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12.10軸對稱和軸對稱圖形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，等邊中，是邊上的中線，且，，分別是，上的動點，則的最小值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
2．下列圖形中不是軸對形圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在銳角三角形中，，的面積為18，平分，若E，F分別是，上的動點，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如圖，在中，，，點、在邊、上，沿向內折疊得到，則圖中等于（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，點在上，，，將沿著翻折得到，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，點D，E分別在邊，上，將沿直線翻折，使點A落在點F處．關于結論Ⅰ、Ⅱ，下列判斷正確的是（　?。?br/>結論Ⅰ：如圖，當點F落在邊上，且時，；
結論Ⅱ：若是以為腰的等腰三角形，則或．
A．只有結論Ⅰ正確 B．只有結論Ⅱ正確 C．結論Ⅰ、Ⅱ都正確 D．結論Ⅰ、Ⅱ都不正確
7．小林同學在照鏡子的時候發現自己的學號牌在鏡子中的數字顯示為如下圖案，請問他的學號應該是（ ）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
8．如圖，直線是四邊形的對稱軸，P是直線上的點，下列判斷錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
9．第十五屆全運會將于2025年11月9日至21日舉行，由廣東、香港、澳門三地共同舉辦．體育精神就是健康向上、不懈奮斗的精神，下列關于體育運動的圖標中是軸對稱圖形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
10．有下列說法正確的有（　　）
（1）點P到線段兩個端點距離相等，且點P在直線l上，則直線l是該線段的垂直平分線；
（2）兩個成軸對稱的圖形的對稱點一定在對稱軸的兩側；
（3）到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的角平分線上．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
11．如圖，在中，，是邊上的點，將沿直線折疊，點的對應點恰好落在邊上．若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
12．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，若，則為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．下列說法：①大于的角就是鈍角；②任何兩個等底、等高的三角形都能拼成一個平行四邊形；③鐘面上點整，時針和分針形成角；④正方形有四條對稱軸．其中正確的說法是 （填序號）．
14．如圖，在等腰三角形中，平分，且，若、分別是、上的動點，則的最小值為 ．
15．如圖所示的是紙飛機的示意圖，在折疊的過程中，使得和能夠重合，和重合，則下列結論：①，②，③，④．其中正確的有 （填序號）．
16．如圖所示的棋盤有4顆棋子，只移動其中的一顆棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的對角線移動，棋子不能重疊），移動后的所有棋子所組成的圖形是軸對稱圖形，則有 種不同的移法．
17．如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．，是箏形的對角線．請你通過探究判斷下列結論正確的是 （填序號）．
①；②；③平分；④箏形是軸對稱圖形，其對稱軸為對角線．
三、解答題
18．如圖，網格中的與為軸對稱圖形．
(1)利用網格線作出與的對稱軸l；
(2)如果每一個小正方形的邊長為1，請直接寫出的面積________；
(3)在網格中畫出以為一邊且與全等（不與重合）的．
19．折紙是一門古老而有趣的藝術，小明在課余時間進行了關于折紙中角的問題的探索．
(1)如圖①，四邊形紙片中，，E是線段上一點，將紙片沿折疊，點C的對應點為點．
（Ⅰ）【問題解決】在圖①中寫出一對相等的角：___________；
（Ⅱ）【初步探究】測得，求和的度數；
(2)【深入探究】如圖②，小明將紙片換成一張長方形紙片，點E，F分別是線段上的點，他先將紙片沿折疊，點A，B的對應點分別為點，與線段交于點G，H是線段上一點，再將紙片沿折疊，點D的對應點為點，使得點恰好在上，測得，試求的度數．
20．如圖，點在的內部，點和點關于直線對稱，點關于直線的對稱點是點，連接交于點，交于點．
(1)若，求的度數；
(2)若，的周長為_________．
21．作圖題：
(1)在如圖所示的正方形網格中，畫出2個不同的格點，使得與成軸對稱；
(2)尺規作圖，保留作圖痕跡：在中，如右圖，，請用尺規在邊上作一點（點不與點重合），使的三個內角分別為，，．
22．折紙中的數學
【知識背景】我們在第五章《圖形的軸對稱》中學習了角的平分線，并會用折紙的方法作角平分線．
如圖，將紙片折疊使與重合，得到折痕，此時與重合，即，所以射線是的平分線．
【知識初探】
（1）如圖1．小明發現通過折紙的方法可以得到兩條互相垂直的線段（長方形自有的直角的兩邊除外），他的做法是指長方形紙片分別沿射線，折疊成如圖所示的樣子，此時點B，C，D分別落在點，，處，且和在同一條直線上，這樣就得到了兩條相互垂直的線段，請你寫出這兩條互相垂直的線段，并說明理由；
【類比再探】
（2）如圖2，在四邊形的紙片中，，，，連接，小亮將四邊形的紙片進行折疊，首先折出了的角平分線，又將沿折疊，點的對應點恰好落在射線上，求線段的長度．
23．正方形綠化場地擬種植某種花卉，要求種植的花卉組成的場地圖形能組成軸對稱圖形或中心對稱圖形．下面是三種不同的設計方案．
(1)請補全圖①②，使它們既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并畫出一條對稱軸．
(2)把圖③補成中心對稱圖形，并標上對稱中心點P．
24．如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，周長的最小值是，則多少度？
《12.10軸對稱和軸對稱圖形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A B A B C A
題號 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本題考查了等邊三角形的性質、軸對稱的性質、垂線段的性質，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質是本題的關鍵．
要求的最小值，需考慮通過作輔助線轉化，的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】解：如圖，作點E關于的對稱點F，連接，
∵是等邊三角形，是邊上的中線，
∴，
∴是的垂直平分線，
∴就是的最小值，
∵直線外一點與直線上各個點的連線中，垂線段最短，
∴時，最小，
∵是等邊三角形，
∴是的中線，
∴，
即的最小值為8，故C正確．
故選：C．
2．C
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據此進行判斷即可．本題考查軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
【詳解】解：A，B，D是軸對稱圖形，C不是軸對形圖形，
故選：
3．B
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題．過點C作于點P，交于點E，過點E作于F，則即為的最小值，再根據三角形的面積公式求出的長，即為的最小值．
【詳解】解：過點C作于點P，交于點E，過點E作于F，
∵平分，，，
∴，
∴，此時取最小值．
∵的面積為18，，
∴，
∴．
即的最小值為6，
故選：B．
4．C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，折疊的性質，由三角形內角和定理計算得出，由折疊的性質可得，，從而得出，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵沿向內折疊得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．
5．A
【分析】此題考查了三角形外角的性質，等腰三角形的性質，軸對稱的性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，還應理解翻折的性質．證明，利用三角形外角性質求出的度數，即可得到的度數，由翻折得，由此根據得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，
∴，
故選：A．
6．B
【分析】本題考查翻折變換的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理；
由折疊可得，， 根據垂直得， 則， 即可得到， 可判斷結論Ⅰ錯誤；分兩種情況：若， 則， 根據三角形的內角和求出的度數； 若， 則， 根據三角形的內角和求出的度數，可判斷結論Ⅱ正確，解答即可．
【詳解】解：∵，，將沿直線翻折，點A落在點F處，
∴，，，
∵點F落在邊上，且，
∴，
∴，
∴，
故結論Ⅰ錯誤；
若是以為腰的等腰三角形，且，則，
∴，
∴；
若是以為腰的等腰三角形，且，則，
∴，
∴，
∴或，
故結論Ⅱ正確，
故B符合題意，而A、C、D都不符合題意，
故選：B．
7．A
【分析】本題考查了軸對稱的性質，掌握在平面鏡中的像與現實中的事物恰好順序顛倒成為解題的關鍵．
直接根據鏡面對稱的性質求解即可．
【詳解】解：根據鏡面對稱性質，數字在鏡中左右相反且部分數字會對稱轉換，故他的學號為70625．
故選：A．
8．B
【分析】本題考查了軸對稱的性質，根據直線是四邊形的對稱軸，得到點A與點B對應，根據軸對稱的性質即可得到結論．
【詳解】解：∵直線是四邊形的對稱軸，
∴點A與點B對應，
∴，，，
∵點P是直線上的點，
∴，，
∴A，C，D正確，B錯誤，
故選：B．
9．C
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故A不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故B不符合題意；
C．是軸對稱圖形，故C符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故D不符合題意．
故選：C．
10．A
【分析】本題考查了角平分線的判定，軸對稱圖形的性質，垂直平分線的判定，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．根據垂直平分線的判定，軸對稱圖形的性質，角平分線的判定等知識內容進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：（1）點P到線段兩個端點距離相等，且點P在直線l上，這樣的直線l有很多，則直線l不一定是該線段的垂直平分線，故原說法錯誤；
（2）軸對稱圖形的對稱點不一定在對稱軸的兩側，也可能在對稱軸上，故原說法錯誤；
（3）在角的內部到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上，原說法錯誤．
∴說法正確的有0個．
故選：A
11．C
【分析】此題考查了折疊的性質、三角形內角和定理、等邊對等角等知識．根據三角形內角和定理求出，由折疊得到，根據三角形外角的性質即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵將沿直線折疊，點的對應點恰好落在邊上．
∴，
∴
故選：C
12．C
【分析】本題考查折疊的性質．
根據、為折痕，可知、分別為的角平分線，由此即可求解．
【詳解】解：∵、為折痕，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
13．③④
【分析】本題考查了角的定義，全等三角形的判定，鐘面角和正方形的性質，根據角的定義、全等三角形的判定、鐘面角的運算和正方形的性質逐項判斷即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：①大于且小于的角是鈍角，該選項說法錯誤；
②兩個等底、等高的三角形不一定全等，故不一定能拼成一個平行四邊形，該選項說法錯誤；
③鐘面上點整，時針和分針形成角，該選項說法正確；
④正方形有四條對稱軸，該選項說法正確；
綜上，正確的說法是③④，
故答案為：③④．
14．
【分析】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質．過點A作于點H，根據題意求得，得到是等腰三角形的中線，得到，根據，當共線時，有最小值，得到，根據等面積法求出的長．
【詳解】解：過點A作于點H，
∵，平分，
∴，
∴，
∵是等腰三角形的中線，
∴點C關于的對稱為點A，
∴，
∵，
∴當共線時，有最小值，
∴，
∵，
∴，
∴則的最小值為，
故答案為：．
15．①②④
【分析】由折疊得，根據全等三角形性質判斷①②③，進而推出，由此判斷④，即可求得答案．
本題考查的是翻折變換、全等三角形的判定與性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
【詳解】解：由折疊得，
∴，，，
∴，，，
故結論①正確，②正確，結論③錯誤；
又∵，即，
故結論④正確，
綜上所述，正確的有①②④，
故答案為①②④．
16．4
【分析】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的特征是解題的關鍵．
根據軸對稱圖形的特征畫出所有可能結果即可解答．
【詳解】解：如圖：有4種不同的移法．
故答案為：4．
17．①③/③①
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，箏形的對稱性，解決本題的關鍵是判斷出．用直接判斷出，逐個分析選項，即可得出結論．
【詳解】解：在和中，，
，
，，，
平分．
箏形是軸對稱圖形，其對稱軸為對角線所在直線，
與不一定相等，
①③正確，
故答案為：①③．
18．(1)見解析
(2)3
(3)見解析
【分析】本題考查作圖-軸對稱變換、全等三角形的判定，熟練掌握軸對稱的性質、全等三角形的判定是解答本題的關鍵．
（1）結合軸對稱的性質，連接，作線段的垂直平分線l，則直線l即為所求．
（2）利用割補法求三角形的面積即可．
（3）根據全等三角形的判定作圖即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，作線段的垂直平分線l，
則直線l即為所求．
（2）的面積為．
故答案為：3．
（3）如圖，即為所求．
19．(1)（Ⅰ），（Ⅱ），
(2)
【分析】（1）（Ⅰ）直接根據折疊的性質，得到即可；
（Ⅱ）由平行的性質可求出，由折疊的性質可知：，，，即可求出，由三角形內角和求出，即可求出．
（2）由折疊的性質可知∶ ，，，，， ，又由平行的性質可知，，進而可求出，由三角形內角和求出， 由對頂角相等得出，進一步即可求出．
【詳解】（1）解：（1）（Ⅰ）由折疊的性質可知：，
故答案為：（答案不唯一）；
②∵，
∴，
∵，
∴，
由折疊的性質可知：，，，
∴．，
∴，
∴．
（2）由折疊的性質可知∶ ，，，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了平行的性質，折疊的性質，對頂角相等以及三角形內角和定理，掌握這些性質是解題的關鍵．
20．(1)
(2)4
【分析】本題考查軸對稱的性質與運用，熟知軸對稱的性質是解題關鍵．
（1）根據軸對稱的性質，可知，，可以求出；
（2）根據軸對稱的性質，可知，，根據周長定義可以求出的周長．
【詳解】（1）解：點和點關于對稱，
，
點關于對稱點是，
，
∵，
；
（2）解：點和點關于對稱，
，
點關于對稱點是，
，
，
，
，
即的周長為4．
故答案為：4
21．(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
【分析】本題考查復雜作圖-作對稱圖形、作角平分線，熟記對稱性質及基本尺規作圖-作角平分線的方法步驟是解決問題的關鍵．
（1）根據對稱性作圖即可得到答案；
（2）由題意分析，尺規作的角平分線即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖所示：
以上任選2個圖即可滿足題意；
（2）解：在中，如右圖，，
作的角平分線即可，
如圖所示：
點即為所求．
22．（1），理由見解析（2）10
【分析】本題考查折疊的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握折疊的性質，添加輔助線構造全等三角形，是解題的關鍵：
（1）根據折疊的性質和平角的定義，推出，即可得出結論；
（2）延長交于點，根據翻折的性質，角平分線的定義，推出，進而得到，推出，再證明，得到，即可得出結果．
【詳解】解：（1），理由如下：
∵折疊，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
（2）延長交于點，如圖，
∵翻折，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．(1)
見解析
(2)
見解析
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義將圖形補全即可．
本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，深刻理解軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．
【小題1】解：（1）如圖①②所示（答案不唯一）．
【小題2】解：如圖③所示．
24．
【分析】本題主要考查最短路線問題，分別作點P關于、的對稱點C、D，連接，分別交、于點M、N，連接、、、、，根據軸對稱的性質得到證明是等邊三角形，即可得到結論．
【詳解】解：分別作點P關于、的對稱點C、D，連接，分別交、于點M、N，連接、、、、，如圖所示：
∵點關于的對稱點為D，
∴，，，
∵點關于的對稱點為，
∴，，，
∴，，
∵周長的最小值是，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
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