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12.6等腰三角形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，已知：在中，，，在直線上找一點D，使或為等腰三角形，則符合條件的點D的個數有（ ）
A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
2．等腰三角形的一條邊長，另一條邊長為，那么它的周長為（　　）
A． B． C．和 D．不能確定
3．如圖所示，是的角平分線，過點作交于點，若，，則邊的長為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如圖，，，，則的周長是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
5．已知等邊的一邊長為2，則它的周長是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
6．若等腰三角形的兩邊長為3和7，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
7．最近粉色二七塔邂逅玉蘭花火出了圈，鄭州市民紛紛圍觀打卡． 如圖，二七塔的頂端可看作等腰三角形是邊上的一點． 下列條件不能說明是的角平分線的是 （ ）

A． B． C． D．
8．如圖，在中，是的角平分線，則的長是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．無法確定
9．已知等腰三角形的一邊長為，周長為，則它的腰長為（ ）
A． B． C． D．或
10．已知等腰三角形的兩邊長分別為3和，則這個三角形的周長為（ ）
A． B．
C． D．或
11．給出下列三角形：①有兩條邊相等的三角形；②有一個角等于的等腰三角形；③有兩個外角相等的三角形；④一條腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
12．已知等腰三角形的兩邊長分別為和，則第三邊的長是（）
A． B． C．或 D．
二、填空題
13．如圖，在中，，，點為的中點，則 ．
14．“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的．借助如圖①所示的“三等分角儀”能三等分任意一角．如圖②，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動，點C固定，點D，E可在槽中滑動，．若，則的度數是 ．
15．用10個等邊三角形拼成一個五邊形如圖所示，已知最小的等邊三角形的邊長是1，則最大的等邊三角形（陰影部分）的邊長為 ．
16．如圖，在中，是的中線，已知，則的度數是 ．
17．如圖，在等邊中，是上一點，于點，若，則的度數為 ．
三、解答題
18．（1）【閱讀理解】
如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．
思考：“角平分線＋對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．老師給出一個方法：延長到點N，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；結合圖1，根據老師提出的方法，添加輔助線并完成證明；
（2）【問題解決】
如圖2，在（1）的條件下，連接，當，時，探究線段，，之間的數量關系，并說明理由．
19．如圖，點在上，點在上，且，，，求的度數．
20．如圖，在中，點在上，且，，求的度數．
21．在中，，且的頂點E在邊上移動，在移動過程中，邊，分別與，交于點M，N，
(1)當且M與A重合時，求證：
(2)當E為中點時，連接，求證：
22．如圖，點O是等邊內一點，D是外一點，，，，，連接．
(1)求證：是等邊三角形；
(2)當時，判斷的形狀為________，（不用寫證明）；
(3)探究：當為_________度時，是等腰三角形．
23．如圖，已知射線，，，若．求和的度數．
24．如圖，在中，，點在上，點在上，，與相交于點，求證是等腰三角形．
《12.6等腰三角形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C C C B B B
題號 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，等邊三角形的判定，如解析圖中，當時，可證明此時是等邊三角形，當時，是等腰三角形；再討論討論為等腰三角形時，符合題意的點D個數即可得到答案．
【詳解】解：如圖：當時，是等腰三角形；
∵，
∴是等邊三角形，
∴；
當時，是等腰三角形；
當，，當時，都是等腰三角形；
綜上，符合條件的點D的個數有6個．
故選：B．
2．B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．
因為已知長度為和兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，為底，②為底，分類討論即可．
【詳解】解：當為底時，其它兩邊都為，
、、可以構成三角形，周長為；
②當為底時，其它兩邊為，
，
不能構成三角形，故舍去，
答案只有．
故選B．
3．C
【分析】先根據角平分線的定義和平行線的性質得到，再根據等角對等邊得到，進而求解．
本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義和平行線的性質．
【詳解】解：∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故選：C．
4．A
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，線段和差的計算，確定是關鍵．
根據，得，則，由此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周長是，
故選：A ．
5．C
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵；因此此題可根據等邊三角形的三條邊都相等進行求解即可．
【詳解】解：由等邊的一邊長為2，可知：該等邊三角形的三條邊都為2，所以它的周長為6；
故選C．
6．C
【分析】此題考查等腰三角形的定義：兩邊相等的三角形是等腰三角形，三角形的三邊關系，解題中注意運用分類思想避免漏解．
根據等腰三角形的定義分兩種情況解答．
【詳解】解：當等腰三角形的腰長為3時，則三邊長分別為：3、3、7，
∵，
∴不能構成三角形；
當等腰三角形的腰長為7時，則三邊長分別為：7、7、3，
∴該等腰三角形的周長為，
故選C．
7．C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質是解題的關鍵．
根據等腰三角形“三線合一”的性質，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、，，
，即是的高線，
是等腰三角形，，
是的角平分線，故A選項不符合題意；
B、是等腰三角形，，
是的角平分線，故B選項不符合題意；
C、若，不能說明是的角平分線，故C選項符合題意；
D、，
，
∴是的角平分線，故D選項不符合題意；
故選：C．
8．B
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，根據等腰三角形的三線合一性質進行作答即可．
【詳解】解：∵
∴是等腰三角形，
∵是的角平分線，
∴
故選：B．
9．B
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系；分兩種情況討論：為底邊或腰長，結合三角形三邊關系判斷是否成立．
【詳解】解：①當為底邊時：
腰長為．
此時三邊為、、，滿足三角形三邊關系（），成立．
② 當為腰長時：
底邊長為．
此時三邊為、、，但，不滿足兩邊之和大于第三邊，無法構成三角形．
綜上，腰長只能為，
故選：B．
10．B
【分析】本題考查了二次根式的加法，等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．
沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應該分兩種情況進行分析．
【詳解】解：當三邊是3，3，時，，不符合三角形的三邊關系，應舍去；
當三邊是時，符合三角形的三邊關系，此時周長是，
∴這個三角形的周長是，
故選：B．
11．B
【分析】此題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的定義，三角形的外角，熟練掌握等邊三角形的判定是解決問題的關鍵．
根據等邊三角形的判定定理，對題目中給出的四個三角形逐一進行甄別即可得出答案．
【詳解】解：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，證明不出等邊三角形，故錯誤；
②有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形，正確；
③有兩個外角相等的三角形不一定是等邊三角形，因為兩個外角相等，則兩個內角相等，只能證明為等腰三角形，故錯誤；
④由題意得，如圖，
則，而，
∴，
∴，
∴，
故為等邊三角形，
故④正確，
故選：B．
12．B
【分析】本題考查等腰三角形的性質和三角形三邊關系，應先根據“等腰三角形”的定義，明確第三邊長可能為或，再根據三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊”進行判斷：．
【詳解】解：已知是等腰三角形，則第三邊只能是3cm或6cm．
當三邊長為，，時，因為，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的原則，故此情況不成立．
當三邊長為，，時，因為，滿足三角形兩邊之和大于第三邊的原則，故此情況成立．
所以，該等腰三角形的第三邊長是．
故選：B．
13．度/
【分析】本題考查等腰三角形的性質、三角形的內角和定理，先根據等腰三角形的性質得到，再利用三角形的內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵，
，
，點為的中點，
，
，
，
，
故答案為：．
14．/27度
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的外角性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．設，利用等腰三角形的性質可得，從而利用三角形的外角性質可得，然后利用等腰三角形的性質可得，再利用三角形的外角性質可得，從而可得，最后進行計算即可解答．
【詳解】解：設，
∵，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∵，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：．
15．7
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，掌握等邊三角形的性質是解答本題的關鍵．
根據題意，設第二小的等邊三角形的邊長為，而最小等邊三角形的邊長是，根據等邊三角形的性質，列方程求解即可得到，從而得到最大的等邊三角形（陰影部分）的邊長．
【詳解】解：如圖，
設第二小的等邊三角形的邊長為，而最小等邊三角形的邊長是，
所以其它等邊三角形的邊長分別，，，，
由圖形得，，解得，
所以最大的等邊三角形（陰影部分）的邊長為：，
故答案為：．
16．/85度
【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一的性質，三角形的外角性質．因為是的中線，所以是等腰三角形，，求得，結合，利用三角形的外角性質即可作答．
【詳解】解：是的中線，
是等腰三角形，，
，
，
，
故答案為：．
17．/度
【分析】本題考查等邊三角形性質，三角形外角性質，利用等邊三角形性質得到，結合題意進而得到，再根據三角形外角性質得到，即可解題．
【詳解】解：是等邊三角形，
，
，
，
，
故答案為：．
18．（1）見解析；（2），見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定與性質，添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）延長到點，得，連接，先證明，得到，，再證明，最后根據等腰三角形的判定，即可證明結論；
（2）延長到點，使得，連接，先證明是等邊三角形，然后證明為等邊三角形，再證明，可得，即可進一步證明結論．
【詳解】解：（1）延長到點，得，連接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2）．理由如下：
延長到點，使得，連接，
由（1）知，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
19．
【分析】本題考查等腰三角形的性質和三角形的內角和定理，學會運用代數法解決幾何計算問題，這是一種重要的方法，要熟練掌握．
設，則可利用等腰三角形的兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和得出，，，最后利用三角形的內角和求出x，就可以得出答案．
【詳解】解：設，
，
∴，
，
又，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
∴，
．
故答案為：．
20．
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和，外角定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
根據等邊對等角結合三角形的內角和定理，以及外角定理即可求解．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
．
21．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，
（1）根據等腰直角三角形的性質可得，利用三角形外角的性質與等量代換可得，在根據全等三角形的判定即可證明；
（2）連接，在上截取，根據等腰直角三角形的性質可得，，證得，可得，，利用等量代換可得，證得，可得，即可得證．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）證明：連接，在上截取，
∵，，E為中點，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)見解析
(2)直角三角形
(3)125或140或110
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
（1）由全等三角形的性質可得，再結合即可得證；
（2）由等邊三角形的性質可得，由全等三角形的性質可得，求出，即可得解；
（3）由等邊三角形的性質可得，由全等三角形的性質可得，求出，，再由三角形內角和定理可得，分三種情況：當時；當時； 當時；分別求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形；
（2）解：當時，的形狀為直角三角形，
∵是等邊三角形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴當時，的形狀為直角三角形；
故答案為：直角三角形；
（3）解：∵是等邊三角形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴當時，，解得：；
當時，，解得：；
當時，，解得：；
綜上所述，當為125或140或110度時，是等腰三角形．
故答案為：125或140或110．
23．，
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握以上知識點得到是解題的關鍵．根據題意可知，結合，即可求出的度數，再由等腰三角形的性質推出，，最后利用三角形外角的性質得到，即可求出．
【詳解】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
24．見解析
【分析】本題考查了等腰三角形的性質與判定、全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是通過證明三角形全等得到對應角相等，再利用等腰三角形的性質推導得出中兩角相等，進而判定其為等腰三角形．
先根據得出是等腰三角形，得到；再利用判定和全等，得出對應角；最后用減去減去，得到，從而判定是等腰三角形．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴是等腰三角形．
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