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第22章二次函數能力提升卷-2025-2026學年數學九年級上冊人教版
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．二次函數的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
2．二次函數的圖象頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函數函數值y與自變量x的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m 2 3 2 …
其中m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．將函數的圖象平移后得到函數的圖象，平移方式正確的是（ ）
A．向右平移3個單位，再向上平移2個單位
B．向右平移3個單位，再向下平移2個單位
C．向左平移3個單位，再向上平移2個單位
D．向左平移3個單位，再向下平移2個單位
5．已知二次函數，其圖象的對稱軸是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
6．如圖，四邊形為矩形，，，點從點出發沿以的速度向終點勻速運動，同時，點從點出發沿以的速度向終點勻速運動，設點運動的時間為，的面積為，下列選項中能表示與之間函數關系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知關于的二次函數的圖象經過點，，，其中為常數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．若點都在二次函數圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）1米，達到最大高度米，水流噴射的最遠水平距離是（　　）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
10．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是直線，下列結論：
①；②方程必有一個根大于2且小于3；③；④對于任意實數m，都有．其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
11．已知函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍為 ．
12．當和時，二次函數的函數值相等，當時，函數的值為 ．
13．二次函數的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的一個正根為 ．
14．已知拋物線經過兩點，則t的值為 ．
15．如圖，與交于、兩點，則的解集為 ．
16．約定：若函數圖象上至少存在不同的兩點關于原點對稱，則把該函數稱“黃金函數”，其圖象上關于原點對稱的兩點叫做一對“黃金點”．若點，是關于的“黃金函數”上的一對“黃金點”，且該函數的對稱軸始終位于直線的右側，有結論①；②；③；④．則下列結論正確的是 ．
三、解答題
17．在平面直角坐標系中，已知，是拋物線上兩點，且拋物線經過．
(1)求拋物線的對稱軸；
(2)若對于，，都有，求的取值范圍．
18．如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸相交于點．
(1)求拋物線的解析式和頂點的坐標；
(2)的面積；
(3)點在拋物線上，且是以為底的等腰三角形，求點的坐標．
19．某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出400個，調查表明：該臺燈的售價不超過50元（售價為整數），臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個，設該商場決定把售價上漲x元．
(1)售價上漲x元后，該商場平均每月可售出 個臺燈（用含x的代數式表示）；
(2)為了實現平均每月5250元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？
(3)臺燈售價定為多少元時，月銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
20．如圖，在中，，，，點、分別是、的中點，連接．點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿向終點運動，過點作的垂線交于點，以為直角邊向下方作，使，且．設點的運動時間為（秒）．
(1)填空：________，________（用含的代數式表示）；
(2)當點落在線段上時，求的值；
(3)當與重合部分的圖形是四邊形時，設這個重疊部分的四邊形的面積為平方單位，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．
21．如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知．
(1)求拋物線的表達式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
(3)點M是線段BC上的一個動點，過點M作x軸的垂線，與拋物線相交于點N，當點M移動到什么位置時，使的面積最大？求出的最大面積及此時M點的坐標．
22．根據以下素材，探索完成任務：
任務 如何設計隧道的限高方案
素材1 如圖①是一個橫斷面呈拋物線形狀的公路隧道口，經測量，其高度為8米，寬度為16米，圖②是其示意圖．
素材2 此隧道可雙向通行，規定車輛在駛入隧道時，必須根據行車方向在隧道的中心線右側、距離路邊緣2米米）這一范圍內行駛，并保持車輛頂部與隧道的最小空隙不少于0.5米．為了保證車輛的行駛安全，隧道下方需要設置限高標志以警示車輛駕駛員．
(1)確定隧道形狀：在備用圖中建立合適的平面直角坐標系，求拋物線的函數表達式；
(2)探究隧道限高方案：為使車輛按素材2的要求安全通過，求該隧道限高多少米？
(3)嘗試隧道設計：在隧道中心線兩側的拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度均相等且不超過6米，求兩排燈的水平距離最小值．
《第22章二次函數能力提升卷-2025-2026學年數學九年級上冊人教版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C B B A B C
1．C
【分析】此題考查二次函數的最值問題．熟練掌握二次函數的圖像與性質和用配方法將二次函數的解析式化為頂點式求最值是解決問題的關鍵．
通過配方法，將二次函數解析式的一般式化成頂點式，然后求函數的最小值即可．
【詳解】解：
，
拋物線開口向上，二次函數有最小值，
當時，二次函數的最小值是．
故選：C．
2．C
【分析】本題主要考查了二次函數的圖像與性質，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
根據二次函數，其頂點坐標為，即可獲得答案．
【詳解】解：對于二次函數，
其頂點坐標是．
故選：C．
3．D
【分析】本題考查二次函數的對稱性，找到表格中函數值相等的兩個自變量的值，求出對稱軸，再根據對稱性求出的值即可．
【詳解】解：由表格可知，和的函數值相等，均為，
∴二次函數的對稱軸為，
∴和的函數值相同，
∴；
故選：D．
4．D
【分析】本題主要考查二次函數圖象的平移；根據“左加右減，上加下減”可進行求解．
【詳解】解：由題意得：平移方式正確的是向左平移3個單位，再向下平移2個單位；
故選：D．
5．C
【分析】本題考查了學生對于二次函數頂點式的應用，通過頂點式可得到對稱軸．
【詳解】解：二次函數圖象的對稱軸是直線，
故選C．
6．B
【分析】本題考查了二次函數和一次函數的應用，矩形的性質，熟練掌握相關知識點，求出每一段對應的函數解析式是解題的關鍵．分類討論，利用三角形面積公式求出每一階段對應的函數解析式，結合對應的函數圖像及性質分析即可．
【詳解】解：當時，如圖，
此時，
∴，
∴當時，圖像為二次函數的部分圖像，開口向上，且當時，；
當時，如圖，
此時，
∴當時，圖像為一次函數圖像一部分，且當時，；
當時，如圖，
此時，
則，
∴，
∴當時，圖像為開口向下的二次函數的圖像一部分，且時，．
綜合分析，只有B符合題意．
故選：B．
7．B
【分析】本題考查二次函數的頂點式以及二次函數的性質，熟練掌握二次函數的頂點式以及性質是解答本題的關鍵．
根據二次函數經過，得對稱軸為，從而可得的值，再將代入化簡得，從而求出的值，即可得解．
【詳解】解：將代入得：
，
，
二次函數經過，，
拋物線對稱軸為，
，
，
，
，
故答案為：B．
8．A
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質．熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
由，可知對稱軸為軸，當時，隨著的增大而增大，由，可得．
【詳解】解：∵，，
∴對稱軸為軸，當時，隨著的增大而增大，
∵，
∴．
故選：A．
9．B
【分析】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，正確理解題意，熟練掌握待定系數法求解析式是解題的關鍵．用待定系數法求出二次函數解析式，再令，算出x的值，即可解答．
【詳解】解：由圖可知拋物線的頂點為，
設水流形成的拋物線為，
將點代入可得
∴拋物線為
當時，，
解得（舍去）或，
∴水流噴射的最遠水平距離是5米，
故選：B．
10．C
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
根據二次函數的圖象與性質進行判斷即可．
【詳解】解：觀察圖象得：拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，
∴，
∵對稱軸是直線，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點的橫坐標，且對稱軸是直線，
∴與x軸的另一個交點的橫坐標，
∴方程必有一個根大于2且小于3，故②正確；
當時，，
∴，
∵，
∴，故③正確；
∵對稱軸是直線，拋物線開口向下，
∴當時，函數取得最大值，為，
殷偉對于任意實數m，都有，
∴，
∴，
即，故④錯誤；
故選：C
11．
【分析】本題考查一次函數與二次函數的性質，先分情況討論確定是一次函數還是二次函數，再求解即可．
【詳解】解：當即時，是一次函數，與軸有交點；
當即時，是二次函數，
∵的圖象與軸有交點，
∴一元二次方程有實數根，
∴，
解得，
此時且，
綜上所述，，
故答案為：．
12．
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數圖象上縱坐標相同的兩個點關于對稱軸對稱．
根據當和時，二次函數的函數值相等，得出以m、n為橫坐標的點關于直線對稱，得出，求出，然后將，代入函數解析式，得出即可．
【詳解】解：∵當和時，二次函數的函數值相等，
∴以m、n為橫坐標的點關于直線對稱，則 ，
∴，
∵，
∴，函數．
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程，由拋物線和軸交點和對稱軸知，，解得：，即拋物線和軸的另外一個交點為：，即可求解．
【詳解】解：由拋物線和軸交點和對稱軸知，，
解得：，
即拋物線和軸的另外一個交點為：，
則關于x的一元二次方程的一個正根為，
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，求出對稱軸和函數解析式是解題的關鍵．
先根據對稱點求出對稱軸為直線，繼而求出b，再將代入函數解析式即可．
【詳解】解∵拋物線經過兩點，
∴對稱軸為直線，
∴，
∴，
所以解析式為：，
當，則，
故答案為：．
15．
【分析】本題考查了二次函數與一次函數的交點問題，利用函數圖象交點解不等式是解題的關鍵．由圖象判斷出兩個交點、橫坐標分別是0和5，結合圖象即可求出不等式的解集．
【詳解】解：由圖象可得，點的橫坐標為0，點的橫坐標為5，
結合圖象可得，的解集為．
故答案為：．
16．①②④
【分析】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法，“黃金函數”，“黃金點”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數解決問題．先根據題意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的關系，再根據對稱軸在的右側即可求解．
【詳解】解：∵點是關于x的“黃金函數”上的一對“黃金點”，
∴A，B關于原點對稱，
∴，，
∴，，
代入
得 ，
∴，
∴①②正確，符合題意，
∵該函數的對稱軸始終位于直線的右側，
∴，
∴，
∴，
∴④正確，符合題意，
∵，
∴，，
當時，，
∵，
∴，
∴，即，③錯誤，不符合題意．
綜上所述，結論正確的是①②④．
故答案為：①②④．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據拋物線經過，得到且，求拋物線的對稱軸即可．
（2）根據，，都有，分和，解答即可．
【詳解】（1）解：根據拋物線經過，
得到且，
故即，
故拋物線的對稱軸為：直線．
（2）解：根據題意，得，，
∴
解得，
∴，
∵，是拋物線上兩點，且對稱軸為直線，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
當，且時，，即，
根據拋物線的性質，與對稱軸的距離越大，函數值越大，
∵，
∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，
∴中點在對稱軸的右側，
則即，
解得，無解；
當，且時，，即，
根據拋物線的性質，與對稱軸的距離越大，函數值越大，
∵，
∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，
∴中點在對稱軸的左側，
則即，
解得；
當，且時，，即，
則即，無解；
當，且時，，即，
則，無解，
綜上所述，符合題意的范圍是．
【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，待定系數法求函數解析式，二次函數的對稱性和增減性，解一元一次不等式組，熟練掌握性質是解題的關鍵．
18．(1)；；
(2)
(3)或
【分析】本題考查了二次函數與幾何綜合，涉及到了二次函數的圖象性質，割補法求三角形面積，等腰三角形的判定等知識點，熟悉掌握各知識點是解題的關鍵．
（1）把，代入運算求解即可；
（2）利用割補法運算求解即可；
（3）根據等腰三角形的性質推出，列方程運算求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入可得：
，
解得：，
∴，
∵，
∴頂點坐標；
（2）解：過點作，交軸于點，，垂足為如圖所示：
∵，
∴，
把代入可得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴，，，，，，
∴；
（3）解：令且滿足，，，
∵是以底的等腰三角形，
∴，即，
化簡得：，
由，
解得：或，
∴點的坐標為或．
19．(1)
(2)這種臺燈的售價應定為元
(3)臺燈售價定為50元時，月銷售利潤最大，最大利潤是6000元
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，一元二次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，列代數式，正確理解題意列出代數式，方程和函數關系式是解題的關鍵．
（1）根據臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個列式求解即可；
（2）根據題意可得每個臺燈的利潤為元，再根據總利潤等于每個臺燈的利潤乘以銷售量列出方程求解即可；
（3）設月銷售利潤為W元，根據總利潤等于每個臺燈的利潤乘以銷售量列出W關于x的二次函數關系式，再求出x的取值范圍，即可利用二次函數的性質求出答案．
【詳解】（1）解：由題意得，售價上漲x元后，該商場平均每月可售出個臺燈；
（2）解：由題意得，，
整理得：，
解得或，
當時，，符合題意，
當時，，不符合題意，
∴，
答：這種臺燈的售價應定為元；
（3）解：設月銷售利潤為W元，
由題意得，
，
∵該臺燈的售價不超過50元（售價為整數），
∴，
解得，且x為非負整數，
∵，
∴當時，W隨x增大而增大，
∴當時，W最大，最大值為，
∴此時，
答：臺燈售價定為50元時，月銷售利潤最大，最大利潤是6000元．
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性質求解即可；
（2）利用矩形的性質求解即可；
（3）分類討論的取值情況，利用面積公式列式即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
由題意可得：，，
∴，
∴，即，
，
故答案為：；；
（2）解：如圖①，當點落在線段上時，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如圖②，當時，重疊部分是四邊形，
；
如圖③，當時，重疊部分是四邊形，
．
【點睛】本題為動點與幾何綜合，涉及到了相似三角形的判定即性質，矩形的性質，二次函數，一次函數等知識點，合理分析圖象作出圖形是解題的關鍵．
21．(1)
(2)存在滿足條件的點，其坐標為或
(3)點M為的中點，的面積最大，最大面積為4，此時M點坐標為
【分析】（1）由的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）可設出點坐標，則可表示出、和的長，分、兩種情況分別得到關于點坐標的方程，可求得點坐標；
（3）由、的坐標可求得直線的解析式，可設出M點坐標，則可表示出N點的坐標，從而可表示出的長，可表示出的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值及此時點M的坐標．
【詳解】（1）解：在拋物線上，
，解得，
拋物線解析式為；
（2），
拋物線對稱軸為直線，
當時，，
，且，
，
點在對稱軸上，
可設，
，，
當時，，
解得，此時點坐標為；
當時，
解得（與重合，舍去）或，此時點坐標為；
綜上可知：存在滿足條件的點，其坐標為或；
（3）當時，即，解得或，
，，
設直線解析式為，
由題意可得，解得，
直線解析式為，
點M是線段上的一個動點，
可設，則，
，
，
，
當時，有最大值，最大值為4，
此時，
，即M為的中點，
點M為的中點，的面積最大，最大面積為4，此時M點坐標為．
【點睛】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中用點的坐標表示出和是解題的關鍵，在（3）中用M點坐標表示出的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
22．(1)見解析，
(2)該隧道限高3米
(3)8米
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用問題及二次函數的性質，建立直角坐標系，求出函數解析式，利用二次函數的性質進行求解是解題的關鍵．
（1）首先建立坐標系，結合圖象設出函數表達式，再用待定系數法求解即可；
（2）首先求出，然后當車高一定，時，求出，得到車輛頂部與隧道的最小空隙，進而求解即可；
（3）將代入求出，進而求解即可．
【詳解】（1）解：如解圖，以為原點，以所在直線為軸，以垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系，
由題意得，頂點的坐標為，
設拋物線的函數表達式為．
又圖象經過原點，
，
，
拋物線的函數表達式為，
即；
（2）解：設該隧道限高米，
，
，
當車高一定，時，車輛頂部與隧道的空隙最小，
此時，，
此時，車輛頂部與隧道的最小空隙，
由題意，車輛頂部與隧道的最小空隙，
．
該隧道限高3米；
（3）由題意，當時，，
解得，
，
兩排燈的水平距離最小值是8米．
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