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18.2黃金分割
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．古希臘的帕特農神廟的設計代表了古希臘建筑藝術的最高水平，它的平面圖可看作“黃金矩形”（寬與長的比等于）．如圖，帕特農神廟平面圖的長約為30m，則它的寬約為（ ）
A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m
2．我們在學習書法的初期需要經歷臨摹階段，黃金格是一種臨摹時的習字格．如圖，正方形是黃金習字格的邊框，正方形內四條線段為黃金分割線，其端點都在邊框上，且均為各邊框的黃金分割點．若，則兩條黃金分割線之間的距離的長為（ ）
A． B．
C． D．
3．神奇的自然界處處蘊含著數學知識，動物學家發現蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為． 這個數據體現了數學中的（ ）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉 D．黃金分割
4．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點，則下列結論中正確的是（　　）
①；②；③；④．
A．個 B．個 C．個 D．個
5．如圖，將正方形的邊向右平移到得到矩形，如果與的比等于與的比，那么就稱這個矩形為黃金矩形，黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅．某小區開發商想在小區空地設計一個周長為16米的黃金矩形花壇，則的長是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，已知點是線段的黃金分割點（其中），，則線段的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形，分別取、的中點E、F，連接；以點F為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線于點G；作，交的延長線于點H．則下列矩形是黃金矩形的是（ ）
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
8．如圖，點是的黃金分割點，即點滿足，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．0.618
9．如圖，線段，點是線段的黃金分割點（且，即，點是線段的黃金分割點，點是線段的黃金分割點，，以此類推，則線段的長度是（ ）
A． B．
C． D．
10．若線段，C是的黃金分割點，且，則的長為（ ）
A． B． C． D．
11．已知點P是線段的黃金分割點（），，則的長度是（　　）
A． B． C． D．
12．“黃金格”是當代書法大師啟功先生獨創的習字格，深受眾多書法愛好者的喜愛．如圖，正方形是黃金習字格的邊框，正方形每條邊上的格點（端點除外）都是這條線段的黃金分割點，若，則長為（ ）
A． B．6 C． D．8
二、填空題
13．科學家們通過研究發現，當外界環境溫度與人體正常體溫（）之比等于黃金分割比時，人體感覺最舒適，這個氣溫約為 （精確到）．
14．如圖，樂器上的一根弦的長度為，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點是弦靠近點的黃金分割點，則線段的長度為 ．
15．我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優選法”．如圖．在設計人體雕像時，為了增加視覺美感利用黃金分割法，將雕像分為上下兩部分，其中為的黃金分割點，已知長為2米，則的長是 米．
16．頂角是的等腰三角形稱為“黃金三角形”，其底邊和腰的比為黃金比，若“黃金三角形”的腰長為4，則底邊長為 （結果保留根號）．
17．如圖，已知線段，經過點作，使，連接，在上截取；在上截取，則 ．
三、解答題
18．如圖，我們知道，如果點是線段上的一點，將線段分割成兩條線段，且滿足，那么這種分割就叫做黃金分割．其中線段與的比值或線段與的比值叫做黃金分割數．已知比例的基本性質：對于長度為的四條線段，如果，則．求黃金分割數（結果保留根號）．
19．活動一：某數學興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發現可以通過折疊得到黃金矩形．請根據每一步的操作完成以下填空．（假設原矩形紙片的寬為）
①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則______；
②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則_______；
③折出內側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，則_______；
④展平紙片，按照所得到的點D折出，則_______，我們將這個比值稱為黃金比，將寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形，如圖4矩形就是一個黃金矩形．
活動二：類似的，我們將底與腰的比等于黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形．
如圖，已知線段a，請你根據以下步驟作出以為腰長的黃金三角形．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
步驟一：作一條線段，使得的長度等于的腰長；
步驟二：作一條線段，使得的長度等于的底邊長；
步驟三：作黃金三角形．
20．黃金分割是一種被廣泛應用于藝術和生活中的比例關系，具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，黃金分割比也被稱作是最美比例關系．某藝術品公司生產了一款長方形的畫框，測量發現該矩形畫框的長為厘米，其寬與長的比值等于黃金分割比．
(1)求該矩形畫框的寬；
(2)生產畫框所用的材料單價為元，則生產一個該畫框所需要的材料成本為多少錢？（結果保留根號）
21．已知寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫黃金矩形．黃金矩形作為一種美學比例，無論是建筑、繪畫、設計還是自然現象，都能找到它的身影，這種比例不僅在視覺上給人以和諧、平衡和美感，還反映了人類對美的追求和自然界的奇妙規律．某數學興趣小組對如何用折紙或尺規作圖的方法得到黃金矩形進行了探索．
實驗操作：
第一步：在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步：如圖2，把這個正方形折成兩個全等的矩形，再把紙片展平；
第三步：折出內側矩形的對角線，并把折到圖3中處；
第四步：如圖4，展開紙片，按照所得的點N折出，得到矩形．
問題解決：
（1）求證：矩形是黃金矩形；
（2）在圖2的基礎上，參考上述操作思路，嘉嘉說：“也可以用無刻度的直尺和圓規在圖2中作出黃金矩形”．請你根據嘉嘉的想法作出圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
拓展延伸：
淇淇同學發現，在圖4中還有一個黃金矩形，但她說不出理由，請你幫她找出來并證明．
22．（1）已知線段的長為2，是的黃金分割點，求的長；
（2）求作線段的黃金分割點，要求尺規作圖，且使.
23．某校要設計一座高的雕像（如圖），使雕像的點（肚臍）為線段（全身）的黃金分割點，上部（肚臍以上）與下部（肚臍以下）的高度比為黃金比．則雕像下部設計的高度應該為多少（結果精確到）米． （，結果精確到）．
24．已知線段，在上有一點A，如果，求證：點A是的黃金分割點.
《18.2黃金分割》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C D D A A B
題號 11 12
答案 D C
1．B
【分析】已知長約為30m，根據黃金矩形的概念寬與長的比等于，求出的寬的值即可．
本題考查了黃金分割的概念以及黃金矩形，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：設它的寬約為m，
由題意得：
解得：≈
∴它的寬約為m ．
故選：B．
2．A
【分析】本題考查了黃金分割．熟練掌握黃金分割是解題的關鍵．
由題意知，，，可求，則，根據，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故選：A．
3．D
【分析】利用黃金分割比的意義解答即可．
【詳解】解：∵黃金分割比為：，
∴動物學家發現蝴蝶身長與雙翅張開后的長度之比約為，體現了數學中的黃金分割，
故選．
【點睛】本題考查了數學知識與自然界的聯系，熟練掌握線段的黃金分割比是解題的關鍵．
4．A
【分析】此題考查了黃金分割：點把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點．
由黃金分割的定義分別進行判斷．
【詳解】解：∵為的黃金分割點，
∴， ，
①、②、③錯誤，④正確，不符合題意，
故選：A．
5．C
【分析】本題考查的是黃金分割的含義，一元二次方程的解法，根據黃金分割的含義可得，設，再結合正方形與矩形的性質再建立方程求解即可．
【詳解】解：∵正方形，矩形，
∴，，
∵矩形的周長為，設，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故選：C
6．D
【分析】此題考查黃金分割，注意黃金分割的比值是，即分得的較長線段等于總線段的．根據黃金比值計算即可．
【詳解】∵是線段的黃金分割點，，，
∴，
∴，
故選：D．
7．D
【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，理解黃金矩形的定義是解題關鍵．先根據正方形的性質以及勾股定理，求得的長，再根據求得的長，最后分別求出選項中四個矩形的寬與長的比，判斷出矩形為黃金矩形．
【詳解】解：設正方形的邊長為2，則，，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∴矩形的寬與長的比是，矩形的寬與長的比是，矩形的寬與長的比是，矩形的寬與長的比是，
∴矩形為黃金矩形，
故選：D．
8．A
【分析】本題考查了黃金分割，解題的關鍵是熟記黃金比的值進行計算．根據黃金比的值為求解即可．
【詳解】解：∵點是的黃金分割點，即點滿足，
∴為較長線段，
由，得，
故選：A．
9．A
【分析】本題考查的是黃金分割，二次根式的運算，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．根據“把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值叫做黃金比”進行解答即可．
【詳解】解：∵線段，點是線段的黃金分割點且，
∴，
∴，
則，
∵點是線段的黃金分割點且，
∴
∴，
∴，
同理可得：，
以此類推，則線段的長度是．
故選：A．
10．B
【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，根據概念列比例式即可求解．
【詳解】解：∵線段，C是的黃金分割點，且，
∴根據黃金分割的概念得：，
∴．
故選B．
【點睛】本題考查黃金分割的含義，解題關鍵是理解黃金分割的概念，熟悉黃金比的值．
11．D
【分析】本題考查黃金分割，根據黃金分割的定義，列出比例式，進行求解即可．
【詳解】解：∵點P是線段的黃金分割點（），
∴，
∴．
故選D．
12．C
【分析】本題考查了黃金分割．熟練掌握黃金分割是解題的關鍵．
由題意知，，可求得．
【詳解】解：由題意知，，，
∴，
解得，．
故選：C．
13．
【分析】根據黃金比的值知，身體感到特別舒適的溫度應為的倍，即可．
【詳解】解：根據題意得：．
故答案為：
【點睛】本題考查了黃金分割在實際生活中的應用，根據黃金分割比的意義得出身體感到特別舒適的溫度應為的倍是解題的關鍵．
14．/
【分析】此題考查了黃金分割點的概念，能夠根據黃金比進行計算是解題的關鍵．由黃金比值列式求出，再根據計算即可．
【詳解】解：∵點C是弦靠近點B的黃金分割點，，
∴，
∴，
故答案為：
15．
【分析】本題考查了黃金分割，根據黃金分割的定義并結合圖象計算即可得解，熟練掌握黃金分割的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得：米，
故米，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查等腰三角形的性質和方程思想，黃金分割，熟練掌握方程思想的應用是解題的關鍵；
根據黃金三角形的定義即可得到方程，求解即可；
【詳解】解：由于黃金比為，
設底邊長為，
，
；
故答案為：
17．
【分析】先求得，再根據所給作圖步驟，分別求出出和即可解決問題．本題主要考查了黃金分割，能根據題中所給作圖步驟，理清各線段之間的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
在中，
．
因為，
所以，
所以，
所以．
故答案為：
18．
【分析】本題考查了黃金分割的概念和性質，根據題意列出比例式即可，熟練掌握把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項，叫做把線段黃金分割是解題的關鍵．
【詳解】解：設線段，的長為，則，
即，整理得，
解得，（不合題意舍去），
∴黃金分割數為：．
19．（1）活動一：①2；②1；③；④；
（2）見解析
【分析】活動一：利用折疊的性質和勾股定理解答即可；
活動二：利用作一條線段等于已知線段的方法，黃金分割的作法和公理解答即可．
【詳解】解：活動一：
①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則；
②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則；
③折出內側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，則；
④展平紙片，按照所得到的點D折出，，則；
活動二：
步驟一：作一條線段，使得的長度為，
步驟二：1．過點H作于點H，
2．在上截取，連接，
3．在上截取，
4．以點G為圓心，以為半徑畫弧交于點M， 則點M為的黃金分割點，的長度等于，則的長度等于底邊的長度，即，如圖：
步驟三：作，作線段，分別以為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，如圖，
則為黃金三角形．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質，黃金分割的性質，矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，基本作圖，本題是操作性題 目，熟練掌握基本作圖的知識和折疊的性質是解題的關鍵．
20．(1)厘米；
(2)元．
【分析】()根據寬與長的比值等于黃金分割比列出算式即可求解；
()求出矩形畫框的面積，進而即可解決問題；
本題考查了黃金分割，二次根式的運算，熟知黃金分割的定義是解題的關鍵.
【詳解】（1）解：∵矩形畫框的寬與長的比值等于黃金分割比，且長為厘米，
∴矩形畫框的寬為厘米；
（2）解：矩形畫框的面積為（平方厘米），
∴矩形畫框的材料成本為元，
答：生產一個該畫框所需要的材料成本為元．
21．問題解決：（1）見解析；（2）見解析；拓展延伸：矩形也是黃金矩形，見解析
【分析】本題考查幾何變換綜合題，黃金矩形的定義，正方形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，翻折變換，二次根式的運算等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）由操作過程可知，．設，則，表示，結合，計算，可得矩形是黃金矩形．
（2）在線段的延長線上截取，過作的垂線交于，結合（1）的結論可得矩形是黃金矩形．
（3）根據問題解決（1）可得，，求解，再進一步求解即可.
【詳解】（1）證明：由操作過程可知，．
設，則，
，
由折疊的性質，得，
，
，
矩形是黃金矩形．
（2）解：作圖如圖．
拓展延伸 解：矩形也是黃金矩形．
證明：由問題解決（1）可得，，
，
，
矩形也是黃金矩形．
22．（1）或；（2）畫圖見解析
【分析】（1）根據黃金分割點的定義，知可能是較長線段，也可能是較短線段；所以或；
（2）過點B作，使，連接，在上截取，在線段上截取，則點P是線段的一個黃金分割點．
【詳解】解：（1）由于為線段的黃金分割點，
則，
或；
（2）如圖，點是線段的一個黃金分割點.
【點睛】考查了黃金分割點的概念．特別注意這里的可能是較長線段，也可能是較短線段；熟記黃金比的值進行計算．
23．米
【分析】設雕像下部的設計高度為xm，那么雕像上部的高度為m．根據雕像上部與下部的高度之比等于下部與全部的高度比，列出方程求解即可．
【詳解】解：設雕像下部的設計高度為xm，那么雕像上部的高度為m．
依題意，得
解得（不合題意，舍去）．
經檢驗，是原方程的根．
∴雕像下部設計的高度應該為：．
【點睛】本題考查了黃金分割的應用，利用黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．
24．見解析
【分析】先求得，即可得到，結論得證．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴點A是的黃金分割點．
【點睛】解答本題的關鍵是應該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的，較長的線段=原線段的．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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