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一元二次方程的根與系數的關系
基礎鞏固提優
1. 教材P16例4·變式(2023·天津中考)若x ,x 是方程 的兩個根，則（ ）.
2.(2024·綏化中考)小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是-2和-5，則原來的方程是( ).
3.若關于x的一元二次方程. 兩根為x ,x ,且. 則m的值為（ ）.
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.(2023·隨州中考)已知關于x 的一元二次方程 的兩個實數根分別為x 和x ,則. 的值為 .
5.已知關于x的一元二次方程 0有兩個不相等的實數根.
(1)求k 的取值范圍；
(2)若方程的兩個根為α，β，且 求k 的值.
思維拓展提優
6.(2024·樂山中考)若關于x 的一元二次方程. 2x+p=0兩根為x ,x ,且 則 p的值為（ ）.
B. C. - 6 D. 6
7.(2023·瀘州中考)若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程 0的兩個實數根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（ ）.
A. B. 2
8.(2024·煙臺中考)若一元二次方程 的兩根為m，n，則 的值為 .
9.(2025·衡陽祁東育賢中學模擬)若關于x 的一元二次方程 有兩個不同的實數根x ,x ,且 則m= .
10.(陜西西安交大附中少年班自主招生)已知關于x 的一元二次方程 的解為 an, bn,求 的值.
11.(2025·廣東清遠期中)已知平行四邊形ABCD 的兩邊 AB，AD 的長是關于 x 的方程 的兩個實數根.
(1)當 m 為何值時,四邊形 ABCD 是菱形 求出這時菱形的邊長.
(2)若AB 的長為2,則平行四邊形 ABCD 的周長是多少
(3)若這個方程的兩個實數根分別為x ,x ,且 求m 的值.
延伸探究提優
12.閱讀材料：
材料1：關于x的一元二次方程 0(a≠0)的兩個實數根x ,x 和系數a,b,c,有如下關系：
材料2：已知一元二次方程 的兩個實數根分別為m，n，求 的值.
解：∵m，n是一元二次方程. 的兩個實數根,∴m+n=1, mn=-1.
則 根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
(1)應用：一元二次方程 的兩個實數根為x ，x ，則
(2)類比：已知一元二次方程 0的兩個實數根為m，n，求 的值；
(3)提升：已知實數s，t滿足 且s≠t,求 的值.
中考提分新題
13.(2024·內江中考)已知關于x 的一元二次方程 (p為常數)有兩個不相等的實數根x 和x .
(1)填空:
(2)求
(3)已知 求p 的值.
一元二次方程的根與系數的關系
1. A [解析]∵x ,x 是方程. 的兩個根， 故選 A.
方法詮釋 若x ，x 是一元二次方程 (a≠0)的兩根,則 反過來也成立，即
2. B
3. C[解析]∵一元二次方程 的兩根為x ， 故選C.
4.2[解析]∵關于x 的一元二次方程. 的兩個實數根分別為x 和
5.(1)∵關于x的一元二次方程. 有兩個不相等的實數根，。 -8+4k>0,解得k>2.
(2)∵方程的兩個根為 解得 (舍去).
6. A[解析]∵關于x的一元二次方程. 兩根為 即 解得 故選 A.
7. C[解析]設菱形的兩條對角線長分別為a，b，∵菱形的面積=兩條對角線乘積的一半， 即 ab=22.由題意，得 菱形的邊長 故選C.
8.6[解析]∵一元二次方程 的兩根為m，n，
[解析]∵關于x 的一元二次方程 0有兩個不同的實數根 解得 當 時 不符合不要忘記檢驗此種情況是否存在
題意，舍去；當 時， 符合題意.綜上，
的解為 an, bn,
中高考趨勢 本題體現了新高考趨勢中對數學核心素養的綜合考查，包括代數變形、數列求和及邏輯推理能力等.結合二次方程、代數變形及數列求和，體現知識點的整合；通過裂項法簡化求和，減少繁瑣運算，強調邏輯推導；考查數學抽象、運算能力和模型思想，符合新高考對核心素養的重視.
11.(1)當AB=AD 時,四邊形 ABCD 是菱形,即方程 的兩個實數根相等，
解得m=1,
此時方程為 解得
∴這時菱形的邊長為
(2)根據題意知 解得
∴平行四邊形 ABCD 的周長是
入周長公式求解
(3)∵這個方程的兩個實數根分別為x ，x ，
代入到( ，可得 解得
(2)∵一元二次方程 的兩個實數根分別為m
運用完全平方公式變形
(3)∵實數 s,t 滿足 ，且s≠t,∴s,t 是一元二次方程 的兩個實數根
13.(1)p 1
∵關于x 的一元二次方程. (p為常數)有兩個不相等的實數根x 和. 即
方程兩邊同時除以x ，x ≠0是前提
(3)由根與系數的關系得
，解得
當p=3時, ;當 p=-1時,△=
知識拓展 一元二次方程根與系數的關系可以解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根；②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數；③不解方程求關于根的式子的值，如求 等等；④判斷兩根的符號；⑤求作新方程；⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件.

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