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2025-2026學年數學九年級上冊蘇科版-第1章一元二次方程章末測試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．方程的二次項系數、一次項系數和常數項可以是（　　）
A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3，
2．一元二次方程的根為（ ）
A． B．1 C．1或 D．0
3．將一元二次方程配方后可化為（ ）
A． B． C． D．
4．關于一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．只有一個實數根 B．沒有實數根
C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根
5．若關于x的一元二次方程（a≠0）有一解為，則一元二次方程必有一解為（ ）
A． B． C． D．
6．某商店以每件元的價格購進一批商品，根據規定，每件商品的利潤不得超過．若每件商品的售價定為元，則可賣出件．如果商店預期要盈利元，那么每件商品的售價應定為（ ）
A．20元 B．20.8元 C．20元或30元 D．30元
7．已知是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．用因式分解法解下列方程，其中正確的是（ ）
A．，所以
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以或
9．如圖，有一塊長、寬的長方形綠地．在綠地中開辟兩條寬為的道路，使得，開辟道路后剩余綠地的面積為，則b的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．定義新運算：，例如：．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．若方程有解，則的取值范圍是 ．
12．已知關于x的一元二次方程的一個根是，則m的值為 ．
13．已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根，其中，則 ．
14．根據下列表格的對應值，由此可判斷方程必有一個解的取值范圍是 ．
15．我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中提出這樣一題：直田積八百六十四步，只云闊不及長十二步，問闊及長各幾步．意思是矩形面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．矩形的寬為 步，長為 步．
16．如圖，在中，，，點E從A點出發，沿射線運動，速度為，點F從點C出發，沿線段運動，速度為，連接．E、F兩點同時出發，當點F到達點A時，點E也停止運動，請問經過 s后，的面積恰為．
三、解答題
17．計算：
(1)；
(2)．
18．若，是菱形兩條對角線的長，且，是一元二次方程的兩個根，求菱形的周長．
19．關于x的一元二次方程．
(1)當時，求方程的根；
(2)若方程有兩個不相等的實數根，求c的取值范圍．
20．某小商品批發市場的某件商品在今年9月份一共銷售了3萬件，銷售量逐月增加，11月份一共銷售了3.63萬件，已知該商品月銷售量的月平均增長率相同．求9月份到11月份該商品月銷售量的月平均增長率．
21．某校計劃在一塊長為30米，寬為20米的矩形 地面上鋪設同樣寬的兩條通路（圖中陰影部分），設每條通路的寬為x米，剩余部分計劃綠化，若綠化的面積為551平方米，求通路的寬x 的值．
22．小明在學習有關配方的知識時，發現一個有趣的現象：關于x的多項式，由于，所以當取任意一對互為相反數的數時，多項式的值是相等的，例如，當，即或1時，的值均為4：當，即或0時，的值均為7，于是小明給出一個定義：關于x的多項式，若當取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于對稱，例如關于對稱．
請結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關于_______對稱；若關于x的多項式關于對稱，求n的值；
(2)若整式關于對稱，求實數a的值．
《2025-2026學年數學九年級上冊蘇科版-第1章一元二次方程章末測試卷》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C A A D C C C
1．D
【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，將方程化為一般形式后，確定二次項系數、一次項系數和常數項即可．
【詳解】解： 方程化為一般形式為
∴二次項系數、一次項系數和常數項是1，3，，
故選：D
2．C
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，通過因式分解求解即可．
【詳解】解：原方程可分解為，
解得或，
故選：C．
3．A
【分析】本題考查配方法，根據配方法的步驟，一除，二移，三配，四變形，進行求解即可．
【詳解】解：，
，
，
∴；
故選A．
4．C
【分析】本題考查了根的判別式，通過計算判別式判斷一元二次方程的根的情況即可．
【詳解】解：由方程得：，，，
，
方程有兩個相等的實數根，
故選：Ｃ．
5．A
【分析】本題考查了一元二次方程的解，將第二個方程變形，使其與原方程的結構一致，利用已知解代入求解．
【詳解】解：原方程有一解，代入得．
將第二個方程整理為：，
，
令，則方程變為，
與原方程形式相同，則解相同．
則，即，解得．
因此，第二個方程必有一解為，
故選：A．
6．A
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解一元二次方程的應用題，找準等量關系，正確列出方程并檢驗結果是否符合題意是解題的關鍵．
本題可根據利潤的計算公式列出方程，再結合利潤限制條件求解，設每件商品的售價應定為元，則利潤為元，根據要盈利元，列方程求解．
【詳解】解：設每件商品的售價應定為元，則利潤為元，由題意得，
整理得
解得：
當時，
每件商品的利潤不得超過．
不符合題意，舍去．
故每件商品的售價應定為元．
故選：A．
7．D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，一元二次方程解的定義；
根據一元二次方程的根與系數的關系和一元二次方程解的定義得到，，再把原式變形為，由此代值計算即可．
【詳解】解：已知是一元二次方程的兩個實數根，
．
故選：D．
8．C
【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，根據因式分解法解一元二次方程，逐項分析判斷，即可求解．
根據因式分解法解方程的條件，方程右邊必須化為，左邊為兩個因式乘積的形式，再令每個因式等于求解．
【詳解】解：選項A：方程的右邊為0，正確解法應為或，
但選項A僅提到，漏掉，步驟不完整，錯誤．
選項B：方程的右邊非，不能直接令各因式等于3或4；需先移項整理為再分解，選項B方法錯誤．
選項C：方程的右邊為0，
正確解法為：令各因式或，步驟正確．
選項D：方程的右邊非，不能直接令各因式等于1；
需移項后重新分解，選項D方法錯誤．
故選：C．
9．C
【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題關鍵．
剩余部分可合成長為，寬為的長方形，結合且剩余綠地面積為5046平方米，列出等式求解.
【詳解】．
依題意，得，
即，
整理，得，
解得（不符合題意，舍去）．
故的值為．
故選：C．
10．C
【分析】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，解題的關鍵是熟練掌握當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．
先根據題目所給新定義運算法則，得出，再根據“該方程有兩個不相等的實數根”得出，列出不等式求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∵該方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：．
故選：C．
11．
【分析】本題考查了解一元二次方程，根據完全平方數是非負數得到關于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方數是非負數是解題的關鍵．
【詳解】解：∵方程有解，
∴，
∴，
故答案為：．
12．2
【分析】此題考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解滿足方程是解題的關鍵．
根據一元二次方程解的定義，把代入方程，即可解得m的值．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的一個根是，
∴，
∴．
故答案為：2．
13．
【分析】本題考查根與系數的關系，根據根與系數的關系得到，結合，進行求解即可，熟練掌握根與系數的關系，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的兩個實數根，
∴，
∵，
∴；
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據表格數據解答即可求解，看懂表格數據是解題的關鍵．
【詳解】解：由表可知，時，；當時，，
∴當時，必有一個解，
∴的取值范圍是，
故答案為：．
15． 24 36
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用．設長為 步，根據矩形面積864平方步，寬比長少12步，列出一元二次方程進行求解即可．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．
【詳解】解：設矩形的長為x步，則矩形的寬為步．
由題意，得．
整理，得，
解得（不合題意，舍去），
，
矩形的寬為24步，長為36步．
故答案為：24；36．
16．4或6
【分析】本題考查了一元二次方程的應用．熟練掌握含30度的直角三角形性質，三角形面積公式，是解題關鍵．
設經過t秒后的面積恰為，過點F作于點D，求出，結合，根據三角形的面積公式列出方程求解．
【詳解】解：設經過時間為，過點F作于點D，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
即經過或后，的面積恰為．
故答案為：4或6．
17．(1)
(2)
【分析】本題考查了解一元二次方程，能用恰當的方法求解是解題的關鍵．
（1）求出的值，再代入公式求出即可．
（2）分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】（1）解：，
則，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
，
∴，
∴．
18．
【分析】本題考查了菱形的性質、一元二次方程根與系數的關系及勾股定理，解題的關鍵是利用菱形對角線互相垂直平分的性質，結合根與系數的關系求出菱形的邊長．
關鍵步驟：明確菱形對角線互相垂直平分，對角線的一半與菱形的邊長構成直角三角形；由一元二次方程根與系數的關系得對角線之和與積；利用勾股定理求出菱形的邊長，進而求出周長．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，a，b是其兩條對角線的長，
∴菱形的對角線互相垂直平分，菱形的邊長為
∵a，b是一元二次方程的兩個根，
∴由根與系數的關系得：，
則菱形的邊長為：
．
∴菱形的周長為．
19．(1)
(2)
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程的根與有如下關系：（1）當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；（2）當時，方程有兩個相等的實數根；（3）當時，方程無實數根是解題的關鍵．
（1）把代入一元二次方程，求出的值即可；
（2）根據一元二次方程根的判別式解答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴方程可化為，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴，即，
解得：．
20．10%
【分析】本題考查了一元二次方程的應用（增長率問題），解題的關鍵是根據平均增長率的計算公式列出方程并求解．
設月平均增長率為x，根據9月銷售量以及平均增長率，表示出11月銷售量，列出方程求解．
【詳解】由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：9月份到11月份該商品月銷售量的月平均增長率為10%．
21．1
【分析】本題考查一元二次方程的應用，由平移性質得到平移道路后總種植花草的邊長及形狀是解決本題的突破點．
將橫向和縱向的兩條道路平移，表示出剩余的長和寬，然后根據面積列出方程即可．
【詳解】解：根據題意得，
整理得，
解得∶， （不合題意，舍去）．
答：通路的寬x的值為1．
22．(1)1；
(2)
【分析】本題考查了配方法的應用．
（1）依據題意，讀懂題目，僅需配方即可得解；依據題意，由多項式，又多項式關于對稱，從而可以得解；
（2）將整式進行配方，然后根據定義可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴多項式關于對稱；
由題意得多項式，
∴多項式關于對稱，
∵多項式關于對稱，
∴，
∴；
故答案為：1，；
（2）解：
，
∴關于對稱，
又∵關于對稱，
∴．
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