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12.7直角三角形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在中，，P，Q兩點分別在上和過點A且垂直的射線上運動，且．當?shù)闹禐槎嗌贂r，與全等？（ ）
A． B． 或 C． D．或
2．如圖，直線，，．若，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．在下列條件中：①；②；③；④，能確定是直角三角形的條件有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，于點，則下列不正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知：如圖，，，分別為邊，上的高線，且．
求證：為等邊三角形．
證明：，，◎，
（全等的判定方法為★）
⊙
⊙
，即為．
則回答錯誤的是（ ）
A．◎代表 B．★代表
C．⊙代表 D．代表等邊三角形
7．如圖是個邊長相等的小正方形組合成的圖形，則的度數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．
8．已知：如圖，，，，則的度數(shù)為（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
9．等腰三角形頂角是，則一腰上的高與底邊的夾角是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，一副三角尺按如圖方式擺放． 若直線，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
12．把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀，如圖所示，細線與邊重合，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．如圖，在四邊形中，，連接為上一點，連接且．若，則的長為 ．
14．在中，，，點D在邊上，連接．若為直角三角形，則的度數(shù)為 ．
15．如圖，，，，則的度數(shù)為 ．
16．如圖，，點分別在直線和上，點在上，，則 ．
17．如圖，將長方形的一角折疊，以（點在上，不與A，重合）為折痕，得到，連接，設，的度數(shù)分別為，，若，則，之間的數(shù)量關系是 ．
三、解答題
18．如圖，已知，于點E，于點F，，連接交于點O．求證：是的中點．
19．如圖，是的高，點在的延長線上，，點在上，．
(1)判斷：______（用“”“”“”填空）；
(2)探究與之間的數(shù)量關系和位置關系；
(3)若把圖中的改為鈍角三角形，是鈍角，其他條件不變，（2）中的結論是否還成立？請畫出圖形并說明理由．
20．已知，在四邊形中，，．
(1)如圖1，連接．若，求證：．
(2)如圖2，點，分別在線段，上，且滿足，求證．
(3)若點在的延長線上，點在的延長線上，連接，，，仍然滿足．請在圖3中補全圖形，根據(jù)圖形直接寫出與的數(shù)量關系．
21．如圖，，交于點O，與有什么關系？
22．某校七年級學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．
(1)如圖①，在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為D、E．可證得：、、的數(shù)量關系為 ；
(2)組員小麗想，如果將圖①中的直角變式為一般情況，那么結論是否成立呢？如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點都在直線l上，并且有，其中α為任意鈍角．請問（1）中的結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
(3)數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用以上結論來解決問題：如圖③，以的邊、為腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足為點H，延長交于點M．求證：點M是的中點．
23．如圖，在中，，D為延長線上一點，E為上一點，連接交于點F，若，求證：是直角三角形．
24．如圖，，，點是上一點，于，于，，求證：．
《12.7直角三角形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B B B B A D
題號 11 12
答案 C B
1．D
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，分情況討論：①，此時，可據(jù)此求出的值．②，此時，P、C重合，據(jù)此求出的值．
【詳解】解：，
，
根據(jù)三角形全等的判定方法可知：
①當P運動到時，
∵，
在與中，
，
∴，
即；
②當P運動到與C點重合時，，
在與中，
，
∴，
即，
綜上所述，當?shù)闹禐榛驎r，與全等，
故選：D．
2．D
【分析】本題考查了直角三角形的性質、平行線的性質，解題的關鍵是利用平行線的同位角關系及三角形內角關系推導．
先利用直角三角形銳角之和為求得，再利用三角形外角的性質求得，最后再利用平行線的同位角相等即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：延長與直線相交于點F，如圖．
∵，
∴，
∴，
因，則，
∴，
故選：D．
3．D
【分析】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是，根據(jù)這個定理結合已知條件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解決本題的關鍵．
根據(jù)三角形內角和為，求出三角形中角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的定義判斷從而得到答案．
【詳解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①正確；
②∵，
∴最大角，
故②正確
③∵，
∴，
∴，
故③正確
④∵，
∴，
∴，
故④正確
綜上所述，是直角三角形的是①②③④共4個．
故選：D．
4．B
【分析】本題主要考查直角三角形的性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．
根據(jù)直角三角形的性質計算可求解．
【詳解】解：在中，，
，
故選：B．
5．B
【分析】本題考查同角的余角相等，三角形的內角和定理，根據(jù)三角形的內角和定理結合同角的余角相等，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴選項A，C，D正確，符合題意，無法得到，故選項B錯誤；
故選：B．
6．B
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定．
根據(jù)全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定補全證明過程判斷即可．
【詳解】證明：，，，
（全等的判定方法為）
，即為等邊三角形．
即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等邊三角形，
只有選項B符合；
故選：B．
7．B
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，先證明，得到，進而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：．
8．B
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，先根據(jù)三角形的內角和定理求解，再證明得到即可；
【詳解】解：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴
故選：B．
9．A
【分析】本題考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理的應用．作出示意圖，先根據(jù)兩底角相等、內角和為180度計算出，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余即可求解．
【詳解】解：如圖所示，等腰中，，
，
，
，
，
，
即一腰上的高與底邊的夾角是，
故選：A．
10．D
【分析】本題考查直角三角形的兩銳角互余，解題的關鍵是掌握三角形內角和定理
根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解
【詳解】解：在中，，，
∴，
故選：D
11．C
【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質．先根據(jù)平行線的性質可得，從而可得，再根據(jù)余角關系求出，然后根據(jù)平行線的性質即可得．
【詳解】解：如圖，
∵直線，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
故選：C．
12．B
【分析】本題考查量角器的使用，直角三角形兩銳角互余，先根據(jù)量角器得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到．
【詳解】解：由量角器得，
∵，
∴，
∴．
故選B．
13．10
【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，根據(jù)“”證即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：10．
14．或
【分析】本題考查了三角形的內角和定理．當為直角三角形時，存在兩種情況：或，根據(jù)三角形的內角和定理或直角三角形的兩銳角的關系可得結論．
【詳解】解：分兩種情況：
如圖①，當時，．
，
．
如圖②，當時，
，
，
．
綜上所述，的度數(shù)為或．
15．/53度
【分析】本題考查了兩直線平行內錯角相等，直角三角形的兩個銳角互余，解題關鍵是掌握上述知識點．
先利用兩直線平行內錯角相等，求得，再利用直角三角形的兩個銳角互余，求解的度數(shù)．
【詳解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
16．9
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質以及平行線的性質．先判定，從而得出，則．
【詳解】解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案為：9．
17．
【分析】本題主要考查折疊，平行線的性質，直角三角形兩銳角互余，掌握折疊的性質，平行線的性質是解題的關鍵．
根據(jù)長方形的性質，折疊的性質得到，根據(jù)平行線的性質，直角三角形兩銳角互余得到，化簡即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，
∴，
∵折疊，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案為：．
18．證明見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解題關鍵．先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，由此即可得證．
【詳解】證明：∵，，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中點．
19．(1)
(2)
(3)成立，理由見解析
【分析】本題考查垂直定義、直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握全等三角形的性質是解答的關鍵．
（1）根據(jù)垂直定義、直角三角形的兩個銳角互余，結合等角的余角相等可得結論；
（2）先證明得到，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得到，進而可求解；
（3）同（2）方法可得結論．
【詳解】（1）解：因為是的高，所以．
所以，
因為，
所以．
故答案為：；
（2）解：．證明如下：
由（1）知，
在和中，，
所以，
所以，
而，所以，
即，所以，
即；
（3）解：成立，理由如下：
如圖，
因為是的高，所以，
所以，，
因為，所以．
在和中，，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
所以，
即．
20．(1)見解析
(2)見解析
(3)圖見解析，
【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質、四邊形內角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；
（2）延長至點，使，連接，分別證明、，根據(jù)全等三角形的性質證明；
（3）在延長線上找一點，使得，連接，分別證明、，根據(jù)全等三角形的性質、四邊形內角和為解答．
【詳解】（1）證明：，
∴，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）證明：延長至點，使，連接，如圖2，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，，
在和中，
，
；
（3）解：如圖3，．
理由如下：在延長線上找一點，使得，連接，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
21．
【分析】本題考查直角三角形的性質，對頂角的性質，根據(jù)已知結合對頂角相等，利用直角三角形兩銳角互余即可得出結論．
【詳解】解：，
，
，
．
22．(1)
(2)（1）中的結論成立，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質；
（1）證明得，由此即可得出、、的數(shù)量關系；
（2）同（1）證得，進而得，據(jù)此即可得出結論；
（3）過點作，交的延長線于點，由等腰直角三角形，得到，根據(jù)同角的余角相等得到，再根據(jù)和得到，即可證明，得到，再由，得到，即可證明得到，據(jù)此即可得出結論．
【詳解】（1）解：、、的數(shù)量關系為：，理由如下：
如圖1所示：
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）解：（1）中的結論成立，證明如下：
如圖2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：證明：過點作，交的延長線于點，如圖3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點是的中點．
23．見解析
【分析】本題考查三角形的內角和定理，互余關系，結合等量代換，得到，進而求出，進而推出，即可得出結果．
【詳解】證明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
即是直角三角形．
24．證明見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，先證明，則，然后通過“”即可求證，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】證明：連接，如圖，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
，
∴．
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