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第21章一元二次方程能力提升卷-2025-2026學年數學九年級上冊蘇科版
一、單選題
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．將一元二次方程化為一般形式為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知關于的一元二次方程有一個非零根，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．方程有解的條件是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程中，a，b，c滿足和，則方程的根是（ ）
A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4
7．如果關于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍為（　　）
A． B．且 C． D．且
9．定義運算：．例如：．則方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．只有一個實數根
10．股票每天的漲、跌幅均不超過，即當漲了原價的后，便不能再漲，叫漲停；當跌了原價的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價，若這兩天此股票股價的平均增長率為，則滿足的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．已知關于的方程是一元二次方程，則 ．
12．小明在解方程時，只得出一個根，則被漏掉的一個根是 ．
13．若矩形的長和寬是方程的兩根，則矩形的周長為 ．
14．若，則 ．
15．某校九年級準備以單循環（每兩個班之間都進行一次比賽）的形式組織一次籃球比賽，這樣共有15場比賽，則參賽球隊有 個隊．
16．小影與小冬一起寫作業，在解一道二次項系數為1的一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和．原來的方程是 ．
三、解答題
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．王老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌遮住了一部分（如圖）．
(1)當時，求手掌遮住的部分的值；
(2)若手掌遮住的部分為，求x的值．
19．已知關于x的一元二次方程．
(1)證明：不論m為何值，方程總有實數根；
(2)若方程的兩個實數根為，且滿足，求m的值．
20．某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25），另外三邊用木欄圍成，木欄長40，若養雞場面積為，求雞場兩邊的長分別是多少？
21．某市某樓盤準備以每平方米元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，房地產開發商為了加快資金周轉，對價格經過兩次下調后，決定以每平方米元的均價開盤銷售．
(1)求平均每次下調的百分率；
(2)王先生準備以開盤價均價購買一套平方米的住房，開發商給予以下兩種優惠方案：
①打折銷售；
②不打折，一次性送裝修費每平方米元，試問哪種方案更優惠
22．矩形的對角線相交于點．，．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，菱形的面積為，求的長．
23．定義：如果關于x的一元二次方程（）有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大1，則稱這樣的方程為“鄰根方程”．
(1)下列方程是“鄰根方程”的是______（填序號）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“鄰根方程”，，是方程的兩根，求：
①請求出k的值；
②求方程的兩個根．
《第21章一元二次方程能力提升卷-2025-2026學年數學九年級上冊蘇科版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D D C D B C A
1．B
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且化簡后未知數的最高次數都是2的方程叫做一元二次方程．根據一元二次方程的定義逐項分析即可．
【詳解】解：A．含2個未知數，不是一元二次方程，故不符合題意；
B．是一元二次方程，故符合題意；
C．的分母含未知數，不是一元二次方程，故不符合題意；
D．是多項式，不是一元二次方程，故不符合題意；
故選：B．
2．B
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟記一元二次方程的一般形式為是解題的關鍵．
將方程移項即可得到一元二次方程的一般形式．
【詳解】解：一元二次方程化為一般形式為，
故選：B．
3．A
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是把已知方程的根直接代入方程進而解決問題．由于關于的一元二次方程有一個非零根，那么代入方程中即可得到，再將方程兩邊同時除以即可求解．
【詳解】解：∵于的一元二次方程有一個非零根，
∴，
∵，
∴方程兩邊同時除以，得，
∴；
故選：A ．
4．D
【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．先移項，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
移項，得，
因式分解，得，
即，
得或，
解得：，
故選：D．
5．D
【分析】本題考查了利用平方根解方程，因為在中，左邊是一個平方數，總是大于等于，即大于等于解答即可．
【詳解】解：由可得，
∴，
故選：D．
6．C
【分析】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握一元二次方程的根的定義是解題的關鍵．
根據當時，；當時，作答即可．
【詳解】解：∵把代入得：，
∴方程的一個解是，
∵把代入得：，
∴方程的一個解是．
故選：C．
7．D
【分析】根據題意，是方程的解，得，化簡代入計算即可．
本題考查了方程的根，求代數式的值，熟練掌握方程的根是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
8．B
【分析】此題考查了根的判別式，根據題意可得，然后結合即可求解，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當方程有兩個不相等的實數根時，；當方程有兩個相等的實數根時，；當方程沒有實數根時，．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，
∴，
解得：，
∵，
∴的取值范圍是且，
故選：．
9．C
【分析】本題考查根的判別式，根據新定義運算法則以及一元二次方程的判別式即可求出答案．
【詳解】解：由題意可知：，
∴，
∴沒有實數根，
故選：C．
10．A
【分析】本題主要考查了增長率的定義及由實際問題抽象出一元二次方程的知識，這道題的關鍵在于理解：價格上漲后是原來價格的倍．股票一次跌停就跌到原來價格的，再從的基礎上漲到原來的價格，且漲幅只能，所以至少要經過兩天的上漲才可以．設平均每天漲，第一天漲為，第二天漲為，據題意列出方程．
【詳解】解：設這兩天此股票股價的平均增長率為
∴，
即，
故選：A．
11．
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且整理后未知數的最高次數都是2，像這樣的方程叫做一元二次方程．
根據一元二次方程的定義作答即可．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴，，
即，，
∴
故答案為：．
12．
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握因式分解法．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：
∴或，
∴或，
∴被漏掉的一個根是，
故答案為：．
13．24
【分析】本題重點考查的是一元二次方程根與系數的關系，矩形的周長，掌握知識點是解題的關鍵．
設矩形的長寬分別為x、y，根據一元二次方程的根與系數的關系進行解答即可．
【詳解】解：設矩形的長寬分別為x、y，
∵矩形的長和寬是方程的兩根，
∴根據一元二次方程的根與系數的關系得到
，
∴矩形周長為．
故答案為：24．
14．
【分析】本題考查了分式值為的條件，因式分解法解一元二次方程，根據題意可得，解方程即可求解．
【詳解】解：依題意，
∴或，且
∴
故答案為：．
15．6
【分析】本題考查一元二次方程的實際運用．設參賽球隊有x個隊，根據題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：設參賽球隊有x個隊，根據題意得：
，
解得：（舍去），
答：參賽球隊有6個隊．
故答案為：6
16．
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據題意得出原方程中，即可求解．
【詳解】解：根據題意設一元二次方程為：，
∵小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是6和1；
∴，即，
又∵小冬寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是．
∴，
原來的方程是，
故答案為：
17．(1)，
(2)，
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，靈活的選擇解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
（1）利用配方法解題即可；
（2）利用因式分解法解題即可．
【詳解】（1）解：
，；
（2）解：
或
，
18．(1)13
(2)
【分析】本題考查代數式求值，解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵：
（1）把代入代數式進行計算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【詳解】（1）解：當時，；
（2）由題意，，
整理，得：，
∴，
解得：．
19．(1)證明見解析
(2)或．
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，熟練地運用“根的判別式證明方程的實數根的情況，利用根與系數的關系求解參數的值”是解本題的關鍵．
（1）計算判別式的值得到，利用非負數的意義得到，然后根據判別式得到結論；
（2）利用根與系數的關系得到，將變形為，然后解關于m的方程即可．
【詳解】（1）證明：∵ ，
不論為何值時，方程總有實數根；
（2）解：根據題意得，
∵即： ，
∴，
解得，
∴m的值為或．
20．
【分析】本題考查一元二次方程的應用：首先設出雞場寬為米，長為米，然后根據矩形的面積長寬，用未知數x表示出雞場的面積，根據面積為列出方程，解方程即可；
【詳解】設寬為米，長米，
根據題意得：，
解得：，，
由得，
故，
∴雞場靠墻的一邊長為：（m）．
∴雞場兩邊的長分別是．
21．(1)
(2)方案②更優惠
【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
()設出平均每次下調的百分率為，第一次下調后 的價格為元，第二次下調后的價格為元，根據已知銷售價格列方程解答即可．
()分別計算兩種方案的優惠價格，比較后發現更優惠方案即可．
【詳解】（1）解：設平均每次下調的百分率為，
第一次下調后的價格為元，第二次下調后的價格為元，
根據題意，可列方程：
，
，
當時，，
當時，（下調百分率不能大于，舍去），
所以，平均每次下調的百分率為．
（2）方案①：
住房面積是平方米，開盤均價為每平方米元，打折銷售，
那么總房款為：(元) ；
方案②：
不打折，一次性送裝修費每平方米元，
那么實際支付款為： (元)
∵，
∴方案②更優惠．
22．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了菱形的判定和性質，矩形的性質，30度角的性質，解一元二次方程．
（1）根據對邊平行得四邊形是平行四邊形，由原矩形對角線相等且互相平分得，所以四邊形是菱形；
（2）連接對角線，根據菱形對角線平分面積得出的面積是菱形面積的一半，設，根據中位線性質求出的長，根據三角形面積公式列方程解出即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，，，
，
是菱形；
（2）解：，
，
連接，交于，則，，
∵矩形
∴
∵，
∴
∴設，則，
∴
，，
，
，
，
，
．
23．(1)②④
(2)①，②，
【分析】本題考查了解一元二次方程、一元二次方程根與系數的關系．
（1）分別求得①②③中兩個方程的根，再根據“鄰根方程”的定義判斷即可；
（2）①利用根與系數的關系和“鄰根方程”的定義列出關于k的方程求解即可；
②利用，即可求得、．
【詳解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“鄰根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“鄰根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程不是“鄰根方程”；
④解方程得，，
∵，
∴方程是“鄰根方程”．
故答案為：②④；
（2）解：①∵方程是“鄰根方程”， 、是方程的兩根，
∴，，，
∵，
∴，
解得；
②∵方程是“鄰根方程”，、是方程的兩根，
∴，，
解得，．
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