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2025-2026學年數學九年級上冊人教版-第22章二次函數章末測試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．拋物線與軸的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．拋物線的對稱軸為（ ）．
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
3．若一元二次方程無實數根，則拋物線的圖象位于（ ）
A．第一、二、三象限 B．x軸上方
C．x軸下方 D．第二、三、四象限
4．已知一條拋物線經過四點，則拋物線的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
5．若點在拋物線上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知拋物線先向左平移h個單位長度，再向下平移k個單位長度，得到的拋物線的解析式為，則h和k的值分別為（ ）
A．1，3 B．3， C．1， D．3，
7．如圖，某同學在校運會跳高比賽中采用背躍式，跳躍路線是一條拋物線．他跳躍的高度y（單位：m）與跳躍時間x（單位：s）之間具有函數關系，那么他能跳過的最大高度為（ ）
A． B． C．1m D．
8．如圖是二次函數的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函數為常數的圖象與軸有交點，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函數（為常數，）的自變量與函數對應值如表：
… 0 …
… …
若，則點所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空題
11．已知二次函數，時函數y的最大值是1，則 ．
12．已知二次函數與軸的交點的橫坐標為，則的值為 ．
13．對于一次函數以及二次函數（其中、、均為常數，且），當時，這兩個函數的最大值與最小值之差恰好相等，則的值為 ．
14．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線交軸于點，過作軸，交拋物線于點，點為上方拋物線上一點，連接，作于點．若，則點的坐標為 ．
15．如圖1，在中，，，動點從點，出發以的速度沿折線方向運動到點停止，動點以的速度沿方向運動到點停止．設的面積為，運動時間為．表示與之間關系的圖象如圖2所示，則當面積時，對應的運動時間的值是 ．
三、解答題
16．已知二次函數．
(1)求出該函數圖象的對稱軸和頂點坐標；
(2)當滿足什么條件時，隨增大而減小？
17．在平面直角坐標系中，拋物線頂點為M，是拋物線上的兩點，A、B兩點間的拋物線為G，拋物線與x軸的一個交點C在拋物線G上．
(1)求拋物線與y軸的交點D的坐標；
(2)求k的取值范圍；
(3)若k為整數，拋物線與x軸的另一交點為E，連接，求與兩角和的度數．
18．某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施．經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，求：
(1)若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元
(2)要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設計方案．
19．如圖，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求該二次函數的表達式；
(2)若點是二次函數的圖象的對稱軸與直線的交點，點是二次函數圖象的頂點，求的長．
20．某社區為了解決停車難的問題，利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示．已知，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路．已知鋪花磚的面積為．
(1)求道路的寬是多少米
(2)該停車場共有車位45個，據調查分析，當每個車位的月租金為300元時，可全部租出．若每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位．政府規定月租車位租金最高限價為350元，請你幫忙確定月租金為多少元時，停車場月租收益最大，并求出最大收益．
21．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點A，C（點A在點C的右邊），與y軸交于點B，直線經過點A，B．
(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；
(2)求直線的函數解析式；
(3)P是x軸上方拋物線上的一個動點，過點P作軸交直線于點Q，設點P的橫坐標為，的長為L．求L關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍．
《2025-2026學年數學九年級上冊人教版-第22章二次函數章末測試卷》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C A A A A A C
1．A
【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點問題．
求拋物線與y軸的交點坐標，只需令，代入拋物線解析式計算對應的y值即可．
【詳解】解：將代入拋物線方程，得：，
因此，拋物線與y軸的交點坐標為，
故選：A．
2．A
【分析】此題考查求拋物線的對稱軸，根據拋物線的一般式，利用對稱軸公式直接求解．
【詳解】解：拋物線的表達式為，其中，，
代入對稱軸公式得：，
因此，拋物線的對稱軸為直線，
故選A．
3．C
【分析】由一元二次方程無實根可知判別式小于0，結合拋物線開口方向、與x軸的位置關系判斷.
【詳解】解：∵原方程無實根，
∴判別式.
∴拋物線的圖象開口向下，且與x軸無交點，
∴拋物線的圖象位于x軸下方.
故選：C.
4．C
【分析】首先設出拋物線的解析式，然后利用點A的坐標求出常數項，利用縱坐標相同的點B與點C ，求出對稱軸進而得知拋物線一次項系數與二次項系數的關系式，點D帶入解析式即可求出.
【詳解】解：設拋物線的解析式為
將點A(0,10)代入解析式得
，
得，
故解析式為；
點B()和C()的縱坐標相同，
即點B與點C關于拋物線的對稱軸對稱。
對稱軸為兩點橫坐標的中點為
已知拋物線的對稱軸公式為，
將D(3,1)代入解析式：
整理得
又
解得；
.
故拋物線的解析式為.
故選：C.
【點睛】本題考查了拋物線的對稱性及已知點坐標求拋物線的解析式，熟練掌握拋物線的性質是解答本題的關鍵.
5．A
【分析】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，由拋物線開口向下且對稱軸為直線知離對稱軸水平距離越遠，函數值越大，據此求解可得．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為，開口向上，
點的距離為，
點的距離為，
點的距離為，
由于開口向上，距離對稱軸越遠，y值越大，
∵，
∴．
故選：A．
6．A
【分析】根據拋物線的平移規律，原拋物線頂點為，平移后的頂點為，通過比較頂點坐標的變化確定平移步驟.
【詳解】解：由題可知，原拋物線解析式為，頂點坐標為.
平移后的拋物線解析式為，頂點坐標為.
觀察可得：頂點橫坐標從變為，
即向左平移了個單位，
∴；
頂點縱坐標從變為，
即向下平移了個單位，
∴；
綜上，，.
故選：A.
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換．關鍵是將拋物線的平移問題轉化為頂點的平移，用頂點式表示拋物線解析式．
7．A
【分析】本題考查了配方法求拋物線的最值，熟練進行配方是解題的關鍵．利用配方法把一般式轉化為頂點式，確定二次函數的最值即為所求．
【詳解】解：
，
當時，有最大值為，
他能跳過的最大高度為.
故選：A ．
8．A
【分析】根據對稱軸是直線，可得，即，即可判斷A；根據拋物線開口判斷，然后根據對稱軸判斷，拋物線交y軸于正半軸，，可判斷B；由圖象知：當時，，可判斷C；由圖可知時，可判斷D．
本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，理解題意，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題關鍵．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，故選項A正確；
∵，
∴，
∵拋物線交y軸于正半軸得：；
∴，故選項B錯誤；
由圖象知：當時，，
∴，
∴，故選項C錯誤；
由圖可知，時，
∴，故選項D錯誤．
故選：A．
9．A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，明確拋物線與x軸的交點個數與判別式的關系及二次函數的性質是解題的關鍵．
根據圖象與x軸有交點，得出判別式，從而解得，然后求出拋物線的對稱軸，結合拋物線開口向上，且當時，y隨x的增大而增大，可得，從而得出選項．
【詳解】解：∵二次函數（為常數）的圖象與x軸有交點，
∴，
解得：，
∵拋物線對稱軸為直線，拋物線開口向上，當時，y隨x的增大而增大，
∴，
∴
∴m的取值范圍是，
故選：A．
10．C
【分析】本題考查了二次函數的性質，判斷點所在的象限；根據表格中和時值相等，確定二次函數的對稱軸為，結合頂點處的函數值判斷開口方向，進而確定、、的符號關系，最終得出點的坐標符號及其所在象限．
【詳解】解：由表格可知，當和時，均為，則對稱軸為．
當時，且，說明頂點為最低點，拋物線開口向上，因此．
當時，，代入函數得：
由和，
因此，點的坐標為，橫縱坐標均為負數，位于第三象限．
故選：C．
11．或3
【分析】本題主要考查二次函數的最值，由函數解析式可知當時，函數有最大值為，且當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減小，根據x的值滿足時，與其對應的函數值y的最大值為1，可分情況討論a的值．
【詳解】解：∵，
∴函數圖象開口方向向下，對稱軸為直線，頂點為，
∴當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減小，
∴當時，，
解得，，，
在時，當時，最大值為1，此時；
在時，當時，最大值為1，
綜上，a的值為或3，
故答案為：或3．
12．
【分析】本題考查了二次函數與軸的交點問題，一元二次方程根與系數的關系，將變形為，由一元二次方程根與系數的關系得到，，代入即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：二次函數與軸的交點對應的一元二次方程為，設根為，
∴，，
∴，
故答案為：．
13．或
【分析】本題考查了一次函數的圖像和性質，二次函數的圖像和性質.對于一次函數（ ）和二次函數（ ） ，我們要比較在取值從到時，它們各自最大值與最小值的差值情況．一次函數時，增大增大；二次函數 圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是 ．我們通過分別計算兩個函數在為和時的函數值，找出最大最小并求差，再令兩個差相等來計算的值．本題考查一次函數和二次函數在特定取值范圍內的函數值變化情況．解題關鍵在于準確求出兩個函數在為和時的函數值，確定各自的最大最小值并求差，再根據差值相等列方程求解 ，同時要根據二次函數對稱軸與、的位置關系進行分類討論，避免漏解．
【詳解】解：當時，函數值 ；當時，函數值 ．
∵，
∴，那么最大值與最小值的差為： ．
二次函數（）圖象開口向上，對稱軸為 ．
情況一：當，即 時 當時，函數值 ；當時，函數值 ．
∵ ，
∴此時，最大值與最小值的差為： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情況二：當 時 當時，函數值 ；當時，函數值 ．
∵ ，此時，最大值與最小值的差為： ． 令 ，等式兩邊同時減得到 ，
∵ ，解得 ．
情況三：當，即 時,
當時，．
當時，函數值 ；
當時，函數值 ．
當時，即，
∴，
∴
此時
∴，
解得（舍去）或（舍去），
當時，即，
∴，
∴
此時
∴（舍去）或（舍去）
綜上所述， 或
故答案為：或
14．
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質．設點的坐標為，求出點A的坐標，再由軸，，可得點Q的坐標為，再根據是等腰直角三角形，可得到關于m的方程，即可求解．
【詳解】解：設點的坐標為，
當時，，
∴點A的坐標為，
∵軸，，
∴點Q的坐標為，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴點的坐標為．
故答案為：
15．4
【分析】本題考查了求一次函數解析式，一次函數的性質.
分別求出，，求出直線的解析式，將代入即可.
【詳解】如圖，
∵，，
∴
∵，
∴動點到達點時，動點到達點，
此時，
∴
∵，
∴的面積降為0時，，
∴
設直線的解析式為，
將，代入得
解得
∴直線的解析式為，
當時，
解得：
∴當面積時，對應的運動時間的值是4
故答案為：4
16．(1)對稱軸是直線，頂點坐標是
(2)
【分析】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
（1）根據對稱軸公式與頂點坐標公式，即可求解；
（2）根據對稱軸以及開口方向，即可求解．
【詳解】（1）解：，
，，
∴函數圖象的對稱軸是直線，頂點坐標是；
（2）解：，
∴拋物線開口向下；
∴當時，隨增大而減小．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了求二次函數與坐標軸的交點坐標，二次函數與一元二次方程之間的關系，二次函數綜合，熟知相關知識是解題的關鍵．
（1）求出自變量的值為0時的函數值即可得到答案；
（2）先求出點A和點B的橫坐標，根據題意可得點A和點B都在x軸上方時，對稱軸在直線和直線之間或點A在x軸下方或在x軸上，且點B在x軸上方或在x軸上，據此分類討論求解即可；
（3）根據（2）所求可得，則拋物線解析式為，據此可得，；作點M關于y軸的對稱點，連接，則，則，可證明；可證明，，得到，則，即．
【詳解】（1）解：在中，當時，，
∴拋物線與y軸的交點D的坐標為；
（2）解：在中，當時，，
在中，當時，，
∵A、B兩點間的拋物線為G，拋物線與x軸的一個交點C在拋物線G上，
∴當點A和點B都在x軸上方時，則 ，此時不等式組無解；
當點A在x軸下方或在x軸上，且點B在x軸上方或在x軸上時，
，
∴；
（3）解：∵且k為整數，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴，
在中，當時，或，
∴；
如圖所示，作點M關于y軸的對稱點，連接，則，
∴，
∴；
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)20元
(2)每件襯衫需降價15元
【分析】本題考查了二次函數的應用，解題時要能利用基本數量關系：平均每天售出的件數×單件盈利=每天銷售的利潤．
(1)依據題意，設每件襯衫降價元，可得每件盈利元，每天可以售出件，進而得到商場平均每天盈利元，依據方程即可得到的值；
(2)依據題意，用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件襯衫降價多少元．
【詳解】（1）解：設每件襯衫降價元，則多售出件，
由題意：，
解得，（要盡快減少庫存，故舍去）
答：每件襯衫降價20元．
（2）設盈利元，則與的關系式為：，
，
當時，該二次函數有最大值，為1250元．
答：每件襯衫需降價15元，商場平均每天贏利最多．
19．(1)該拋物線的解析式為
(2)
【分析】本題考查二次函數與一次函數綜合，涉及待定系數法求二次函數解析式、待定系數法求一次函數解析式、一般式化為頂點式、求拋物線與坐標軸交點等知識，數形結合求出拋物線及直線的解析式是解決問題的關鍵．
（1）根據題意，利用待定系數法求拋物線表達式，將，代入得，解二元一次方程組即可得到答案；
（2）將（1）中拋物線化為頂點式，得到拋物線的頂點的坐標為，拋物線的對稱軸為直線，利用待定系數法求出直線的解析式，進而得到點的坐標為，根據點的坐標特征即可求出的長．
【詳解】（1）解：將，代入，得
，解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：∵拋物線的解析式為，
∴拋物線的頂點的坐標為，拋物線的對稱軸為直線，
當時，，
∴點的坐標為，
設直線的解析式為（），將，代入，得，解得，
∴直線的解析式為，
拋物線的對稱軸與直線的交點為，
當時，，即點的坐標為，
∴．
20．(1)道路的寬是米
(2)月租金定為元，停車場的月租金收入最大為元
【分析】本題考查了一元二次方程和二次函數的應用，讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，列出方程和函數是解題關鍵．
（1）設道路的寬為米，根據題意列出方程并解答即可；
（2）設車位的月租金為元，根據：月租金每個車位的月租金車位數，列出二次函數解析式并根據二次函數的性質解答即可．
【詳解】（1）解：設道路的寬為米，
根據題意得：，
整理，得：，
解得：(舍去)，，
答：道路的寬是米；
（2）解：設月租金為元，停車場的月租金收入為元，
根據題意得：，
∵政府規定月租車位租金最高限價為350元，
∴當時，最大為元，
答：月租金定為元，停車場的月租金收入最大為元．
21．(1);;
(2)
(3)
【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點、一次函數解析式的求解以及動點問題中線段長度的函數表示，解題的關鍵是利用坐標關系確定點的坐標，結合平行線的性質轉化線段長度為坐標差的絕對值，并根據動點位置限定自變量的取值范圍．
（1）通過拋物線與x軸、y軸交點的坐標特征或直接求解的坐標；
（2）利用待定系數法，將A、B兩點坐標代入直線解析式求解參數k和b；
（3）根據平行于x軸的性質確定Q點坐標，通過橫坐標差的絕對值表示長度，
結合P在ⅹ軸上方的條件確定m的范圍，化簡得到分段函數解析式．
【詳解】（1）解：對于拋物線
令，則，即，解得，．
∵點A在點C右邊，∴，．
令，則，
∴．
故，，．
（2）解：設直線的解析式為，將，代入得：
，解得，．
∴直線的解析式為．
（3）解：∵點P的橫坐標為m，且在拋物線上，
∴．
∵軸，
∴點Q與點P縱坐標相同，代入直線解析式得：
，解得，即
的長．
∵P在x軸上方，拋物線時，且，
∴分兩種情況：
當時，；
當時，．
∴
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