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第21章一元二次方程達標測試卷-2025-2026學年數學九年級上冊人教版
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．根據下列表格的對應值，判斷方程（，，，為常數）一個解的范圍是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后可變形為（ ）
A． B．
C． D．．
4．已知是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（　?。?br/>A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5．若關于的方程有兩個實數根，且兩根之和不小于，則代數式化簡的結果是（ ）
A． B．1 C． D．
6．關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．《田畝比類乘除捷法》是我國古代數學家楊輝的著作．其中有一個數學問題∶“直田積八百九十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”譯文：“一塊矩形田地的面積為平方步，只知道它的長與寬共步，問它的長比寬多多少步？”則長比寬多（ ）
A．3步 B．6步 C．9步 D．12步
8．2025年春節檔動畫電影《哪吒之魔童鬧海》票房記錄一再刷新，據網絡平臺數據顯示，截至3月1日0時26分票房突破140億，位居全球動漫電影票房榜首．2025年清明檔（4月4日—4月6日）以總票房億元收官，4月4日的單日票房達到億，假設平均每天的票房增長率為x，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．《增刪算法統宗》中記載：“今有門廳一座，不知門廣高低，長午橫進使歸室，爭奈門狹四尺，隨即豎竿過去，亦長二尺無疑，兩隅斜去恰方齊，請問三色各幾？”．其大意是今有一房門，不知寬與高，長竿橫著進門，門的寬度比竿小4尺進不了；將竿豎著進門，竿比門長2尺；將竿斜著穿過門的對角，恰好進門．試問門的寬、高和竿長各是多少？如圖所示，所求竿長為（ ）
A．10尺 B．12尺
C．2尺或10尺 D．12尺或10尺
10．已知關于的兩條一元二次方程；．甲、乙兩同學分別提出了以下兩種不同的觀點：
甲同學，若方程有一個解為，則方程一定有一個解為，
乙同學：若方程有公共解，則公共解為，，
正確的結論為（　?。?br/>A．甲同學的觀點正確，乙同學的觀點錯誤
B．甲同學的觀點錯誤，乙同學的觀點正確
C．甲、乙同學的觀點均正確
D．甲、乙同學的觀點均錯誤
二、填空題
11．把方程化成的形式，則的值是 ．
12．關于的方程有一根，則該方程的兩根積與兩根和相乘的結果是 ．
13．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是 ．
14．若一元二次方程的兩個不相等的根分別是與，則為 ．
15．已知等腰的一邊，而另外兩邊的邊長恰好是關于的一元二次方程的兩實數根，則這個三角形的周長為 ．
16．某縣政府2022年投資0.5億元用于保障性房建設，計劃到2024年投資保障性房建設的資金為0.98億元．如果從2022年到2024年投資此項目資金的年增長率相同，設年增長率為，可列方程為 ．
三、解答題
17．用適當的方法解下列方程：
(1)；
(2)
18．關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根是正數，求的取值范圍．
19．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等實數根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若是該方程的一個根，求m的值及該方程的另一個根．
20．形如的代數式叫做完全平方式，有些代數式可以通過配方得到完全平方式，我們把這種組成完全平方式的變形過程叫做配方．配方在某些求代數式最值問題、解方程等都有廣泛的應用．
例如：，可得：當時，代數式有最小值，最小值為2．請回答下列問題：
(1)當取何值時，代數式有最小值，最小值為多少．
(2)某中學準備在校園里靠墻圍一個長方形花園籬笆，如圖，圍墻的長為，籬笆的長為，當為多少米時，圍成的長方形花園面積最大，求出最大面積．
21．已知甲、乙兩種玩具每件的進價分別為10元和15元．經市場調查發現，甲種玩具每天的銷量（單位：件）與每件售價x（單位：元）的函數關系為，乙種玩具每天的銷量（單位：件）與每件售價z（單位：元）之間是一次函數關系，其部分數據如下表：
每件售價z （單位：元） … 20 25 30
銷量y （單位：件） … 100 80 60
其中x、z均為非負整數．商店按照每件甲種玩具利潤是每件乙種玩具利潤的2倍來確定甲、乙兩種玩具的銷售單價，且銷售單價高于進價．
(1)直接寫出乙種玩具每天的銷量y 與每件售價z的關系式是 ；甲種玩具每件售價x與乙種玩具每件售價z的關系式是 （用x表示z） ；
(2)當甲種玩具的總利潤為800元時，求乙種玩具的總利潤是多少元？
22．閱讀與思考
配方法 把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式（兩數和的平方公式或兩數差的平方公式），再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非負數，所以，可得到．即的最小值為2． 進而的最小值為4．
請根據上述材料解決下列問題：
(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：__________；
(2)用配方法因式分解：；
(3)當a為何值時，多項式有最值，并求出這個最值．
《第21章一元二次方程達標測試卷-2025-2026學年數學九年級上冊人教版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C D A B B A C
1．A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數，未知項的最高次數是的整式方程是一元二次方程，解決本題的關鍵是根據一元二次方程的定義進行判斷．
【詳解】解：A選項：方程中只含有一個未知數，未知項的最高次數是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A選項符合題意；
B選項：方程中含有二個未知數，未知項的最高次數是，所以方程不是一元二次方程，故選項B不符合題意；
C選項：方程中的未知數在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C選項不符合題意；
D選項：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D選項不符合題意．
故選：A．
2．D
【分析】本題考查求一元二次方程的近似根，根據表格，找到相鄰兩個的值，使的符號為一正一負，即可得出結果．
【詳解】解：由表格可知：當時，，當時，，
∴當時，必然存在一個，使，
∴（，，，為常數）一個解的范圍是；
故選D．
3．A
【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解決此題的關鍵．將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴ ，即，
故選：A．
4．C
【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，解題時應注意把當成一個整體，利用了整體的思想．
將代入原方程求出，然后整體代入代數式求解即可．
【詳解】解：將代入方程，
得，即，
∴，
故選：C．
5．D
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，二次根式化簡，解題的關鍵在于正確掌握相關知識．
根據一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，建立不等式推出的取值范圍，再結合完全平方公式變形，以及二次根式性質，絕對值性質化簡求解，即可解題．
【詳解】解：關于的方程有兩個實數根，
，
兩根之和不小于，
，
解得，
綜上，
， ，
，
故選：D．
6．A
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式與根的情況的關系，掌握一元二次方程有兩個不等的實數解，則，是解題的關鍵．先化為一般形式，再根據判別式，求出的范圍，進而即可得到答案．
【詳解】解：，即
∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：，
的值可能是：8．
故選：A.
7．B
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
設矩形田地的長為x步，則寬為步，根據矩形田地的面積為891平方步，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合長不小于寬，即可確定x的值，再將其代入中即可求出結論．
【詳解】解：設矩形田地的長為x步，則寬為步，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
當時，，符合題意，此時；
當時，，不符合題意，舍去．
∴長比寬多6步．
故選B．
8．B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，審清題意、根據等量關系列出方程是解題的關鍵．
設平均每天的票房增長率為x，然后根據題意列出一元二次方程即可．
【詳解】解：設平均每天的票房增長率為x，
根據題意，得．
故選B．
9．A
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用．找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設竿長為尺，則為尺，為尺，利用勾股定理，可得出關于的一元二次方程，解方程，即可求解．
【詳解】解：設竿長為尺，則為尺，為尺，
根據題意得：．
解得：（舍去）或
故選：A．
10．C
【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據方程的解的定義可知是的解，則有，因為，方程兩邊同時乘以，可得：，所以方程一定有一個解為，所以可知甲同學的觀點正確；如果方程有公共解，則有，可得解為：或，即這兩個方程的公共解是或中的一個．
【詳解】解：是的解，
方程兩邊同時乘以，
可得：，
方程一定有一個解為，
故甲同學的觀點正確；
方程有公共解，
，
整理得：，
方程的公共解為：或，
故乙同學的觀點正確．
故選：C．
11．
【分析】本題考查配方法，將方程通過配方法轉化為完全平方形式是解題的關鍵．將方程通過配方法轉化為完全平方形式，確定和值后再相加即可．
【詳解】，
，
，即，
則，，
，
故答案為：．
12．
【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握如果一元二次方程的兩根為，，則，，
先根據求出方程的另一個根，再代入求解即可．
【詳解】.
解：∵關于x的方程有一根，設另一個根為．
∴，
解得：，
∴方程的兩根積與兩根和相乘的結果，
故答案為：．
13．或/或
【分析】本題考查了根的判別式，利用判別式的意義得到，然后解關于m的不等式即可．
【詳解】解：根據題意得，
解得或．
故答案為：或．
14．25
【分析】本題考查了解一元二次方程—直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程—直接開平方法是解題的關鍵．利用解一元二次方程—直接開平方法，進行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得：
，
，
，
，
，
，
故答案為：25．
15．14或16/16或14
【分析】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的定義、三角形的三邊關系，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題關鍵．先解一元二次方程可得，再根據等腰三角形的定義可得或，然后分兩種情況，結合三角形的三邊關系求解即可得．
【詳解】解：，
，
，
或，
，
∵是等腰三角形，
∴或，
∴或，
①當等腰的三邊長分別為時，滿足三角形的三邊關系，
則此時這個三角形的周長為；
②當等腰的三邊長分別為時，滿足三角形的三邊關系，
則此時這個三角形的周長為；
綜上，這個三角形的周長為14或16，
故答案為：14或16．
16．
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．根據題意得到2024年投資保障性房建設的資金2022年投資保障性房建設的資金，即可求解．
【詳解】解：由題得：，
故答案為：．
17．(1)，
(2)．
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法以及公式法是解題的關鍵．
（1）利用因式分解解方程，即可得到答案；
（2）先把方程進行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案．
【詳解】（1）解：
或
，．
（2）解：
，
，
，
．
18．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的知識是解題的關鍵．
（1）利用根的判別式進行求解即可；
（2）利用公式法解方程得到，，再根據方程的一個根為正數進行求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意得：
方程總有兩個實數根；
（2）解：
，
方程有一個根是正數，
．
19．(1)
(2)，
【分析】本題考查根的判別式、解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解答本題的關鍵．
（1）根據方程有兩個不相等實數根，可知，然后即可求得的取值范圍；
（2）將代入題目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，從而可以得到方程的另一個根．
【詳解】（1）解： 方程有兩個不相等實數根，
，
解得；
（2）解：是方程的一個根，
，
解得，
方程為，
解得，，
方程的另一個根是．
20．(1)當時，代數式有最小值，最小值為
(2)當時，長方形花園的面積有最大值，最大面積是．
【分析】本題考查完全平方公式的應用，解題的關鍵是明確題意，列出關系式．
（1）將代數式配方成，再根據非負數的性質可得答案；
（2）設，則，根據題意可以得到面積與矩形一邊長的關系式，然后配方即可求得結果，注意求出的邊長要符合題意．
【詳解】（1）解：∵，
∵，
∴．
當時，代數式有最小值，最小值為．
（2）解：設，則，
∴，
解得．
∴．
∵，
∴當時，長方形花園的面積有最大值，最大面積是．
21．(1)；；
(2)乙種玩具的總利潤是800元
【分析】本題考查了求一次函數解析式，一元二次方程的應用，有理數混合運算的應用，理解題意是解題關鍵．
（1）設每天的銷量與每件售價z的函數關系式為，利用待定系數法即可求解；分別表示出甲、乙兩種玩具每件的利潤，再根據每件甲種玩具利潤是每件乙種玩具利潤的2倍，即可得到關系式；
（2）先根據甲種玩具的總利潤列一元二次方程，求出甲種玩具每件的售價，進而求出乙種玩具每件的售價，即可得出乙種玩具的總利潤．
【詳解】（1）解：設每天的銷量與每件售價z的函數關系式為，
則，解得：，
即每天的銷量與每件售價z的關系式是；
甲、乙兩種玩具每件的進價分別為10元和15元．
甲、乙兩種玩具每件的利潤分別為元和元，
每件甲種玩具利潤是每件乙種玩具利潤的2倍，
，
，
故答案為：；；
（2）解：甲種玩具的總利潤為800元，
則，
解得：，即甲種玩具每件的售價為元，
，即乙種玩具每件的售價為元，
乙種玩具的總利潤是元，
22．(1)4
(2)
(3)當時，多項式有最大值，最大值為20
【分析】本題考查了完全平方公式的應用，因式分解的應用，明確如何配方及偶次方的非負性是解題的關鍵．
（1）根據常數項等于一次項系數一半的平方進行配方即可；
（2）將35化為，前三項配成完全平方式，再利用平方差公式進行因式分解；
（3）將轉化為，再利用完全平方式最小值為0，即可求解．
【詳解】（1）解：，
故答案為：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
，
，
，
當時，多項式有最大值，最大值為20．
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