資源簡介

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20.4解直角三角形
一、單選題
1．在 Rt 中， ，則 的長是（ ）
A．6 B．8 C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，則=(　　)
A．sinA B．cosA C．sinB D．tanA
3．西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表．如圖是一個根據北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱根部與圭表的冬至線的距離（即BC的長）為．已知，冬至時北京的正午日光入射角約為，則立柱AC高為（　　）
A． B． C． D．
4． 如圖，的三個頂點都在的正方形網格的格點上，則的值為（　　）
A． B． C． D．
5．如圖，底邊上的高為底邊上的高為，則（　　）
A． B．
C． D．以上都有可能
6．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為（0，3），∠D＝60°，則菱形ABCD的周長為（　　）
A．13 B．14 C．15 D．8
7．如圖，四邊形OABC 為菱形. 若 OA=2，∠AOC=45°，則點 B的坐標為(　　)
A． B． C． D．
8．如圖，某梯子長15米，斜靠在豎直的墻面上，當梯子與水平地面所成角為時，梯子頂端靠在墻面上的點A處，底端落在水平地面的點B處，現將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為，已知，則梯子頂端上升了（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
9．《夢溪筆談》是我國古代科技著作， 其中記錄了計算圓弧長度的“會圓術”． 如圖， 是以點 為圓心、 為半徑的圓弧， 是 的中點． ． “會圓術” 給出 的弧長 的近似值計算公式 ． 當 時， 的值為（　　）
A． B． C． D．
10．一個水杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AC，BD都是同一條拋物線的一部分，AB，CD都與水面桌面平行，已知水杯底部AB寬為4cm，水杯高度為12cm，當水面高度為6cm時，水面寬度為2cm．如圖2先把水杯盛滿水，再將水杯繞A點傾斜倒出部分水，如圖3，當傾斜角∠BAF＝30°時，杯中水面CE平行水平桌面AF．則此時水面CE的值是（　　）
A． B．12cm C． D．14cm
11．如圖，正方形的頂點在軸上，點，點在反比例函數圖象上．若直線交軸負半軸于點，且，則直線的函數表達式為（　　）
A． B． C． D．
12．如圖，在邊長為2的正方形中，為的中點，為上的點，且，則的長為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
13．如圖，某公司安裝了一個人臉打卡器，AB是高2.7m的門框，某人CD高1.8m，只有當∠CAB=53。時，他才能開門，那么BD長為　 　.（參考數據：sin53。≈0.8，cos53。≈0.6，tan53。≈1.33，保留1位小數）
14．社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為 　 　m．
15．如圖1，棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．將此正方體放在坡角為α的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其主視圖如圖2所示，則tanα＝ 　 　 ．
16．如圖，在菱形ABCD中，CD，垂足分別為B，D，若，則EF的長為　 　.
17．如圖，在矩形ABCD中，AD=13，AB=24，點E是邊AB上的一個動點，將△CBE沿CE折疊，得到△CB'E連接AB'，DB'，若△ADB'為等腰三角形，則BE的長為　 　．
三、解答題
18．如圖，在中，，D為邊上的一點，，．
（1）求的長．
（2）若，求的值．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，解這個直角三角形.
20．如圖，
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tanA=，求AB的長和sinB的值．
21．
（1）如圖1，在直角中，，過作交于點，求證：；
（2）如圖2，在菱形中，過作交的延長線于點，過作交邊于點．①若，求的值；②若，直接寫出的值（用含的式子表示）；
（3）如圖3，在菱形中，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交于點，求的值（用含的式子表示）．
22．某小區門口“曲臂直桿道閘”在工作時，一曲臂桿OA繞點O勻速旋轉，另一曲臂桿AB始終保持與地面平行.如圖1，是曲臂直桿道閘關閉時的示意圖，此時O、A、B在一條直線上.閘機是高為1.2m，寬為0.4m的矩形PQMN，已知，點O到PM的距離為0.2m，小區門口寬度為2.8m.
（1）當曲臂桿OA與AB的夾角為時，求點A到地面的距離；
（2）因機器出現故障，曲臂桿OA最多可旋轉，有一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可否順利通過門口？（參考數據：，，）
參考答案
1．B
2．A
3．B
4．A
5．A
6．D
7．D
8．C
9．B
10．D
11．C
12．B
13．1.2
14．
15．
16．
17．或或
18．（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
19．解：∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
∵tan A=，
∴BC=AC·tan A=3tan 30°=3×=3.
∵cos A=，∴AB===6
20．解：在Rt中，，
，
，
.
21．（1）證明：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵
∴，又
由（1）可得
①∵，
設，，則，
∴
∴，
∴
∵，則
∴
∴
∴；
②
（3）解：如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，
∵菱形中，且
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴
∵
∴
在中，，
則，，
∴
∴，
∵，
由（1）可得
∴
設，則，，，
∴
解得：或，
即或
22．（1）(1)過點A作AC⊥QN于點C，過點O作OD⊥QN于點D，OE⊥AC于點E，交MN于點F，如圖，
由題意得：OD=1m，OA=1.5m，∠BOA=150°，
∵AC⊥QN，OD⊥QN，OE⊥AC，
∴四邊形ODCE為矩形，
∴∠DOE=90°，EC=OD=1m.
∴∠AOE=180-∠OAB=30°.
∴，
∴點A到地面的距離
（2）(2)一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可順利通過門口，理由如下：
假定曲臂桿OA旋轉72°至如圖所示的位置，
過點A作AC⊥QN于點C，過點O作OD⊥QN于點D，OE⊥AC于點E，交MN于點F，
由題意得：OD=1m，OA=1.5m，∠AOE=72°，DN=0.2m，
∵AC⊥QN，OD⊥QN，OE⊥AC，
∴四邊形ODCE為矩形，
∴∠DOE=90°，EC=OD=1m，OE=DG，
∴AE=OA·sin72°≈1.5×0.95=1.425(m)，OE=OA·cos72°≈1.5×0.3=0.45(m).
∴AC=AE+EC=1+1.425=2.425(m)>貨車高度2.2m，
∴DC=OE=0.45(m).
∴NC=DC-DN =0.25(m).
∵小區門口寬度為2.8m，
∴點C距離大門口的墻壁的距離為2.8-0.25=2.55(m)>寬為2.2m，
綜上，一輛寬為2.2m、高為2.2m的貨車可順利通過門口
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