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第十八章相似三角形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．，、分別是的高和中線，、分別是的高和中線，且，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，用放大鏡看到的多邊形與原多邊形相比較，不發生改變的是（ ）
A．周長 B．面積 C．每個內角的度數 D．每條邊的長度
3．如圖，在中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不能相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果兩個相似三角形的周長比為，那么這兩個相似三角形的面積比為（　　）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，，，，，則的長為（ ）
A．10 B．15 C．8 D．12
6．如圖1是古希臘時期的巴臺農神廟（Parthenom Temple），把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形，當以矩形的寬為邊作正方形時，驚奇地發現矩形與矩形相似，則等于（ ）
A． B． C． D．
7．黃金分割數是（ ）
A． B． C． D．
8．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，照片E放大到F這種圖形變化是（ ）
A．相似 B．平移 C．旋轉 D．軸對稱
10．如圖，在平行四邊形中，點E是邊上一點，連接并延長交的延長線于點F，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，下列四個三角形中，與相似的是（ ）

A． B．
C． D．
12．如圖，是的重心，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．且
二、填空題
13．如圖，l1l2l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，則EF= ．
14．如圖所示，能判定的有 ．
①；②；③；④．
15．已知為線段上的一點，且，則線段與的比為 ．
16．如圖，在中，D，E分別是，的中點．若，則的面積為 ．

17．如圖，四邊形四邊形，若，，，則 ．
三、解答題
18．如圖，四邊形是正方形，點為邊上一點，連接并延長，交的延長線于點，連接交于點，連接．
求證：
(1)；
(2)．
19．已知．
(1)求代數式的值．
(2)若，求，，的值．
20．如圖，中，，，把邊長分別為的個正方形依次放在中。第一個正方形的頂點分別放在的各邊上；第二個正方形的頂點分別放在的各邊上，其他正方形依此規律放入．
(1)求第1個正方形的邊長．
(2)求第2個正方形的邊長．
(3)第2025個正方形的邊長為___________．
21．如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點和點，觀察者在點．適當調整，使得與都與河岸垂直．此時與相交于點，若測得，，請利用這些數據計算河的寬度．

22．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，作軸，垂足為點D，連接，，．求證：．
23．根據以下素材，探索解決問題．
測量旗桿的高度
素材1 可以利用鏡子測量旗桿的高度．如圖，小陳同學從鏡子中剛好可以看見旗桿的頂端，測得． 說明：小陳同學、旗桿與標桿均垂直于地面，小陳同學的眼睛離地面的距離．
素材2 可以利用標桿測量旗桿的高度．如圖，點，，在同一直線上，標桿，測得，．
問題解決
任務1 完善測量數據 在素材1中，小陳同學還要測量圖中哪條線段的長度（旗桿無法直接測量），才能求出旗桿的高度？若把該線段的長度記為，請你用含的式子表示出旗桿的高度．
任務2 推理計算高度 利用素材2求出旗桿的高度．
24．如圖，利用標桿測量建筑物的高度，如果標桿高1.2m，測得，，樓高是多少？
《第十八章相似三角形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A A D B C A C
題號 11 12
答案 B B
1．A
【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據相似三角形的對應高和對應中線的比等于相似比解答即可求解，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，、分別是的高和中線，、分別是的高和中線，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故選：．
2．C
【分析】本題考查了相似多邊形的性質，熟記相關結論即可解答．
【詳解】解：由題意得：用放大鏡看到的多邊形與原多邊形是相似的關系，
用放大鏡看到的多邊形與原多邊形相比較，周長、面積、每條邊的長度的長度均增大了，
每個內角的度數保持不變，
故選：C．
3．C
【分析】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，兩組角對應相等，兩個三角形相似；兩組邊對應成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應成比例，兩個三角形相似．
【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意；
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意；
C、有兩邊對應邊成比例但是夾角不相等，故兩三角形不相似，符合題意；
D、，，兩三角形有兩邊對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意．
陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，，故兩三角形相似，不符合題意，
故選：C．
4．A
【分析】本題考查相似三角形的性質，關鍵是掌握相似三角形的性質：相似三角形面積的比等于相似比的平方，相似三角形周長的比等于相似比．
根據相似三角形的性質計算即可．
【詳解】解：兩個相似三角形的周長比為，
兩個相似三角形的相似比為，
這兩個相似三角形的面積比為．
故選：．
5．A
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，證得即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴
故選：A
6．D
【分析】根據相似圖形的性質，列出比例式，進行求解即可．
【詳解】解：∵矩形與矩形相似，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
設，
則：，
解得：（負值已舍去）；
∴；
故選D．
【點睛】本題考查相似多邊形的性質，正方形的性質，解一元二次方程．熟練掌握相似多邊形的對應邊對應成比例，是解題的關鍵．
7．B
【分析】根據黃金分割比例是進行求解即可．
【詳解】解：由題意得，四個選項中只有B選項中的數是黃金分割數，
故選B．
【點睛】本題主要考查了黃金分割數，熟知黃金分割比例是解題的關鍵．
8．C
【分析】本題考查了成比例線段，熟記“如果，那么”是解題關鍵．
【詳解】解：，
，
，
．
故選：C．
9．A
【分析】本題考查了相似圖形的相關概念及性質，深刻理解相似的定義是解題的關鍵．
根據相似的定義并結合題意即可得出答案．
【詳解】解：由題意可知，照片放大到，二者形狀相同，大小不同，屬于圖形的相似變換，
故選：．
10．C
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，先由平行四邊形的性質得到，，，易證，推出，然后逐項進行判斷即可．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，故A、B、D錯誤，不符合題意；
∴，故C正確，符合題意．
故選：C．
11．B
【分析】先根據勾股定理算出的邊長，再將各選項三角形邊長算出，判斷與各邊是否能形成比例，得出答案．
【詳解】解：根據勾股定理得
，
，
，
選項A中，三角形三邊長分別是2，，，與三邊不成比例，故A選項不正確．
選項B中，三角形三邊長分別是2，4，，與成比例，比例為，根據三邊成比例的兩個三角形相似，故B選項正確．
選項C中，三角形三邊長分別是2，3，，與三邊不成比例，故C選項不正確．
選項D中，三角形三邊長分別是，，4，與三邊不成比例，故D選項不正確．
故答案選：B．
【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定等內容，其中三邊成比例的兩個三角形相似是解決問題的關鍵．
12．B
【分析】三角形的重心是三角形三條中線的交點．
【詳解】解：∵三角形的重心是三角形三條中線的交點
∴是的中線
故有：
故選：B
【點睛】本題考查重心的性質．熟記重心的定義即可．
13．4
【分析】根據l1∥l2∥l3，由平行線分線段成比例定理得到成比例線段，代入已知數據計算即可得到答案．
【詳解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=5，DE=2，AC=15，
∴BC=10，
∴
∴EF=4，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理的內容，找準對應關系是解題的關鍵．
14．①②③
【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定，③可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定，④對應邊成比例但無法得到其夾角相等，即無法判斷兩個三角形相似，
熟練掌握相似三角形的幾種判定方法是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖可得：，
，
，
①∵，
∴，
∴，
故①能判定；
②∵，
∴，
∴，
故②能判定；
③∵，
∴，
即兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等，
∴，
故③能判定；
④，
對應邊成比例但無法得到其夾角相等，
故④不能判定；
故答案為：①②③．
15．
【分析】本題考查了線段的比例關系，涉及到線段的和差及比例的計算 ．
本題可根據線段的和差關系，結合已知的線段比例，求出與的比例關系．
【詳解】解：為線段上的一點，
根據線段的和差關系可知， ．
，
可設（，為一個常數 ），那么．
．
綜上，線段AB與BP的比為 ．
故答案為： ．
16．
【分析】根據中位線的性質以及相似三角形的判定與性質，求解即可．
【詳解】解：在中，D，E分別是，的中點，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
故答案為：
【點睛】此題考查了中位線的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質．
17．
【分析】可得，由即可求解．
【詳解】
解：四邊形四邊形，
，
，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了相似多邊形的性質，四邊形的內角和，掌握性質是解題的關鍵．
18．(1)證明見解析；
(2)證明見解析．
【分析】（）由四邊形是正方形，得，，證明即可；
（）由，得，，根據，，再根據相似三角形的判定方法即可得證；
本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定，掌握正方形的性質，證明三角形全等和相似是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴， ，
又∵，
∴；
（2）證明：∵，
∴，，
∵四邊形是正方形，點在的延長線上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
19．(1)1；
(2)，，．
【分析】本題考查了比例的性質的應用，主要考查學生的計算能力．
（1）令，，，把，，，代入，即可計算；
（2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
令，，，
，
．
（2），
，
，
，
，，．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，圖形類的規律型問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握正方形的性質和相似三角形的性質與判定條件．
（1）根據相似三角形的性質就可以求出第一個正方形的邊長，
（2）根據相似三角形的性質就可以求出第一個正方形的邊長，
（3）同（1）（2）求出其它正方形的邊長，觀察規律即可求得第n個正方形的邊長，即可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是正方形，
，
，
，即
即．
故答案為：．
（2）
．
與（1）同理可證，
，即
，即．
故答案為：．
（3）與（1）（2）同理，可求得
可以推出第個正方形的邊長為，
第2025個正方形的邊長為．
故答案為：．
21．
【分析】證明，得，求得．
【詳解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：河的寬度為．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，判定相似三角形，得到線段間的數量關系是解題的關鍵．
22．見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，
分別求出和的各邊長度，再根據對應邊成比例即可解答．
【詳解】證明：如答圖，過點C作，交于點H.
由A，B，C三點的坐標可以得到,
，
，
在和中，
，，，
∴.
．
23．任務1：旗桿的高度為；任務二：旗桿的高度為
【分析】本題主要考查了矩形的判定及性質，相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．
任務：根據兩角相等的兩個三角形相似可證明，然后根據相似三角形的性質即可求解；
任務：過點作，垂足為，交于點，證明，則，然后代入求出，最后用線段和差即可求解；
【詳解】解：任務：在素材1中，小陳同學還要測量圖中線段的長度，才能求出旗桿的高度，
把該線段的長度記為，
由題意得：，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴旗桿的高度為；
任務：過點作，垂足為，交于點，
∴四邊形，四邊形，四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴旗桿的高度為．
24．樓高是10.5m
【分析】證明，由相似三角形的性質可知，然后結合題意代入數值求解即可獲得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：樓高是10.5m．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，理解并掌握相似三角形的判定方法與性質是解題關鍵．
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