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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
12.8尺規(guī)作圖
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在四邊形中，，連接．若平分，P是邊上一動點，則長的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，的平分線交于點，過點作，垂足為，若，，則的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如圖，在中，，平分，，的面積為，則的值為（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
5．如圖，，和分別平分和，過點，且與互相垂直，點為線段上一動點，連接．若，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，尺規(guī)作，作圖痕跡中弧是（ ）
A．以點F為圓心，以長為半徑的弧 B．以點F為圓心，以長為半徑的弧
C．以點G為圓心，以長為半徑的弧 D．以點G為圓心，以長為半徑的弧
7．到三角形三個頂點的距離相等的點是（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點
C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點
8．已知，將兩個完全一樣的三角板按如圖所示的方式擺放，它們的一組對應(yīng)直角邊分別在AB，AC上，且另一組對應(yīng)邊所對的頂點重合于點M，則點M一定在（ ）
A．的平分線上 B．AC邊的高上 C．BC邊的中線上 D．AB邊的中線上
9．如圖，在中，的平分線交于點O，連接，過點O作，的面積是16，周長是8，則的長是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．用尺規(guī)作已知角的角平分線，其根據(jù)是構(gòu)造兩個三角形全等，它所用到識別全等三角形的方法是（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據(jù)是（ ）
A．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到角的兩邊距離相等
C．角平分線的定義
D．角平分線是對稱軸
12．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
二、填空題
13．如圖，在中，，，，，是的平分線，，垂足為，則的周長為 ．
14．如圖，在中，平分于點E，點F為的中點，連結(jié)．給出下面五個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)點E是線段的中點時，；⑤當(dāng)時，．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有 ．
15．如圖，在中，，點D在上，于點E，且．若，則的度數(shù)為 ．
16．如圖，點P在內(nèi)部，于點于點，當(dāng) 時，點P在的平分線上．
17．如圖，在中，，，，是邊上的高，將沿方向平移至，若與交于點，且，則的長為 ．
三、解答題
18．如圖，已知，利用尺規(guī)，在的左側(cè)作，并說明作圖依據(jù)．（保留作圖痕跡，不寫作法）
19．如圖，在中，，，，分別為，的垂直平分線，，分別為垂足．
(1)求的度數(shù)；
(2)若的周長為，求的長．
20．已知：中，，
(1)請你用尺規(guī)作的垂直平分線，作的角平分線．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)與、、分別交于點D、E、F，求的度數(shù)．
21．探索新知：如圖①，是的角平分線，與之間有怎樣的關(guān)系呢？過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)，過點A作，垂足為H．
平分
，
即．
新知應(yīng)用：
(1)如圖②，是的角平分線，若，則_________；
(2)如圖②，是的角平分線，若，則_________；
(3)如圖③，平分，平分，若，，則_________（用含m的式子表示）．
22．如圖，于E，于F，若，平分．
(1)求證：；
(2)已知，，，求四邊形的面積．
23．如圖，已知．利用直尺和圓規(guī)作，使，（點D與點C在的不同側(cè)）．
24．如圖，已知線段a，b和，求作，使．
《12.8尺規(guī)作圖》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C D D A D D
題號 11 12
答案 A A
1．A
【分析】本題考查角平分線，熟練掌握角平分線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
過D作于E，即為 長的最小值，由平分，即得到的長度．
【詳解】解：如圖，過D作于E，
則長即為 長的最小值，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故選：A．
2．D
【分析】本題考查作圖-基本作圖，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得出結(jié)論．根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知：是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵由作圖可知：是的垂直平分線，
∴，，，
∴，故D選項符合題意；
根據(jù)已知無法確定A、B、C項；
故選：D．
3．B
【分析】利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，先求出的長度，再得出的長度．本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在中，，是的平分線，
．
又，
故選：B ．
4．C
【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，過D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，然后利用三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：過D作于E，
∵平分，，，
∴，
∵的面積為，
∴，
解得，
故選：C．
5．C
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂線段最短，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線，找到最短線段，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
過點E作于P，此時的值最小，得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，求出的長即可．
【詳解】解：過點E作于P，此時的值最小，
∵，，
∴，
∵和分別平分和，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是4，
故選：C．
6．D
【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角，根據(jù)尺規(guī)作角的方法，得到弧是以點G為圓心，以長為半徑的弧，作答即可．
【詳解】解：由作圖可知：弧是以點G為圓心，以長為半徑的??；
故選D．
7．D
【分析】根據(jù)三角形不同線段交點的性質(zhì)，判斷出到三個頂點距離相等的點的位置．本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
三角形三邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等
選項A三條角平分線的交點是內(nèi)心，到三邊的距離相等，A項錯誤；
選項B三邊中線的交點是重心，與到頂點距離無關(guān)，B項錯誤；
選項C三邊上高所在直線的交點是垂心，C項錯誤；
到三角形三個頂點的距離相等的點是三邊的垂直平分線的交點，D項正確；
故選：D．
8．A
【分析】本題主要考查了角平分線的判定定理，能熟練地利用角平分線的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)角平分線的判定定理“在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”可推出在的平分線上，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，
，
點在的平分線上．
故選：A
9．D
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)．過點O作于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再由以及的周長是8，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點O作于點F，
∵分別為的角平分線，，，
∴，
∴，
∵的面積是16，
∴，
∴，
∴，
∵的周長是8，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
10．D
【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意作出圖形，再連接，，根據(jù)證明，即可推出本題的答案．
【詳解】解：連接，，
∵，， ，
∴，
∴，
故選：D．
11．A
【分析】本題主要考查了角平分線的判定．根據(jù)角平分線的判定定理解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：點P到的兩邊距離相等，
∴點P在的平分線上（角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上），
即平分．
故選：A
12．A
【分析】根據(jù)基本作圖，同圓的半徑相等，可以判定是根據(jù)，解答即可．
本題考查了基本作圖，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)基本作圖，得到判定二角相等的依據(jù)是，
故選：A．
13．
【分析】本題考查了三角形全等的判定和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”是解題的關(guān)鍵.
首先根據(jù)三角形全等的判定定理得到，然后根據(jù)三角形全等得出、，即可求得的長，則可知的周長.
【詳解】解：是的平分線
是公共邊
在和中
的周長為：
故答案為： ．
14．②③⑤
【分析】①在中，，平分、雖然，但僅根據(jù)現(xiàn)有條件不能得出點D是中點，所以，結(jié)論①錯誤；②由三角形外角的定義和性質(zhì)可判定結(jié)論②正確．
判斷結(jié)論③，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可判斷結(jié)論③正確，根據(jù)角平分線的有關(guān)計算即可判定④錯誤，根據(jù)角的和差關(guān)系即可判定⑤正確．
【詳解】解：在中，，平分、
∴，
∵點D不是中點，
∴，故①錯誤，不符合題意；
∵是的一個外角，
∴；
∵于點E，
∴，
∴，即，故②正確，符合題意；
∵點F是的中點，
∴，
∴；故③正確，符合題意；
∵于點E，當(dāng)點E是線段的中點時，則是的垂直平分線，
∴，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴
∴，故④錯誤，不符合題意∶
當(dāng)時，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．故⑤正確，符合題意，
故答案為∶②③⑤．
【點睛】本題主要運用角平分線的定義、三角形外角定理、中點的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理來判斷各個結(jié)論的正確性．掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】本題主要考查了角平分線的判定定理以及三角形內(nèi)角和定理，能判斷出是的平分線是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)角平分線的判定定理得出是的平分線，設(shè)則，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，解方程即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：，且．
是的平分線，
，
設(shè)則
在中，由三角形內(nèi)角和定理可得，
即
解得，即
故答案為：.
16．5
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等即可解答．
【詳解】解：∵點P在的平分線上，于點于點，
∴．
故答案為5．
17．3
【分析】本題考查平移的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．連接，由平移的性質(zhì)得到，，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理推出平分，由平行線的性質(zhì)和角平分線定義推出，得到，因此．
【詳解】解：連接，
由平移的性質(zhì)得到，，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：3．
18．圖見解析，作圖依據(jù)：三條邊分別相等的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)角相等
【分析】此題考查了尺規(guī)作一個角等于已知角，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作一個角等于已知角的步驟．根據(jù)尺規(guī)作一個角等于已知角的方法求解即可．
【詳解】解：作圖如答圖所示，連接，
由作圖得，，
∴
∴．
∴作圖依據(jù)：三條邊分別相等的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)角相等．
19．(1)；
(2)．
【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，根據(jù)即可求出結(jié)果；
根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得：，，根據(jù)三角形的周長公式可得．
【詳解】（1）解：，，
，
，分別為，的垂直平分線，
，，
，，
；
（2）解：，分別為，的垂直平分線，
，，
的周長為，
．
20．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查作圖—復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，理解題意、靈活運用所學(xué)知識解決問題成為解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)線段垂直平分線、角平分線的作圖方法作圖即可．
（2）由題意得，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則可得．
【詳解】（1）解：如圖，、即為所求．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵垂直平分，，
∴．
∵是的一個外角，
∴．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查角平分線性質(zhì)（角平分線分對邊的比等于鄰邊比、角平分線關(guān)聯(lián)三角形面積比與鄰邊比），解題關(guān)鍵是運用探索新知得出的角平分線性質(zhì)，建立邊與面積的比例關(guān)系．
（1）依據(jù)探索新知結(jié)論，代入、得；設(shè)、，由，推出．
（2）根據(jù)探索新知中，結(jié)合已知，直接得．
（3）用平分的性質(zhì)，結(jié)合，及，算；同理，由平分，結(jié)合，算．連接，因點到三邊距離相等，結(jié)合，得，算出
由，代入計算得結(jié)果．
【詳解】（1）解：過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)，過點A作，垂足為H
由探索新知，是的角平分線時，
，
∵，，
∴．
設(shè)，，
∴，
∴．
（2）解：過點D作，垂足分別為E，F(xiàn)，過點A作，垂足為H
由探索新知可知，對于，是角平分線時：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案為；
（3）∵平分，
∴點D到，的距離相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
連接，過點F作,，分別垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴點F到，，三邊的距離相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案為．
22．(1)見解析
(2)128
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定：
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再由直角三角形全等的判定和性質(zhì)即可證明；
（2）先求出，，再由全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，則，即可得到．
【詳解】（1）證明：∵，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．見解析
【分析】此題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．
以點B為圓心，為半徑畫弧，以點A為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，則即為所求．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
由作圖得，，
又∵
∴
∴，．
24．見解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作三角形；
先作，然后在上截取，在上截取，連接，即可得到．
【詳解】解：如圖，即為所求．
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