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浙教版數學八年級上學期重難點復習7：一次函數圖象的幾何變換
一、一次函數圖象中的平移問題
1．（2024八上·浙江期末）將直線l：y=-2（x+3）經過適當變換后得到直線，要使經過原點，則可以將直線l（　?。?br/>A．向上平移3個單位 B．向下平移6個單位
C．向右平移3個單位 D．向左平移6個單位
【答案】C
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線l：
A、 直線l： 向上平移3個單位后得到的解析式為 不經過原點，故本選項不符合題意；
B、直線l： 向下平移6個單位后得到的解析式為 不經過原點，故本選項不符合題意；
C、直線l： 向右平移3個單位后得到的解析式為 經 過原點，故本選項符合題意；
D、直線l： 向左平移6個單位后得到的解析式為 不經過原點，故本選項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據平移的規律：左加右減，上加下減并確定出平移后的直線解析式即可解題.
2．（2024八上·銅川期末）已知在平面直角坐標系中，直線經過、兩點，將直線向下平移個單位長度得到直線，下列關于直線的說法中，正確的是（　　）
A．與坐標軸圍成的三角形面積為 B．不經過第四象限
C．經過坐標原點 D．當時，的值為
【答案】B
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象與坐標軸交點問題；一次函數圖象的平移變換
3．（2025八上·東港期末）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為3的正方形在第一象限內，軸，點的坐標為，直線的表達式為：．將直線沿軸向上平移個單位，使平移后的直線與正方形有交點，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一次函數圖象的平移變換
4．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，沿軸向右平移后得到，點的對應點在直線上，則點與其對應點之間的距離（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【知識點】用坐標表示平移；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：連接，如圖所示，
根據平移可知：，且軸．
當時，，
解得，
∴點的坐標為，
又∵點A的坐標為，
∴．
∴，即點與其對應點之間的距離為4．
故選：D．
【分析】由平移的性質可求得OA'的長，則可求得A'點的坐標，可求得OO'的長，由平移的性質可得到BB'=OO'，可求得答案.
5．（2024八上·新都期末） 如圖，在平面直角坐標系中，等腰在第一象限，且 軸，直線從原點出發沿軸正方向平移，在平移過程中，直線被截得的線段長度與直線在軸上平移的距離的函數圖象如圖所示，那么的面積為　 　
【答案】
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質；一次函數中的動態幾何問題；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：如圖，過點作于點，則
由圖可得，當直線經過點時，，，
當直線向右平移經過點時，與相交于點，
此時，由圖可得，，，
∴，，
∵直線與軸的夾角為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面積，
故答案為：．
【分析】過點作于點，則，先根據圖2中的數據求出，，再結合求出，再利用線段的和差求出AH和AC的長，最后利用三角形的面積公式求解即可.
6．（2024八上·浦江期末）已知直線與函數的圖像相交于兩點（點在點左側）．
（1）點的坐標是　 　．
（2）若坐標原點為點，將兩個函數圖象向右平移個單位，點平移后分別對應點，連接，當最大時，的值為　 ?。?br/>【答案】；6
【知識點】坐標與圖形性質；待定系數法求一次函數解析式；勾股定理；一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：（1）根據題意得：聯立得，，
解得；；
∴；
故答案為：；
（2）∵將兩個函數圖象向右平移個單位，
∴，
∴，，
當O、C、D三點共線時，最大，
∴設O、C、D所在直線為正比例函數，
將點代入得：
，
解得：，
故答案為：6．
【分析】（1）聯立兩個函數解析式，解方程即可求交點；
（2）由平移得到，即可得到當O、C、D三點共線時，最大，然后求出直線CD的解析式即可解題.
7．（2024八上·吳興期末）圖象法是函數的表示方法之一，下面我們就一類特殊的函數圖象展開探究．
畫函數的圖象，經歷列表、描點、連線過程得到函數圖象如圖所示：
探究發現：函數的圖象是由向右平移個單位得到；
函數的圖象是由向上平移個單位得到．
（1）函數的最小值為　 ??；
（2）函數在中有最小值，則的值是　 　．
【答案】；或
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：（1）如圖所示，函數的圖象是由向上平移3個單位得到．
根據函數圖象可得函數的最小值為，
故答案為：．
（2）若，
當時，有最小值，
，
（舍），或
若，
當時，有最小值，不符合題意，舍去．
若，
當時，有最小值，
，
（舍），或
綜上所述，或．
故答案為：或．
【分析】本題考查一次函數的圖象及性質；
（1）畫出的圖象，通過觀察圖象可得函數的圖象是由向上平移3個單位得到，進而可求出函數的最小值；
（2）分兩種種情況：若，若，根據題意可列出方程或，解方程可求出m的值，進而可求出答案.
8．（2025八上·大渡口期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線向下平移個單位后的直線與直線相交于點．
（1）求直線的表達式；
（2）點在直線上，若點為軸上一點，求的周長的最小值；
（3）在（）的條件下，若在直線上有一個動點，使得的面積是的面積的倍，求出點的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；坐標系中的兩點距離公式；一次函數的實際應用-幾何問題；一次函數圖象的平移變換
9．（2023八上·福田期中）如圖，直線與y軸交于點，與x軸交于點，直線以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向平移，平移時交線段于點D，交線段于點C，當點C與點B重合時結束運動．
（1）求出直線的關系式；
（2）如圖1，若直線的函數關系式為，P是直線上一點，當的面積等于的面積時，求點P的坐標；
（3）如圖2，在直線運動過程中，過點D作軸交于點E，連接，設運動時間為．求出當t為何值時，是等腰三角形？
【答案】（1）解：∵直線與y軸交于點，與x軸交于點，
∴，解得：，
∴直線為：；
（2）解：如圖，∵，，
∴，
∵為，
∴當時，，則，設，
∴，
∴，解得：，
∴或；
（3）解：設直線平移后的解析式為，
同理可得：，，如圖，當，過作于，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
當時，如圖，
∵，則，而軸，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
當時，把代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
∴，
綜上：或2或
【知識點】一次函數圖象與幾何變換；待定系數法求一次函數解析式；兩一次函數圖象相交或平行問題；三角形的面積
【解析】【分析】（1）將點A，B代入直線y=kx+b即可求解；
（2）先求出△AOB的面積，設點P的坐標為（x，-x+1），由三角形面積公式分別求得當P在D左側和右側時的坐標；
（3）分別討論當DC=DE，DC=CE，CE=DE時，由等腰三角形的性質列出等式求t的值即可.
二、一次函數圖象中的對稱、翻折問題
10．（2021八上·王益期末）若直線 與直線 關于直線 對稱，則k、b值分別為（　　）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【答案】D
【知識點】一次函數圖象與幾何變換
【解析】【解答】解：∵一次函數y=kx+3與y軸交點為（0，3），
∴點（0，3）關于直線x=1的對稱點為（2，3），
代入直線y=2x+b，可得4+b=3，解得b=-1，
一次函數y=2x-1與y軸交點為（0，-1），
（0，-1）關于直線x=1的對稱點為（2，-1），
代入直線y=kx+3，可得2k+3=-1，解得k=-2.
故答案為：D.
【分析】先求出一次函數y=kx+3與y軸交點關于直線x=1的對稱點的坐標再將該點的坐標代入直線y=2x+b，得到b的值；再求出一次函數y=2x+b與y軸交點關于直線x=1的對稱點的坐標，代入一次函數y=kx+3，求出k的值即可.
11．（2024八上·鎮海區期末）如圖，在平面直角坐標系中有兩條直線：：，：，對點作如下操作．第1步，作點關于的對稱點；第2步，作關于的對稱點；第3步，再作關于的對稱點；第4步，再作關于的對稱點以此類推，問：點的坐標為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；坐標與圖形變化﹣對稱；一次函數中的動態幾何問題
【解析】【解答】解：如圖，標出點，連接、、、、、，取直線：：上的點，取點，取點，取直線：：上的點，連接，取點，連接點、、，得到，過點作軸于點，
∴軸，軸，，
，
，
，
，
∴，，
和是等邊三角形，
∴，，
∴第1步，作點關于的對稱點落在軸上，
第2步，作關于的對稱點落在軸上，
第3步，作關于的對稱點，和軸的夾角，
第4步，作關于的對稱點，和軸的夾角，
繼續作關于的對稱點，和軸的夾角，即，
∴，
，
∴點的坐標為，
故選：A．
【分析】標出點，連接、、、、、，取直線：：上的點，取點，取點，取直線：：上的點，連接，取點，連接點、、，得到，過點作軸于點，得出，利用勾股定理求出OP、PQ、OA1、A1B的長度，進而推出，，即可證明和是等邊三角形，則，，根據軸對稱變換，分析、、、、，和坐標軸的夾角，得出，利用含度角的直角三角形的性質，得出，然后根據勾股定理得出，據此即可得出點的坐標．
12．（2024八上·濟南期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C在y軸的正半軸上，D在直線上，且，．若點P為線段上的一個動點，且點關于x軸的對稱點Q總在內（不包括邊界），則m的取值范圍為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】解一元一次不等式組；線段垂直平分線的性質；坐標與圖形變化﹣對稱；一次函數的實際應用-幾何問題
13．（2021八上·濟南期末）定義，圖象與x軸有兩個交點的函數y＝叫做關于直線x＝m的對稱函數，它與x軸負半軸交點記為A，與x軸正半軸交點記為B例如：如圖：直線l：x＝1，關于直線l的對稱函數y＝與該直線l交于點C，當直線y＝x與關于直線x＝m的對稱函數有兩個交點時，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
【答案】B
【知識點】一次函數的性質；定義新運算；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：∵一次函數圖象與x軸最多只有一個交點，且關于m的對稱函數與x軸有兩個交點，
∴組成該對稱函數的兩個一次函數圖象的部分圖象都與x軸有交點．
∵
解得或
∴．
∵直線y＝x與關于直線x＝m的對稱函數有兩個交點，
∴直線y=x分別與直線和各有一個交點．
對于直線y=x與直線，
聯立可得解得
∴直線y=x與直線必有一交點．
對于直線y=x與直線，
聯立可得解得
∵，
∴必須在的范圍之內才能保證直線y=x與直線有交點．
∴．
∴．
∴m的取值范圍是．
故答案為：B
【分析】分兩種情況討論：列出關于m的方程，求出m的值，結合圖象即可求得m的取值范圍。
14．（2023八上·南海期中）已知，如圖，直線AB：y=kx-k-4，分別交平面直角坐標系于A，B兩點，直線CD.y=-2x+2與坐標軸交于C，D兩點，兩直線交于點E（a，-a）；點M是y軸上一動點，連接ME，將△AEM沿ME翻折，A點對應點剛好落在x軸負半軸上，則ME所在直線解析式為（　?。?br/>A．y＝x﹣ B．y＝2x﹣6 C．y＝x﹣ D．y＝x﹣
【答案】A
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；兩一次函數圖象相交或平行問題；勾股定理；翻折變換（折疊問題）；一次函數中的動態幾何問題
【解析】【解答】解：把點E代入直線中，
∴
∴，
把點代入直線中，
∴
∴即直線AB：
當A的對應點A'在軸負半軸時，過E作EF軸于F，如圖：
在中，令x=0，則y=-6，
∴
∵，
∴
∴
∴
設則
∴
在中，
∴
解得：
∴
設直線EM的解析式為：把點代入
解得：
∴直線EM的解析式為：
故答案為：A.
【分析】把E代入y=-2x+2，得a=2，即得E（2，-2），當A的對應點A在軸負半軸時，過E作EF軸于F，由k=2知A（0，-6），則OA=6，設M（0，m），則OM=-m，在中，有用待定系數法即得直線EM解析式.
15．（2022八上·沈陽期末）一次函數的圖象，沿著過點且垂直于x軸的直線翻折后經過點，則b的值為　 ?。?br/>【答案】-4
【知識點】一次函數的圖象；坐標與圖形變化﹣對稱
【解析】【解答】解：∵過點且垂直于x軸的直線為，
∴點關于直線的對稱點是，
根據題意，一次函數的圖象經過點，
∴把點代入一次函數得到：，
∴，
故答案為：-4.
【分析】先求出點關于直線的對稱點是，再將點代入一次函數得到，再求出b的值即可。
16．（2024八上·蘭州期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、點，點在軸的負半軸上，將沿翻折，點恰好落在軸正半軸上的點處，則點的坐標為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）；一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：把代入得，
把代入得：，解得：，
∴、，
∴，，
∵，
∴，
由折疊得：，
∴，
∴點，
設點，則，
由折疊得：，
在中，
，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【分析】根據數軸上點的坐標特征可得、，則，，利用勾股定理可得，由折疊得：，得出點D的坐標，設點，則，根據折疊性質可得，再根據勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2023八上·南岸期中）如圖，直線與坐標軸交于A、B兩點，連接且軸，交直線于點E，連接，將沿著直線翻折，點D正好落在直線上，若，那么點C的坐標為 　 ?。?br/>【答案】
【知識點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）；一次函數的實際應用-幾何問題
18．（2024八上·福田期末）如圖，直線：與坐標軸交于A、B兩點，點D為第一象限內一點，連接且軸，過點且平行于x軸的直線l交于點C，交于點F，連接，，將沿著直線翻折，得到，點E正好落在直線l上，若，則的長為　 ?。?br/>【答案】5
【知識點】平行線的性質；三角形的面積；勾股定理；軸對稱的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案為：
【分析】本題考查了翻折的性質以及勾股定理的應用，通過面積公式求出 CE 的長度，利用勾股定理求出 AD 的長度，進而得出 CD 的長度，再根據直角三角形 CDF 中的勾股定理列出關于 EF 的方程求解.
19．（2024八上·濟南月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與軸，軸分別交于點和點，點在直線上，將線段沿翻折，使點落在線段上的點處；再將線段沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與線段分別交于點．
（1）分別求出點、點的坐標和的長；
（2）若點P坐標為，且的面積為8，求的值；
（3）請直接寫出線段的長度．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【知識點】坐標與圖形性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；一次函數的實際應用-幾何問題
20．（2023八上·贛榆月考）如圖，已知一次函數的圖象與坐標軸交于點A、B，點C在線段上，將沿翻折，點O恰好落在上點D處．
（1）求的長；
（2）過點A作，交的延長線于點E，連接，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）等腰三角形，理由如下；
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；一次函數的實際應用-幾何問題
三、一次函數圖象中的旋轉問題
21．（2024八上·寧波開學考）如圖， 直線 與 軸， 軸分別交于 兩點， 把 繞點 順時針旋轉 后得到 ， 則點 的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】點的坐標；旋轉的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：∵ 直線 與 軸， 軸分別交于 兩點，
∴當x=0時y=4，
當y=0時，
解之：x=3，
∴點A（0，4），點B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∵ 把 繞點 順時針旋轉 后得到 ，
∴△AOB≌△AO'B'，∠OAO'=∠O'=90°，
∴OA=O'A=3，O'B'=OB=4，
∴O'B'∥x軸，
∴點B'的橫坐標為3+4=7，縱坐標為3，
∴點B'的坐標為（7，3）.
故答案為：D.
【分析】利用一次函數解析式，由x=0求出對應的y的值，由y=0求出對應的x的值，可得到點A，B的坐標，據此可求出OA、OB的長；再利用旋轉的性質可證得∠OAO'=∠O'=90°，△AOB≌△AO'B'，據此得到O'A、O'B'的長，同時可推出O'B'∥x軸，即可求出點B'的坐標.
22．（2023八上·達州期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A（-1，m）在直線y＝2x+3上，連接OA，將線段OA繞點O順時針旋轉90°，點A的對應點B恰好落在直線y＝-x+b上，則b的值為（　?。?br/>A．-2 B．1 C． D．2
【答案】D
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵將線段OA繞點O順時針旋轉90°，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△AOC和△OBD中
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∵點A（-1，m）在直線y＝2x+3上，
∴-2+3=m=1，
∴點A（-1，1），
AC=OC=1，
∴BD=OD=1，
∴點B（1，1），
∵點A的對應點B恰好落在直線y＝-x+b上，
∴-1+b=1，
解之：b=2.
故答案為：D
【分析】過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，利用垂直的定義可證得∠ACO=∠BDO=90°，利用旋轉的性質可得到OA=OB，∠AOB=90°，利用余角的性質可證得∠OAC=∠BOD；再利用AAS可證得△AOC≌△OBD，利用全等三角形的性質可推出OC=BD，AC=OD；將點A的坐標代入函數解析式，可求出m的值，可得到點A的坐標，即可求出AC、OC的長，即可得到BD、OD的長，可得到點B的坐標；然后將點B的坐標代入直線y＝-x+b，可求出b的值.
23．（2018-2019學年數學浙教版八年級上冊5.4一次函數的圖象（2） 同步訓練）在平面直角坐標系中，把直線y=2x+4繞著原點O順時針旋轉90°后，所得的直線1一定經過下列各點中的（　?。?br/>A．（2，0） B．（4，2） C．（6，-1） D．（8，-1）
【答案】C
【知識點】一次函數圖象與幾何變換
【解析】【解答】直線y=2x+4與x軸的交點為（-2，0），與y軸的交點為（0，4）；
繞點O旋轉90°后可得直線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，2）；
可設新直線的解析式為：y=kx+b，
則：4k+b=0；b=2；
∴k=-0.5，
∴y=-0.5x+2，
把所給點代入得到的直線解析式，只有選項C符合，
故答案為：C．
【分析】由題意令y=0可求得直線與x軸的交點為（-2，0），令x=0可求得直線與y軸的交點為（0，4）；根據旋轉的性質可得線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，2）；可設新直線的解析式為：y=kx+b，用待定系數法可求得新的解析式，將選項中的點的坐標代入求得的新的解析式即可判斷。
24．（2024八上·武侯月考）新定義：對于線段，將線段繞點順時針旋轉，得到線段；將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，旋轉后的線段和所在的直線交于點，我們稱點為線段的“馮橋點”如圖，已知直線與軸和軸分別相交于點，點，那么線段在第一象限的“馮橋點”的坐標為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的判定與性質；旋轉的性質；一次函數的實際應用-幾何問題
25．（2024八上·南京月考）如圖在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點、，將直線繞點順時針旋轉，則旋轉后的直線函數表達式為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；等腰三角形的判定與性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；一次函數的實際應用-幾何問題
26．（2024八上·姑蘇月考）如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，把直線AB繞點B順時針旋轉30°交x軸于點C，則線段AC長為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；旋轉的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
27．（2024八上·沈陽月考）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線上的一個動點，將Q繞點順時針旋轉，得到點，連接，則的最小值為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】勾股定理；旋轉的性質；一次函數的實際應用-幾何問題；有理數乘方的實際應用
28．（2024八上·東臺月考）在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，將直線繞點A逆時針旋轉，交y軸于點C，則直線的函數表達式是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象與坐標軸交點問題
29．（2022八上·峽江期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，將直線AB繞點B順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，求直線BC的函數表達式．
【答案】解：∵一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，
∴當x=0時，y=－3，當y=0時，x=，
∴A（，0），B（0，-3），
∴OA=，OB=3，
過點A作AF⊥AB交BC于F，過點F作FE⊥x軸于E．
則∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
設直線BC為y＝kx－3，把點F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直線BC的函數表達式為．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；旋轉的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【分析】先求出點A、B的坐標，求出OA和OB的長，再過點A作AF⊥AB交BC于F，過點F作FE⊥x軸于E，利用“AAS”證明△AOB≌△FEA，可得AE＝OB，EF＝OA，求出點F的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式即可。
30．（2024八上·南海月考）（1）【提出問題】將一次函數的圖象沿著y軸向下平移3個單位長度，所得圖象對應的函數表達式為 ；
（2）【初步思考】將一次函數的圖象沿著x軸向左平移3個單位長度，求所得圖象對應的函數表達式．數學活動小組發現，圖象的平移就是點的平移，因此，只需要在圖象上任取兩點，，將它們沿著x軸向左平移3個單位長度，得到點，的坐標分別為 ，從而求出經過點，的直線對應的函數表達式為 ；
（3）【深度思考】
已知一次函數的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B．
①將一次函數的圖象關于x軸對稱，求所得圖象對應的函數表達式；
②如圖①，將直線繞點A逆時針旋轉，求所得圖象對應的函數表達式；
③如圖②，將直線繞點A逆時針旋轉，求所得圖象對應的函數表達式．
【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③
【知識點】一次函數的實際應用-幾何問題；一次函數圖象的平移變換
1 / 1浙教版數學八年級上學期重難點復習7：一次函數圖象的幾何變換
一、一次函數圖象中的平移問題
1．（2024八上·浙江期末）將直線l：y=-2（x+3）經過適當變換后得到直線，要使經過原點，則可以將直線l（　?。?br/>A．向上平移3個單位 B．向下平移6個單位
C．向右平移3個單位 D．向左平移6個單位
2．（2024八上·銅川期末）已知在平面直角坐標系中，直線經過、兩點，將直線向下平移個單位長度得到直線，下列關于直線的說法中，正確的是（　　）
A．與坐標軸圍成的三角形面積為 B．不經過第四象限
C．經過坐標原點 D．當時，的值為
3．（2025八上·東港期末）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為3的正方形在第一象限內，軸，點的坐標為，直線的表達式為：．將直線沿軸向上平移個單位，使平移后的直線與正方形有交點，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
4．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，沿軸向右平移后得到，點的對應點在直線上，則點與其對應點之間的距離（　?。?br/>A． B． C．3 D．4
5．（2024八上·新都期末） 如圖，在平面直角坐標系中，等腰在第一象限，且 軸，直線從原點出發沿軸正方向平移，在平移過程中，直線被截得的線段長度與直線在軸上平移的距離的函數圖象如圖所示，那么的面積為　 　
6．（2024八上·浦江期末）已知直線與函數的圖像相交于兩點（點在點左側）．
（1）點的坐標是　 ?。?br/>（2）若坐標原點為點，將兩個函數圖象向右平移個單位，點平移后分別對應點，連接，當最大時，的值為　 ?。?br/>7．（2024八上·吳興期末）圖象法是函數的表示方法之一，下面我們就一類特殊的函數圖象展開探究．
畫函數的圖象，經歷列表、描點、連線過程得到函數圖象如圖所示：
探究發現：函數的圖象是由向右平移個單位得到；
函數的圖象是由向上平移個單位得到．
（1）函數的最小值為　 　；
（2）函數在中有最小值，則的值是　 ?。?br/>8．（2025八上·大渡口期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線向下平移個單位后的直線與直線相交于點．
（1）求直線的表達式；
（2）點在直線上，若點為軸上一點，求的周長的最小值；
（3）在（）的條件下，若在直線上有一個動點，使得的面積是的面積的倍，求出點的坐標．
9．（2023八上·福田期中）如圖，直線與y軸交于點，與x軸交于點，直線以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向平移，平移時交線段于點D，交線段于點C，當點C與點B重合時結束運動．
（1）求出直線的關系式；
（2）如圖1，若直線的函數關系式為，P是直線上一點，當的面積等于的面積時，求點P的坐標；
（3）如圖2，在直線運動過程中，過點D作軸交于點E，連接，設運動時間為．求出當t為何值時，是等腰三角形？
二、一次函數圖象中的對稱、翻折問題
10．（2021八上·王益期末）若直線 與直線 關于直線 對稱，則k、b值分別為（　?。?br/>A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
11．（2024八上·鎮海區期末）如圖，在平面直角坐標系中有兩條直線：：，：，對點作如下操作．第1步，作點關于的對稱點；第2步，作關于的對稱點；第3步，再作關于的對稱點；第4步，再作關于的對稱點以此類推，問：點的坐標為（　?。?br/>A． B． C． D．
12．（2024八上·濟南期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點C在y軸的正半軸上，D在直線上，且，．若點P為線段上的一個動點，且點關于x軸的對稱點Q總在內（不包括邊界），則m的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
13．（2021八上·濟南期末）定義，圖象與x軸有兩個交點的函數y＝叫做關于直線x＝m的對稱函數，它與x軸負半軸交點記為A，與x軸正半軸交點記為B例如：如圖：直線l：x＝1，關于直線l的對稱函數y＝與該直線l交于點C，當直線y＝x與關于直線x＝m的對稱函數有兩個交點時，則m的取值范圍是（　?。?br/>A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
14．（2023八上·南海期中）已知，如圖，直線AB：y=kx-k-4，分別交平面直角坐標系于A，B兩點，直線CD.y=-2x+2與坐標軸交于C，D兩點，兩直線交于點E（a，-a）；點M是y軸上一動點，連接ME，將△AEM沿ME翻折，A點對應點剛好落在x軸負半軸上，則ME所在直線解析式為（　　）
A．y＝x﹣ B．y＝2x﹣6 C．y＝x﹣ D．y＝x﹣
15．（2022八上·沈陽期末）一次函數的圖象，沿著過點且垂直于x軸的直線翻折后經過點，則b的值為　 ?。?br/>16．（2024八上·蘭州期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、點，點在軸的負半軸上，將沿翻折，點恰好落在軸正半軸上的點處，則點的坐標為　 　．
17．（2023八上·南岸期中）如圖，直線與坐標軸交于A、B兩點，連接且軸，交直線于點E，連接，將沿著直線翻折，點D正好落在直線上，若，那么點C的坐標為 　 ?。?br/>18．（2024八上·福田期末）如圖，直線：與坐標軸交于A、B兩點，點D為第一象限內一點，連接且軸，過點且平行于x軸的直線l交于點C，交于點F，連接，，將沿著直線翻折，得到，點E正好落在直線l上，若，則的長為　 　．
19．（2024八上·濟南月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與軸，軸分別交于點和點，點在直線上，將線段沿翻折，使點落在線段上的點處；再將線段沿翻折，使點落在的延長線上的點處，兩條折痕與線段分別交于點．
（1）分別求出點、點的坐標和的長；
（2）若點P坐標為，且的面積為8，求的值；
（3）請直接寫出線段的長度．
20．（2023八上·贛榆月考）如圖，已知一次函數的圖象與坐標軸交于點A、B，點C在線段上，將沿翻折，點O恰好落在上點D處．
（1）求的長；
（2）過點A作，交的延長線于點E，連接，試判斷的形狀，并說明理由．
三、一次函數圖象中的旋轉問題
21．（2024八上·寧波開學考）如圖， 直線 與 軸， 軸分別交于 兩點， 把 繞點 順時針旋轉 后得到 ， 則點 的坐標是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023八上·達州期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A（-1，m）在直線y＝2x+3上，連接OA，將線段OA繞點O順時針旋轉90°，點A的對應點B恰好落在直線y＝-x+b上，則b的值為（　　）
A．-2 B．1 C． D．2
23．（2018-2019學年數學浙教版八年級上冊5.4一次函數的圖象（2） 同步訓練）在平面直角坐標系中，把直線y=2x+4繞著原點O順時針旋轉90°后，所得的直線1一定經過下列各點中的（　　）
A．（2，0） B．（4，2） C．（6，-1） D．（8，-1）
24．（2024八上·武侯月考）新定義：對于線段，將線段繞點順時針旋轉，得到線段；將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，旋轉后的線段和所在的直線交于點，我們稱點為線段的“馮橋點”如圖，已知直線與軸和軸分別相交于點，點，那么線段在第一象限的“馮橋點”的坐標為　 　．
25．（2024八上·南京月考）如圖在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點、，將直線繞點順時針旋轉，則旋轉后的直線函數表達式為　 ?。?br/>26．（2024八上·姑蘇月考）如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，把直線AB繞點B順時針旋轉30°交x軸于點C，則線段AC長為　 ?。?br/>27．（2024八上·沈陽月考）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線上的一個動點，將Q繞點順時針旋轉，得到點，連接，則的最小值為　 ?。?br/>28．（2024八上·東臺月考）在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，將直線繞點A逆時針旋轉，交y軸于點C，則直線的函數表達式是　 ?。?br/>29．（2022八上·峽江期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，將直線AB繞點B順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，求直線BC的函數表達式．
30．（2024八上·南海月考）（1）【提出問題】將一次函數的圖象沿著y軸向下平移3個單位長度，所得圖象對應的函數表達式為 ；
（2）【初步思考】將一次函數的圖象沿著x軸向左平移3個單位長度，求所得圖象對應的函數表達式．數學活動小組發現，圖象的平移就是點的平移，因此，只需要在圖象上任取兩點，，將它們沿著x軸向左平移3個單位長度，得到點，的坐標分別為 ，從而求出經過點，的直線對應的函數表達式為 ；
（3）【深度思考】
已知一次函數的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B．
①將一次函數的圖象關于x軸對稱，求所得圖象對應的函數表達式；
②如圖①，將直線繞點A逆時針旋轉，求所得圖象對應的函數表達式；
③如圖②，將直線繞點A逆時針旋轉，求所得圖象對應的函數表達式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線l：
A、 直線l： 向上平移3個單位后得到的解析式為 不經過原點，故本選項不符合題意；
B、直線l： 向下平移6個單位后得到的解析式為 不經過原點，故本選項不符合題意；
C、直線l： 向右平移3個單位后得到的解析式為 經 過原點，故本選項符合題意；
D、直線l： 向左平移6個單位后得到的解析式為 不經過原點，故本選項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據平移的規律：左加右減，上加下減并確定出平移后的直線解析式即可解題.
2．【答案】B
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象與坐標軸交點問題；一次函數圖象的平移變換
3．【答案】B
【知識點】一次函數圖象的平移變換
4．【答案】D
【知識點】用坐標表示平移；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：連接，如圖所示，
根據平移可知：，且軸．
當時，，
解得，
∴點的坐標為，
又∵點A的坐標為，
∴．
∴，即點與其對應點之間的距離為4．
故選：D．
【分析】由平移的性質可求得OA'的長，則可求得A'點的坐標，可求得OO'的長，由平移的性質可得到BB'=OO'，可求得答案.
5．【答案】
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質；一次函數中的動態幾何問題；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：如圖，過點作于點，則
由圖可得，當直線經過點時，，，
當直線向右平移經過點時，與相交于點，
此時，由圖可得，，，
∴，，
∵直線與軸的夾角為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面積，
故答案為：．
【分析】過點作于點，則，先根據圖2中的數據求出，，再結合求出，再利用線段的和差求出AH和AC的長，最后利用三角形的面積公式求解即可.
6．【答案】；6
【知識點】坐標與圖形性質；待定系數法求一次函數解析式；勾股定理；一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：（1）根據題意得：聯立得，，
解得；；
∴；
故答案為：；
（2）∵將兩個函數圖象向右平移個單位，
∴，
∴，，
當O、C、D三點共線時，最大，
∴設O、C、D所在直線為正比例函數，
將點代入得：
，
解得：，
故答案為：6．
【分析】（1）聯立兩個函數解析式，解方程即可求交點；
（2）由平移得到，即可得到當O、C、D三點共線時，最大，然后求出直線CD的解析式即可解題.
7．【答案】；或
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：（1）如圖所示，函數的圖象是由向上平移3個單位得到．
根據函數圖象可得函數的最小值為，
故答案為：．
（2）若，
當時，有最小值，
，
（舍），或
若，
當時，有最小值，不符合題意，舍去．
若，
當時，有最小值，
，
（舍），或
綜上所述，或．
故答案為：或．
【分析】本題考查一次函數的圖象及性質；
（1）畫出的圖象，通過觀察圖象可得函數的圖象是由向上平移3個單位得到，進而可求出函數的最小值；
（2）分兩種種情況：若，若，根據題意可列出方程或，解方程可求出m的值，進而可求出答案.
8．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；坐標系中的兩點距離公式；一次函數的實際應用-幾何問題；一次函數圖象的平移變換
9．【答案】（1）解：∵直線與y軸交于點，與x軸交于點，
∴，解得：，
∴直線為：；
（2）解：如圖，∵，，
∴，
∵為，
∴當時，，則，設，
∴，
∴，解得：，
∴或；
（3）解：設直線平移后的解析式為，
同理可得：，，如圖，當，過作于，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
當時，如圖，
∵，則，而軸，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
當時，把代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
∴，
綜上：或2或
【知識點】一次函數圖象與幾何變換；待定系數法求一次函數解析式；兩一次函數圖象相交或平行問題；三角形的面積
【解析】【分析】（1）將點A，B代入直線y=kx+b即可求解；
（2）先求出△AOB的面積，設點P的坐標為（x，-x+1），由三角形面積公式分別求得當P在D左側和右側時的坐標；
（3）分別討論當DC=DE，DC=CE，CE=DE時，由等腰三角形的性質列出等式求t的值即可.
10．【答案】D
【知識點】一次函數圖象與幾何變換
【解析】【解答】解：∵一次函數y=kx+3與y軸交點為（0，3），
∴點（0，3）關于直線x=1的對稱點為（2，3），
代入直線y=2x+b，可得4+b=3，解得b=-1，
一次函數y=2x-1與y軸交點為（0，-1），
（0，-1）關于直線x=1的對稱點為（2，-1），
代入直線y=kx+3，可得2k+3=-1，解得k=-2.
故答案為：D.
【分析】先求出一次函數y=kx+3與y軸交點關于直線x=1的對稱點的坐標再將該點的坐標代入直線y=2x+b，得到b的值；再求出一次函數y=2x+b與y軸交點關于直線x=1的對稱點的坐標，代入一次函數y=kx+3，求出k的值即可.
11．【答案】A
【知識點】等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；坐標與圖形變化﹣對稱；一次函數中的動態幾何問題
【解析】【解答】解：如圖，標出點，連接、、、、、，取直線：：上的點，取點，取點，取直線：：上的點，連接，取點，連接點、、，得到，過點作軸于點，
∴軸，軸，，
，
，
，
，
∴，，
和是等邊三角形，
∴，，
∴第1步，作點關于的對稱點落在軸上，
第2步，作關于的對稱點落在軸上，
第3步，作關于的對稱點，和軸的夾角，
第4步，作關于的對稱點，和軸的夾角，
繼續作關于的對稱點，和軸的夾角，即，
∴，
，
∴點的坐標為，
故選：A．
【分析】標出點，連接、、、、、，取直線：：上的點，取點，取點，取直線：：上的點，連接，取點，連接點、、，得到，過點作軸于點，得出，利用勾股定理求出OP、PQ、OA1、A1B的長度，進而推出，，即可證明和是等邊三角形，則，，根據軸對稱變換，分析、、、、，和坐標軸的夾角，得出，利用含度角的直角三角形的性質，得出，然后根據勾股定理得出，據此即可得出點的坐標．
12．【答案】A
【知識點】解一元一次不等式組；線段垂直平分線的性質；坐標與圖形變化﹣對稱；一次函數的實際應用-幾何問題
13．【答案】B
【知識點】一次函數的性質；定義新運算；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：∵一次函數圖象與x軸最多只有一個交點，且關于m的對稱函數與x軸有兩個交點，
∴組成該對稱函數的兩個一次函數圖象的部分圖象都與x軸有交點．
∵
解得或
∴．
∵直線y＝x與關于直線x＝m的對稱函數有兩個交點，
∴直線y=x分別與直線和各有一個交點．
對于直線y=x與直線，
聯立可得解得
∴直線y=x與直線必有一交點．
對于直線y=x與直線，
聯立可得解得
∵，
∴必須在的范圍之內才能保證直線y=x與直線有交點．
∴．
∴．
∴m的取值范圍是．
故答案為：B
【分析】分兩種情況討論：列出關于m的方程，求出m的值，結合圖象即可求得m的取值范圍。
14．【答案】A
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；兩一次函數圖象相交或平行問題；勾股定理；翻折變換（折疊問題）；一次函數中的動態幾何問題
【解析】【解答】解：把點E代入直線中，
∴
∴，
把點代入直線中，
∴
∴即直線AB：
當A的對應點A'在軸負半軸時，過E作EF軸于F，如圖：
在中，令x=0，則y=-6，
∴
∵，
∴
∴
∴
設則
∴
在中，
∴
解得：
∴
設直線EM的解析式為：把點代入
解得：
∴直線EM的解析式為：
故答案為：A.
【分析】把E代入y=-2x+2，得a=2，即得E（2，-2），當A的對應點A在軸負半軸時，過E作EF軸于F，由k=2知A（0，-6），則OA=6，設M（0，m），則OM=-m，在中，有用待定系數法即得直線EM解析式.
15．【答案】-4
【知識點】一次函數的圖象；坐標與圖形變化﹣對稱
【解析】【解答】解：∵過點且垂直于x軸的直線為，
∴點關于直線的對稱點是，
根據題意，一次函數的圖象經過點，
∴把點代入一次函數得到：，
∴，
故答案為：-4.
【分析】先求出點關于直線的對稱點是，再將點代入一次函數得到，再求出b的值即可。
16．【答案】
【知識點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）；一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】解：把代入得，
把代入得：，解得：，
∴、，
∴，，
∵，
∴，
由折疊得：，
∴，
∴點，
設點，則，
由折疊得：，
在中，
，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【分析】根據數軸上點的坐標特征可得、，則，，利用勾股定理可得，由折疊得：，得出點D的坐標，設點，則，根據折疊性質可得，再根據勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】
【知識點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）；一次函數的實際應用-幾何問題
18．【答案】5
【知識點】平行線的性質；三角形的面積；勾股定理；軸對稱的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案為：
【分析】本題考查了翻折的性質以及勾股定理的應用，通過面積公式求出 CE 的長度，利用勾股定理求出 AD 的長度，進而得出 CD 的長度，再根據直角三角形 CDF 中的勾股定理列出關于 EF 的方程求解.
19．【答案】（1），，
（2）或
（3）
【知識點】坐標與圖形性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；一次函數的實際應用-幾何問題
20．【答案】（1）；
（2）等腰三角形，理由如下；
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；一次函數的實際應用-幾何問題
21．【答案】D
【知識點】點的坐標；旋轉的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：∵ 直線 與 軸， 軸分別交于 兩點，
∴當x=0時y=4，
當y=0時，
解之：x=3，
∴點A（0，4），點B（3，0）
∴OA=4，OB=3，
∵ 把 繞點 順時針旋轉 后得到 ，
∴△AOB≌△AO'B'，∠OAO'=∠O'=90°，
∴OA=O'A=3，O'B'=OB=4，
∴O'B'∥x軸，
∴點B'的橫坐標為3+4=7，縱坐標為3，
∴點B'的坐標為（7，3）.
故答案為：D.
【分析】利用一次函數解析式，由x=0求出對應的y的值，由y=0求出對應的x的值，可得到點A，B的坐標，據此可求出OA、OB的長；再利用旋轉的性質可證得∠OAO'=∠O'=90°，△AOB≌△AO'B'，據此得到O'A、O'B'的長，同時可推出O'B'∥x軸，即可求出點B'的坐標.
22．【答案】D
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵將線段OA繞點O順時針旋轉90°，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△AOC和△OBD中
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∵點A（-1，m）在直線y＝2x+3上，
∴-2+3=m=1，
∴點A（-1，1），
AC=OC=1，
∴BD=OD=1，
∴點B（1，1），
∵點A的對應點B恰好落在直線y＝-x+b上，
∴-1+b=1，
解之：b=2.
故答案為：D
【分析】過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，利用垂直的定義可證得∠ACO=∠BDO=90°，利用旋轉的性質可得到OA=OB，∠AOB=90°，利用余角的性質可證得∠OAC=∠BOD；再利用AAS可證得△AOC≌△OBD，利用全等三角形的性質可推出OC=BD，AC=OD；將點A的坐標代入函數解析式，可求出m的值，可得到點A的坐標，即可求出AC、OC的長，即可得到BD、OD的長，可得到點B的坐標；然后將點B的坐標代入直線y＝-x+b，可求出b的值.
23．【答案】C
【知識點】一次函數圖象與幾何變換
【解析】【解答】直線y=2x+4與x軸的交點為（-2，0），與y軸的交點為（0，4）；
繞點O旋轉90°后可得直線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，2）；
可設新直線的解析式為：y=kx+b，
則：4k+b=0；b=2；
∴k=-0.5，
∴y=-0.5x+2，
把所給點代入得到的直線解析式，只有選項C符合，
故答案為：C．
【分析】由題意令y=0可求得直線與x軸的交點為（-2，0），令x=0可求得直線與y軸的交點為（0，4）；根據旋轉的性質可得線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，2）；可設新直線的解析式為：y=kx+b，用待定系數法可求得新的解析式，將選項中的點的坐標代入求得的新的解析式即可判斷。
24．【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的判定與性質；旋轉的性質；一次函數的實際應用-幾何問題
25．【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；等腰三角形的判定與性質；坐標與圖形變化﹣旋轉；一次函數的實際應用-幾何問題
26．【答案】
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；旋轉的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
27．【答案】
【知識點】勾股定理；旋轉的性質；一次函數的實際應用-幾何問題；有理數乘方的實際應用
28．【答案】
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象與坐標軸交點問題
29．【答案】解：∵一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，
∴當x=0時，y=－3，當y=0時，x=，
∴A（，0），B（0，-3），
∴OA=，OB=3，
過點A作AF⊥AB交BC于F，過點F作FE⊥x軸于E．
則∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
設直線BC為y＝kx－3，把點F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直線BC的函數表達式為．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；旋轉的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【分析】先求出點A、B的坐標，求出OA和OB的長，再過點A作AF⊥AB交BC于F，過點F作FE⊥x軸于E，利用“AAS”證明△AOB≌△FEA，可得AE＝OB，EF＝OA，求出點F的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式即可。
30．【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③
【知識點】一次函數的實際應用-幾何問題；一次函數圖象的平移變換
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