資源簡介

2025-2026學年度高中數學必修一
1.1-2.1等式性質與不等式性質滾動測試卷
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
3..測試范圍：必修第一冊第一章,第二章第一節2.1
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．若集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，則集合A，B之間的關系是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件
4．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若且，則
C．若，則 D．若，，則
5．已知均為實數，且，下列命題正確的是（ ）
A．是的充分條件 B．是的必要條件
C．是的充分條件 D．是的必要條件
6．已知集合，那么集合M∩N為
A．x=3，y=—1 B．(3,—1) C．{3,—1} D．{(3,—1)}
7．已知不等式成立的充分條件是，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．已知集合的子集B滿足：對任意x，，有，則集合B中元素個數的最大值是（ ）.
A．506 B．507 C．1012 D．1013
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．若是的充分不必要條件，是的必要條件，是的必要條件，是的充分條件，則（ ）
A．是的充分不必要條件 B．是的充要條件
C．是的充要條件 D．是的充要條件
10．下列四個命題中正確的是（ ）
A．由所確定的實數集合為
B．同時滿足的整數解的集合為
C．集合可以化簡為
D．中含有三個元素
11．下列命題為真命題的是（ ）.
A．若，則 B．若，則
C．如果，那么 D．若，則
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合M滿足，那么這樣的集合M的個數為 ．
13．已知集合，集合，且，則實數的值是 .
14．已知集合，若，則
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15．已知：設，，，求：
(1) ；
(2) ；
(3)
16．求證：方程有兩個同號且不相等實根的充要條件是.
17．（1）集合，且，用列舉法表示；
（2）用描述法表示圖中的陰影部分(包括邊界)；
（3）集合M中的元素為自然數，且滿足，則滿足題設條件的集合M共有多少個？
18．證明下列不等式：
(1)若，求證：；
(2)若，，，求證：．
19．已知全集，集合，集合．條件①；②是的充分條件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B滿足條件__________（三個條件任選一個作答），求實數m的取值范圍．
試卷第2頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
《2025-2026學年度高中數學必修一1.1-2.1等式性質與不等式性質滾動測試卷》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D D D C BD BC
題號 11
答案 BCD
1．C
【分析】根據交集的定義，即得解
【詳解】由題意，集合
根據交集的定義可得：
故選：C
2．C
【分析】先將給定的集合化簡，然后作出判斷.
【詳解】解：由集合A得：
，
由集合B得：
，
∵，
∴，
故選：C.
3．B
【詳解】試題分析：由，得，解得或，所以“或”是“”的充分不必要條件，故選B.
考點：充分不必要條件的判定.
4．A
【分析】利用反例可判斷BDC的正誤，根據不等式的性質可判斷AC的正誤.
【詳解】對于A，取，則，若，則，
故若，則，故成立，故A正確；
對于B，取，則成立，但，
故B錯誤；
對于C，取，則成立，但 ，
故C錯誤；
對于D，取，則，，
但，故D錯誤；
故選：A.
5．D
【分析】舉反例判斷A，B，C，利用不等式的性質結合必要條件的定義判斷D即可.
【詳解】對于A，令，滿足，不滿足，
則不是的充分條件，故A錯誤，
對于B，令，滿足，不滿足，
則不是的必要條件，故B錯誤，
對于C，令，滿足，不滿足，
則不是的充分條件，故C錯誤，
對于D，若，由不等式性質得，
則是的必要條件，故D正確.
故選：D
6．D
【解析】由已知中集合，表示兩條相交直線上的點組成的點集，故集合即為只含兩條直線交點一個元素的點集，聯立方程祖求解，即可得到答案.
【詳解】∵
∴
故選：D.
【點睛】本題考查的知識點是交集及其運算，兩條件直線的交點坐標，集合的表示方法，其中正確理解點集的表示方法，是解答本題的關鍵.
7．D
【分析】由題意知，根據子集關系列式解得參數范圍即可.
【詳解】由題意得，
所以，且等號不能同時成立，解得.
故選：D.
8．C
【分析】假設中的最大元素為，再將其余元素分組，再結合抽屜原理即可得解.
【詳解】假設中的最大元素為，
將其余元素分組：，，，…，，共組，
一定不包含.
若中元素多于個，由抽屜原理可知，必有兩個數在同一組，兩個數的和為，與條件矛盾.
所以中元素不能多于個.
所以當時，中元素個數最多，為個.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于對不等關系進行等價轉化，找出便于理解的處理方式，當然此題解法不唯一，可以討論極限情況，可以分類列舉觀察規律.
9．BD
【分析】根據命題的充分必要性直接得解.
【詳解】由是的必要條件，即是的充分條件，又是的充分條件，所以是的充分條件，無法推到命題，A，C選項錯誤；
又是的必要條件，所以是的充要條件，B選項正確；
所以是的充要條件，D選項正確；
故選：BD.
10．BC
【分析】利用絕對值的意義，去絕對值符號，即可判定A；解不等式得到x的取值范圍，用列舉法表示出整數解的集合即可判定B；由，，，用列舉法可判定C；用試根的方式找出滿足條件的元素可判斷D.
【詳解】解：對于選項A，
當都是正數時，原式
當都是負數時，原式
當兩正一負時，原式
當兩負一正時，原式故A錯誤；
對于選項B，由，得，
所以符合條件的整數解的集合為，故B正確；
對于選項C，由，，，
可以得到符合條件的數對有，，，故C正確；
對于選項D，當時，；當時，
當時，；當時，；
當時，；當時，，
所以集合A含有四個元素2，1，0，，故D錯誤.
故選：BC.
11．BCD
【分析】對于A，舉反例證明其錯誤；對于B，證明即可；對于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，這顯然成立；對于D，首先有，若要，只需即可，只需，這顯然成立.
【詳解】對于A，令，，則，故A錯誤.
對于B，因為，所以，故B正確.
對于C，由于 ，同乘以，
得，又，所以，故C正確.
對于D，若，則，所以，所以，故D正確.
故選：BCD.
12．8
【分析】根據子集的性質進行求解即可.
【詳解】因為，所以，又因為，
所以，或或，或，或者，或，或，或，共8個，
故答案為：
13．
【分析】根據集合交集的性質分類討論進行求解即可.
【詳解】由，知，
若，則，此時，，，舍去；
若，則，此時，，，滿足題意；
若，此時無實數解，綜上知，，
故答案為：
14．1或2
【分析】討論集合B中的元素，根據可得解.
【詳解】因為，
，
當時，，此時，，滿足題意，
當時，，由可得，即.
綜上，1或2.
故答案為：1或2.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由交集的定義求解 ；
（2）由補集的定義求解 ；
（3）由補集和并集的定義求解.
【詳解】（1），，，
則有 ；
（2）；
（3），.
16．證明見解析
【分析】由，可得，且，證明充分性；令，解不等式組求出m的范圍，可證明必要性.
【詳解】充分性：∵，
∴方程的判別式，且，
∴方程有兩個同號且不相等的實根．
必要性：若方程有兩個同號且不相等的實根，
則有，解得.
綜上，方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是.
17．（1）；（2）；（3）31個.
【分析】（1）由，解得，根據從而得集合；
（2）分兩部分表示出陰影部分的面積，然后合并即可；.
（3）滿足條件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素組成，分情況逐一求解即可.
【詳解】（1）注意到，因此，解得，又
∵，，所以
（2）陰影部分的面積分兩部分，即或，合并為：.
（3）滿足條件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素組成，它包括以下情況：
①由1個集合中的元素組成的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共5種；
②由2個集合中的元素組成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}，共10種；
③由3個集合中的元素組成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}，共10種；
④由4個集合中的元素組成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}，共5種；
⑤由5個集合中的元素組成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，1種.
綜上可知，滿足題設條件的集合M共有31個.
18．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】根據作出比較法，準確化簡、運算，即可求解.
【詳解】（1）證明：因為，
又因為，所以，所以．
（2）證明：由
，
因為，，
所以，，，，
所以，．
因為，所以
又因為，
所以，即．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）可將帶入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根據題意中三個不同的條件，列出集合與集合之間的關系，即可完成求解.
【詳解】（1）當時，集合，集合，所以；
（2）i.當選擇條件①時，集合，
當時，，舍；
當集合時，即集合，時，，
此時要滿足，則，解得，
結合，所以實數m的取值范圍為或；
ii.當選擇條件②時，要滿足是的充分條件，則需滿足在集合時，
集合是集合的子集，即，解得，
所以實數m的取值范圍為或；
iii.當選擇條件③時，要使得，使得，那么需滿足在集合時，集合是集合的子集，即，解得，
所以實數m的取值范圍為或；
故，實數m的取值范圍為或.
答案第2頁，共9頁
答案第1頁，共9頁

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