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12.5全等三角形的判定
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就另外作出了一個(gè)與原來(lái)完全一樣的三角形，這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在和中，，．若再添加一個(gè)條件使得．下列添加的條件不正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，是四個(gè)社區(qū)服務(wù)中心．在一條直線上，，之間也有道路相連，且道路與垂直，，之間隔了一個(gè)湖泊．現(xiàn)決定在湖泊上造一座斜拉橋，測(cè)得，，則建造的斜拉橋的長(zhǎng)至少為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，是的邊上的中線，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．下列各條件能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（ ）
A．一對(duì)銳角相等 B．一組銳角和斜邊分別相等
C．一組對(duì)應(yīng)邊相等 D．兩對(duì)銳角相等
7．能判定的條件是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．如圖，點(diǎn)D在線段上．若，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
9．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在的邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到的平分線，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）
A． B． C． D．
10．如圖，在和中，，，，，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，則邊上的中線的長(zhǎng)度可能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
12．對(duì)和來(lái)說(shuō)，已知，再添加一個(gè)條件就可以由“”得到，則這個(gè)條件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．如圖，已知，，要利用“”判定，應(yīng)添加的條件是 ．
14．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F在線段上，滿足，若，則 ．
15．如圖，在與中，在邊上，，，，若，則的度數(shù)為 ．
16．在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)．作直線，在直線上有一點(diǎn)F，連結(jié)、，則的最大值是 ．
17．如圖，為的中線，延長(zhǎng)至D，使，連接，已知，則與的周長(zhǎng)差是 ．
三、解答題
18．已知：在和中，，點(diǎn)在同一直線上，請(qǐng)從下面的三個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠說(shuō)明和全等，并說(shuō)明理由．
三個(gè)條件：①；②；③．
你選擇的條件是_____（填寫序號(hào)）
19．如圖，在和中，，，．求證：．
20．如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，，，．求證：．
證明：∵（________），
∴________________（________），
即________________．
在和中，，
∴（________）．
21．如圖，于點(diǎn)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F．求證：．
22．問(wèn)題情境：如圖①，在直角三角形中，于點(diǎn)D，可知：（不需要證明）．
特例探究：如圖②，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)在的邊上，且于點(diǎn)于點(diǎn)D．證明：；
歸納證明：如圖③，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在內(nèi)部的射線上，分別是的外角．已知．求證：；
拓展應(yīng)用：如圖④，在中，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為 ．
23．如圖，點(diǎn)E在上，點(diǎn)C在上，，．求證：．
24．如圖，在和中，給出下列三個(gè)論斷：①；②；③．請(qǐng)選擇其中兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)命題．
(1)寫出所有的真命題：______；（命題寫成“______”的形式，用序號(hào)表示）
(2)請(qǐng)選擇一個(gè)真命題加以證明．
《12.5全等三角形的判定》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A B D D A A
題號(hào) 11 12
答案 B C
1．B
【分析】此題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．由圖形可知三角形的兩角和夾邊，于是根據(jù)即可畫出一個(gè)與原來(lái)完全一樣的三角形．
【詳解】解：已知三角形的兩角和夾邊，
∴兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是，
故選：B．
2．D
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練地運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．分別判斷選項(xiàng)所添加的條件，根據(jù)三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：在和中，，，
A、添加，可用進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、添加，則，可用進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、添加，可用進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、添加，不能判定，故本選項(xiàng)不正確，符合題意；
故選：D．
3．A
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定以及其性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ADB≌△ADC是解問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，這樣可得出橋長(zhǎng)度．
【詳解】解：由題意知：，
∵在和中，
，
，
，
故斜拉橋至少有（千米）．
故選：A．
4．B
【分析】本題主要考查了角平分線、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形的知識(shí)求出相應(yīng)各個(gè)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，再求出，然后通過(guò)證明、并利用全等三角形的性質(zhì)，再利用外角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
又∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴.
故選：B．
5．A
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，倍長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，證明，得到，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：倍長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，則，
∴，
∵是的邊上的中線，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故選A．
6．B
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對(duì)個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，然后即可得出答案．
【詳解】解：A、一對(duì)銳角相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、一組銳角和斜邊分別相等，能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；
C、一組邊對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、兩對(duì)銳角相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．
7．D
【分析】本題可根據(jù)全等三角形的判定定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．本題主要考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩個(gè)三角形全等
選項(xiàng)A錯(cuò)誤．
兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩個(gè)三角形全等
選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩個(gè)三角形全等
選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，符合邊角邊（SAS）判定定理
選項(xiàng)D正確．
故選：D．
8．D
【分析】本題考查三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵利用全等三角形的判定定理證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)求解的度數(shù)．
【詳解】在和中，
，
∴，
∴，
故選： D．
9．A
【分析】本題考查全等三角形的判定．已知兩三角形三邊分別相等，可考慮證明三角形全等，從而證明角相等．
【詳解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是．
證明如下：
由題意得，，
在和△中，
，
∴，
∴，
故為的平分線．
故選：A．
10．A
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義，三角形內(nèi)角和定理，設(shè)與相交于點(diǎn)，根據(jù)題意得，可利用證明，有，結(jié)合三角形得內(nèi)角和定理得，結(jié)合鄰補(bǔ)角的定義即可得．
【詳解】解：設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖所示：
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
則
∴，
∴，
故選：A．
11．B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，延長(zhǎng)到E，使得，連接，可證明得到，再利用三角形三邊的關(guān)系求出的長(zhǎng)的范圍即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)到E，使得，連接，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有B選項(xiàng)符合題意，
故選：B．
12．C
【分析】本題考查添加條件使三角形全等，根據(jù)已知條件，結(jié)合公共邊相等，得到，，再添加即可利用得到即可．
【詳解】解：在和中，，，
∴當(dāng)時(shí)，；
故選：C．
13．
【分析】本題考查了全等三角形的判定，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【詳解】解：在和中
∴．
故答案為：．
14．18
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)得出與的面積相等，可得，即可得出答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：
15．
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理．證明得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義可得．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，在上取點(diǎn)，使得，可知，得，可知，利用轉(zhuǎn)化思想和線段的和差是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，
∴，
在上取點(diǎn)，使得，
∵的角平分線交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
17．8
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題的關(guān)鍵．先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】解：為的中線，
，
在和中，
，
，
，
，
與的周長(zhǎng)差是
，
故答案為：8．
18．①或③
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．當(dāng)選擇①時(shí)，則，根據(jù)得，由此可依據(jù)“”判定和全等；當(dāng)選擇②時(shí)，不能判定和全等；當(dāng)選擇③時(shí)，則，根據(jù)得，由此可依據(jù)“”判定和全等，據(jù)此即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)選擇①時(shí)，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
當(dāng)選擇②時(shí)，
∵，
∴，
在和中，
，
此條件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等；
當(dāng)選擇③時(shí)，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴．
∴選擇條件①或③能夠判定和全等．
故答案為：①或③．
19．證明見(jiàn)解答
【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，推導(dǎo)出，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵．
由，推導(dǎo)出，而，即可根據(jù)“”證明，則．
【詳解】證明：∵，
，
，
在和中
，
，
．
20．已知；；；等式的性質(zhì)；；；；；
【分析】首先根據(jù)可得，再加上條件，可利用定理證明．
本題主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵（已知），
∴（等式的性質(zhì)），
即．
在和中，，
∴（）．
故答案為：已知；；；等式的性質(zhì)；；；；；
21．見(jiàn)解析
【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)和判定定理．
首先證明出，然后證明出即可．
【詳解】∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴．
22．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）5
【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積計(jì)算，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，判斷出兩三角形全等是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖②，求出，根據(jù)證兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)圖③，運(yùn)用三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)證兩三角形全等即可；
（3）根據(jù)圖④，由的面積為15，可求出的面積為5 ，根據(jù)，得出與的面積之和等于的面積，據(jù)此即可得出答案．
【詳解】（1）證明：如圖②，∵，
，
，
，
在和中，，
．
（2）證明：如圖③，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（3）如圖④，∵的面積為，
∴的面積，
由（2）可得，
即：，
，
即與的面積之和等于的面積5 ，
故答案為：5．
23．見(jiàn)解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
由即可得出．
【詳解】證明：在和中，
．
24．(1)，
(2)見(jiàn)解析
【分析】該題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是選擇合適的判定方法證明．
（1）根據(jù)全等三角形的判定方法選擇條件和結(jié)論即可；
（2）根據(jù)選擇的條件結(jié)合全等三角形的判定方法分別證明即可．
【詳解】（1）解：，；
（2）解：選擇命題時(shí)，證明如下：
在和中，，
，
．
選擇命題時(shí)，證明如下：
在和中，，
，
．
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