)求 的值；
(3)求作一個關于 y 的一元二次方程，使其二次項系數為1，且兩根分別為α ,β .
專題提優特訓3與一元二次方程的根有關的問題
1.2024 [解析]把x=-1代入方程 ,得a-b+2=0,所以a-b=-2,所以2022-a+b=2022-(a-b)=2022+2=2024.
2.把x=1代入方程,得a+b=20.
又a≠b,所以
思路引導 利用方程解的定義找到相等關系，再把所求的代數式化簡后整理出關于所找到的相等關系的形式，最后把此相等關系整體代入所求代數式，即可求出代數式的值.
(2)由題意，得方程 的倒方程為 1=0,把x=-1代入方程,得c+2+1=0,∴c=-3.
(3)2025 [解析]由題意,得方程- 的倒方程為
∵m是方程. 的一個實數根，
2025=2025.
4. B [解析]①當a=-1,b=3,c=-2|時,滿足a<0,b+c>0,a+c<0,此時.△=3 -4×(-1)×(-2)=1>0,即方程有兩個不相等的實數根，故①錯誤；②∵b+c>0，b-c<0,∴c>0.∵a<0,∴-4ac>0,∴△=b -4ac>0,即方程有兩個不相等的實數根，故②正確；③當a=1，b=-1，c=-1時,滿足a>0,a+b+c<0,此時. 1-4×1×(-1)=5>0,即方程有兩個不相等的實數根,故③錯誤;④∵a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0,∴b= ，即方程有兩個相等的實數根，故④錯誤.綜上所述，正確的是②.故選B.
5.49 [解析]根據題意得
∴原式
6.(1)∵在方程 中，
1) ≥0，∴方程總有兩個實數根.
∵方程有一根小于-3,∴k+1<-3,解得k<-4,
∴k的取值范圍為k<-4.
7.(1)∵一元二次方程 的一個根為2，∴4+2p+q+1=0,∴q=-2p-5.
∴方程 有兩個不相等的實數根.
(3)∵方程 有兩個相等的實數根， ∴p=-4,q=3.
把p=-4,q=3代入 得 解得x=1或x=3.
8. D [解析]A.∵A:ax + bx+c=0,B:cx + bx+a=0,∴在方程 中 在方程 bx+a=0中,
∴如果方程A 有兩個不相等的實數根，那么方程 B 也有兩個不相等的實數根，故該選項正確；
B.由根與系數的關系可知：一元二次方程A、B的兩根之積分別是c/a和a/c，∵它們符號相同，
∴如果方程A 有兩根符號相同，那么方程B 的兩根符號也相同，故該選項正確；
C.∵2是方程A 的一個根,∴4a+2b+c=0,
是方程B 的一個根，故該選項正確；
D. A-B得( 即
解得x=±1，故該選項錯誤.
故選 D.
9. q+p+1 [解析]設關于x的方程( 的兩個根為x ,x ,則.
∴關于y的方程的兩根為 →把(y-1)看作整體，作為未知數
p+1.
1 不論m取何值，
∴△≥0，∴不論實數m取何值，該方程總有實數根.
(2)設矩形的兩邊長分別為a，b，∴a，b是關于x的一元二次方程 的兩根，
∵矩形的對角線長為 25,解得
∵a+b=m+5>0,即m>-5,∴m的值為2.
a，b需符合實際意義
(3)由題意，得△=[-(m+5)] -4×1×(3m+6)= 解得
矩形為正方形，即方程有兩個相等的實根
故當m=1時，矩形為正方形.
(2)由(1)知 為一元二次方程 的根
3(1+α)+α(1+α)=1+3α+3+3α+α+α =1+3α+ β)+5=8×1+5=13.
∴二次項系數為1，兩根分別為α ，β 的關于y的一元二次方程是

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