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18.6相似三角形的性質
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在中，，，點P從點B出發(fā)以1個單位的速度向點A運動，同時點Q從點C出發(fā)以2個單位的速度向點B運動．當以B，P，Q為頂點的三角形與相似時，運動時間為（ ）

A． B． C．或 D．以上均不對
2．如圖，，相似比為3，則為（ ）
A．9∶1 B．8∶1 C．3∶1 D．1∶1
3．若與相似，且周長比是，則與的面積比是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，，，，，則的長為（ ）
A．5 B．6 C． D．9
5．在中，對角線與交于點O，在延長線上取一點E，連接交于F．已知，則的長等于（　　）
A． B． C． D．
6．對于以下判斷：①線段的中點是線段的重心；②三角形的重心是它的中線的一個三等分點；③三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心；④平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點．其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫個相似三角形，在下列各圖中，正確的畫法有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．在中，是邊上的中線，點G是重心，如果，那么線段的長是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
9．如圖，、分別是的邊、上的點，且，、相交于點，若，則與的比是（ ）
A． B． C． D．
10．若，且＝．若的面積為8，則的面積是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
11．有一塊銳角三角形余料，邊為，邊上的高為，現(xiàn)要把它分割成若干個鄰邊長分別為和的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計），使最底層的小方形的長為的邊在上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有幾個（　　）

A．個 B．個 C．個 D．個
12．如圖，∽，：：，其中，的長為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．如果兩個相似三角形對應邊上的高之比是，那么它們的周長之比等于 .
14．在平行四邊形中，，，E是的中點，在上取一點F，使，則的長為 ．
15．已知，在中，，，則的面積是 ．
16．如圖，在中，是斜邊上的高．如果，那么的長為 ．
17．在中，，P是上的一點，Q為上一點，直線把分成面積相等的兩部分，且和相似，如果這樣的直線有兩條，那么邊長度的取值范圍是 ．
三、解答題
18．已知兩個三角形相似，根據(jù)下列數(shù)據(jù)填表：
相似比 5
周長的比
面積的比 100 0.01
19．如圖，在梯形中，，，與對角線交于點，，且．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)連接，如果，求證：．
20．如圖1，在中，，點P為邊上任意一點（不與點A，B重合），過P分別作于點E，于點F．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)如圖2，連接，若是的角平分線，且，，求四邊形的面積．
21．在矩形中，，，將矩形折疊，使點落在點處，折痕為．
圖1 圖2
(1)如圖1，若點恰好在邊上，連接，求的值；
(2)如圖2，若是的中點，的延長線交于點，求的長．
22．如圖，點為線段上一點，滿足，，．
(1)求長度；
(2)求證：．
23．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點和的頂點均為小正方形的頂點．
(1)以為位似中心，在網(wǎng)格圖中作，使和位似，且位似比為．
(2)證明和相似．
24．如圖，是經(jīng)過位似變換得到的（點A、B、C的對應點分別為點D、E、F），位似中心是點O．
(1)請在圖中畫出點O的位置；
(2)若，，求的長．
《18.6相似三角形的性質》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B D D C B D
題號 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本題考查了相似三角形的性質，正確分四種情況討論是解題關鍵．設運動時間為，先分別求出，，，再分四種情況：①，②，③，④，利用相似三角形的性質分別建立方程，解方程即可得．
【詳解】解：設運動時間為，
由題意得：，，
，
，點從點運動到點所需時間為，點從點運動到點所需時間為，
，
，
，
①當時，
則，即，
解得，符合題意；
②當時，
則，即，
解得，符合題意；
③當時，
則，即，
解得，符合題意；
④當時，
則，即，
解得，符合題意；
綜上，運動時間為或，
故選：C．
2．B
【分析】根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得出，進而即可求解．
【詳解】解：∵，相似比為3，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
3．C
【分析】本題考查的是相似三角形的性質，由周長比可得相似比，再根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比可得到答案．
【詳解】解：∵與相似，且周長比是，
∴相似比為，
與的面積的比為．
故選：C．
4．C
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是通過兩角對應相等判定三角形相似，并利用相似三角形對應邊成比例建立等量關系求解．
利用公共角 和已知，判定；設長為x，表達出的長度；根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出關于x的方程，求解得到的長．
【詳解】解：∵（公共角）
∴（兩角分別相等的兩個三角形相似）
（相似三角形對應邊成比例）
設則
已知代入比例式得：
交叉相乘得：
化簡：
解得：
故選： C．
5．B
【分析】過O作交于M，根據(jù)平行四邊形的性質得到，，根據(jù)三角形的中位線的定理得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質計算即可得到結論．
【詳解】解：如圖，在中，對角線與交于點O，過O作交于M，
∵在中，，
∴，
∴是的中位線，
，
∵，
，
，
，
，即
．
故選：B．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，三角形中位線定理，平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是準確作出輔助線，合理應用數(shù)形結合思想解題．
6．D
【分析】根據(jù)重心的定義和特殊圖形的性質求解．
【詳解】解：線段中點到線段兩個端點的距離相等，為線段的重心，故①正確；
三角形的重心是它的中線的一個三等分點，故②正確；
三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心，故③正確；
平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點，故④正確，
故選：D．
【點睛】此題考查了常見圖形的重心，正確理解重心的定義及常見圖形的性質是解題的關鍵．
7．D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握三角形相似的判定并根據(jù)網(wǎng)格結構判斷出三角形的三邊的比例是解題的關鍵．
根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可．
【詳解】解：第1個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例，所以這兩個三角形相似；
第2個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例，所以這兩個三角形相似；
第3個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例滿足，所以這兩個三角形相似；
第4個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例滿足，所以這兩個三角形相似；
綜上所述，
故選：D．正確的畫法有4個．
8．C
【分析】本題主要考查了重心的定義和性質，根據(jù)重心的性質解答即可.
【詳解】∵是邊上的中線，點G是重心，，
∴，
∴．
故選：C．
9．B
【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質，根據(jù)平行得，則有，根據(jù)相似三角形得到，進一步得到由此即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
則，
故選：B．
10．D
【分析】本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．
根據(jù)相似三角形的性質可直接得出結論．
【詳解】解：∵，且＝．
∴
∵的面積為8，
∴的面積為18，
故選：D．
11．D
【分析】根據(jù)題意，可得底層可以放置個小長方形，根據(jù)頂層與的邊交于點，可得，由此可求出的值，可得共堆疊的層數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：∵的底邊為，最底層的小長方形的長為的邊在上，
∴底層可以放置個小長方形，即，
如圖所示，頂層小長方形與的邊交于點，連接，過點作于點，交于點，
∴，
∴，且，，，
∴相似比為，
∴，則，
∴，
∵小長方形零件的高為，
∴，即可以疊四層，
∴共有個，
故選：D．
【點睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質，掌握其運算方法是解題的關鍵．
12．A
【分析】利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質．
13．
【分析】本題考查相似三角形的性質，相似三角形對應邊上的高之比等于相似比，周長比也等于相似比，由此可解．
【詳解】解：兩個相似三角形對應邊上的高之比是，
這兩個相似三角形的相似比為，
它們的周長之比等于．
故答案為：．
14．
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的性質，熟練應用相似三角形的性質是解題關鍵．利用平行四邊形的性質得出，，再利用相似三角形的性質,即可得出答案．
【詳解】，E是的中點，
，
在平行四邊形中，， ，，
，
，
，
解得．
故答案為：．
15．
【分析】本題考查了黃金三角形，等腰三角形性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等，能夠作出合適的輔助線是解題的關鍵．
作于，在上截取一點，使得．利用相似三角形的性質求出，再利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：作于，在上截取一點，使得．
，，
，
，
，
設，
又，
，
∴，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案為：．
16．
【分析】由題意易證，即得出，再代入數(shù)據(jù)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴．
∵是斜邊上的高，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去負值）
故答案為：．
【點睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質．解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．
17．且
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，當時，只要滿足，都能滿足題意；當時，得到，則，再由，可得，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，當時，
∴，
∴只要滿足，都能滿足題意；

如圖所示，當時，
∵直線把分成面積相等的兩部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，直線把分成面積相等的兩部分，且和相似，如果這樣的直線有兩條，那么邊長度的取值范圍是且．
故答案為：且；

18．見解析
【分析】本題考查相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形的性質：相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方解答即可．
【詳解】解：填表如下：
相似比 5 10 0.1
周長的比 5 10 0.1
面積的比 25 100 0.01
19．(1)證明見解析；
(2)證明見解析．
【分析】（）由，得四邊形是平行四邊形，由得，得到，同理得，進而由得到，即可求證；
（）連接，與交于點，證明得到，進而由，，，可得，據(jù)此即可求證；
本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是菱形；
（2）證明：連接，與交于點，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即．
20．(1)見解析
(2)
【分析】（1）由，，得到，結合，即可得證，
（2）根據(jù)角平分線的性質得到，根據(jù)正方形的判定得到，由，得到，代入求出，應用正方形面積公式，即可求解．
本題考查了矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的性質與判定，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴四邊形是矩形
（2）解：∵是的角平分線，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，即：解得：，
∴四邊形的面積．
21．(1)
(2)的長為
【分析】（1）先得出，再證明，利用相似三角形的性質求解即可；
（2）過點作交于點，先得出，設，則，根據(jù)勾股定理得出，再證明，即可得出答案．
【詳解】（1）在矩形中，，
，
由折疊性質得：，
，
，
，
，
；
（2）如圖，過點作交于點，
∵，
，
由折疊性質得，，
，
，
設，則，
點是的中點，
，
，
，
解得：，即，
．
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
的長為．
【點睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．
22．(1)4
(2)見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）由，可得，證明，則，即，計算求解即可；
（2）由勾股定理得，，，由， ，可證結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的長度為4；
（2）證明：∵
∴由勾股定理得，，，
∴，
∵， ，
∴．
23．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖 位似變換、相似三角形的判定，勾股定理等知識點，理解題意、靈活運用所學知識是解答本題的關鍵．
（1）根據(jù)和位似，且位似比為作出圖形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理證明即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求，
；
（2）證明：小正方形邊長為1，
，，，
，，，
，，，
∴，
∴．
24．(1)作圖見解析
(2)
【分析】本題主要考查位似變換，熟知位似圖形性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)位似圖形的對應頂點的連線過位似中心，即可確定點O的位置；
（2）根據(jù)位似性質即可求得答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)點O的位置如圖所示．
（2）∵是經(jīng)過位似變換得到的，
∴，
∴．
∵，，
∴．
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