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18.5相似三角形的判定
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，小正方形的邊長均為，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．如圖，已知，那么添加一個條件后，仍不能判定與相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在中，點D、E分別在邊、上，，，那么下列判斷中，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，在中，點D在邊上，點E在邊上，且，則下列結論中不正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．如圖，在三角形紙片中，，，．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似的是（　　）
A． B．
C． D．
6．李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是（　　）
已知：如圖，在中，點分別在邊上，且，求證：．
證明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
7．下列各條件中，能判斷的是（　　）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
8．如圖，在中，是斜邊上的高，，垂足為，則圖中與相似的三角形（不包括）共有（　　）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
9．如圖，，請你再添加一個條件，使得．則下列選項不成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在大小為的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
11．如圖，點D在的邊上，添加一個條件，使得，下列不正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，矩形中，點，分別是，邊上的點，連接，，，若，則圖中①，②，③，④四個三角形一定相似的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
二、填空題
13．兩邊 且夾角 的兩個三角形相似．
14．如圖，點D、E在的邊上，請?zhí)砑右粋€條件： ，使．
15．題目：“如圖，紙片的直角邊，是紙片邊上不與、、重合的一點，欲過點剪下一個與相似的三角形．問有幾種不同的剪法．”對于其答案，甲答：當點在斜邊上時有三種不同的剪法；乙答：當點在直角邊上時有三種不同剪法；丙答：當點在直角邊上時有四種不同的剪法．回答正確的人是 ．

16．已知相交于點O，若補充一個條件后，便可得到，則要補充的條件可以是 ．
17．如圖，在中，，中線相交于點O．若，，則的長為 ．
三、解答題
18．如圖，在平行四邊形中，點E為邊上的點（不與點B，點C重合），連接并延長，交的延長線于點F．求證：．

19．如圖，在中，于點D，于點E，與交于點F，求證：．
20．如圖，和是兩個全等的等腰直角三角形，，的頂點與的斜邊的中點重合，將繞點旋轉，旋轉過程中，線段與線段相交于點，線段與射線相交于點．

(1)如圖①，當點在線段上，且時，求證：；
(2)如圖②，當點在線段的延長線上時，求證：．
21．如圖，已知，，，，，求證：．
22．如圖，在平行四邊形中，，若點分別為邊上的兩點，且．求證：．

23．如圖，在中，點、在上，點、分別在、上，且， ，交于點圖中與相似的三角形有多少個？把它們表示出來，并說明理由．
24．如圖，．求證．

《18.5相似三角形的判定》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B B C B D C
題號 11 12
答案 D C
1．A
【分析】本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對各選項進行判定即可．
【詳解】解：在中，，，，
在B、C、D選項中的三角形都沒有，而在A選項中，三角形的鈍角為，它的兩邊分別為和，
因為，
所以A選項中的三角形與相似．
故選：A．
2．C
【分析】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
首先由得到，然后利用相似三角形的判定方法一一判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴當，或時，；
當時，無法判定與相似．
故選：C．
3．D
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵；若是兩個三角形中兩組角對應相等，那么這兩個三角形相似，根據(jù)此判定作判斷即可．
【詳解】解：∵點D、E分別在邊、上，，
∴，故A正確；
∵，
∴，
∵，
∴，故B正確；
∵，，
∴，
∴，故C正確；
與不一定相似，故D不正確；
故選：D．
4．C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵；若是兩個三角形中兩組角對應相等，那么這兩個三角形相似，根據(jù)此判定作判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴．故A正確；
∵，，
∴．故B正確；
∵，，
∴．故D正確；
沒有條件可證，故C錯誤．
故選：C
5．B
【分析】本題考查相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等且夾角相等的兩三角形相似是解題的關鍵．
根據(jù)相似三角形的判定分別進行判斷即可得出答案．
【詳解】解：A：∵，對應邊，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故該選項不合題意；
B：∵，對應邊，
即：，，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似，故該選項符合題意；
C：∵，對應邊，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故該選項不合題意；
D：∵，對應邊，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故該選項不合題意．
故選：B．
6．B
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；關鍵是證明三角形相似．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對應角相等，易得解題步驟；
【詳解】證明：②，
④，
①又，
③，
．
故選：B．
7．C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關鍵是熟記相似三角形的判定條件：兩角對應相等的兩個三角形相似：兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似；根據(jù)相似三角形的判定條件對各選項進行分析即可．
【詳解】A、，，只有一角一邊，不能判斷兩個三角形相似，故A不符合題意；
B、 ，，不是與的夾角，不能判斷兩個三角形相似，故B不符合題意；
C、由可得，再由得，利用兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，可判斷，故C符合題意；
D、由，得，則得，故D不符合題意；
故選：C．
8．B
【分析】根據(jù)是斜邊上的高，于點，得，，再根據(jù)相似三角形的判定，即可．
【詳解】∵是斜邊上的高，于點，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
在和中，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴圖中與相似的三角形有個．
故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．
9．D
【分析】根據(jù)，可以得到，然后即可判斷添加各個選項中的條件是否可以使得，本題得以解決．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴當添加條件時，則，故選項A不符合題意；
當添加條件時，則，故選項B不符合題意；
當添加條件 時，則，故選項C不符合題意；
當添加條件 時，則不一定相似，故選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用三角形相似的判定方法解答．
10．C
【分析】分別求得四個三角形三邊的長，再根據(jù)三角形三邊分別成比例的兩三角形相似來判定．
【詳解】解：①中的三角形的三邊分別是：2，，，
②中的三角形的三邊分別是：3，，，
③中的三角形的三邊分別是：，2，，
④中的三角形的三邊分別是：3，，，
①與③中的三角形的三邊的比為：，
①與③相似．
故選：C．
【點睛】此題主要考查勾股定理，相似三角形的判定方法，利用勾股定理求出三角形三邊長是解題的關鍵．
11．D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可．
【詳解】解：A、若，則，，
∴，故此選項不符合題意．
B、若，，則，故此選項不符合題意；
C、若，，則，故此選項不符合題意；
D、若，其夾角不確定是否相等，則不能判定，故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定．掌握三角形相似的判定定理是解題的關鍵．
12．C
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定，余角定理等知識點，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．
由垂直得出，然后利用直角三角形的性質(zhì)和余角性質(zhì)得出，然后得出即可得出結論．
【詳解】解：如圖所示，
∵，
，
，
在矩形中，，
又，
，
故選：C．
13． 成比例 相等
【解析】略
14．或或（答一個即可）
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，故添加條件可證其相似；
根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等，故添加條件可證其相似；
∵，
∴，故添加條件可證其相似；
故答案為：或或（答一個即可）．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關鍵．
15．甲、丙
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結合題意，點在斜邊上，點在直角邊或直角邊上，分類討論即可求解．
【詳解】解：當點在斜邊上時有三種不同的剪法：沿過點垂直的垂線剪，故甲對；

當點在直角邊上時有四種不同剪法：
如圖所示，過作交于,則
過作交于，則，
作，則，，則，
作交于點，則，

同理點在直角邊上時有四種不同剪法，故乙錯，丙對；
故答案為：甲和丙．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
16．（答案不唯一）
【分析】本題考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定“兩角分別對應相等的兩個三角形相似”解答即可．
【詳解】解：補充條件即可；
∵（對頂角），，
∴，
故答案為：（答案不唯一）．
17．/
【分析】先運用勾股定理求出，再根據(jù)三角形的中位線得到，進而得到解題即可．
【詳解】解：∵E為的中點，
∴
∴
連接，
則是的中位線，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，掌握三角形的中位線定理是解題的關鍵．
18．見解析
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，，即可證得結論．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
19．證明見詳解
【分析】本題考查了相似三角形的判定、對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意可得，對頂角，再利用三角形內(nèi)角和定理得，因此得證．
【詳解】證明：、，
，
又，
，
．
20．(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中點，利用，可證得：；
（2）由和是兩個全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得，則可證得：．
【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中點，
，
在和中，
，
；
（2）證明：和是兩個全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
21．見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
根據(jù)兩組對應邊成比例，且夾角相等的兩三角形相似，進行證明．
【詳解】證明：，，，，
，
，
，
．
22．見解析
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角可得，從而得到，再通過證明即可得到．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．
23．圖中與相似的三角形有個，，，
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
根據(jù)相似三角形的判定推出答案即可．
【詳解】解：圖中與相似的三角形有個，，，，
理由：，
，，
，
，
．
24．見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定．根據(jù)，得到，結合，即可得證．掌握相似三角形的判定方法，是解題的關鍵．
【詳解】證明：∵，
∴，即：，
又，
∴．
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