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中小學教育資源及組卷應用平臺
12.11勾股定理
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在中，．將沿翻折，使點與點重合，則的長是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，則的長是（　　）
A．17 B．或13 C．17或 D．13或17
3．如圖，將直角三角形紙片沿折疊，使點落在延長線上的點處．若，，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖是一個底面周長為，高為的圓柱模型，是底面直徑．現要在此模型的側面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經過A，C兩點（接頭不計），則裝飾帶的長度最短為（ ）
A． B． C． D．
5．在中，斜邊，則的值是（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
6．兩直角邊長分別為和的直角三角形的斜邊長是（ ）
A．整數 B．分數 C．有理數 D．無理數
7．下列給出的四組數中，是勾股數的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，，
8．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺處長著一朵紅蓮，一陣風吹來把荷花吹倒在一邊，紅蓮倒在水面位置距荷花生長處水平距離為2尺，則池塘深（ ）
A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺
9．如圖是一扇高為，寬為的門框，童師傅有3塊薄木板，尺寸如下：①長3，寬；②長，寬；③長，寬．可以通過的木板是（ ）
A．② B．③ C．②③ D．都不能通過
10．如圖，一根筷子放在圓柱形水杯里，水杯底面直徑為，高度為，筷子長為，露在水杯外面的筷子長度為，則a最小為（ ）
A．12 B．11 C．14 D．13
11．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為15和8，則斜邊的長為（ ）
A．23 B．17 C．18 D．19
12．包裝紙箱是我們生活中常見的物品．如圖①，創意小組的同學將一個的長方體紙箱裁去一部分（虛線為裁剪線），得到如圖②所示的簡易書架．若一只蜘蛛從該書架的頂點出發，沿書架內壁爬行到頂點，則它爬行的最短距離為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．小南同學報名參加了攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側面，如圖所示，則從點A攀爬到點B的最短距離的平方是 ．
14．如圖，在四邊形草坪中，．若，，，則這塊草坪的面積為 ．
15．在一次研學活動中，小宣同學欲控制遙控輪船勻速垂直橫渡一條河，但由于水流的影響，實際上岸地點C與欲到達地點B相距8米，結果輪船在水中實際航行的路程比河的寬度多2米，則河的寬度是 米．
16．如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊．已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為4米的正方形，一只螞蟻從點爬過木塊到達處需要走的最短路程是 米．
17．“數缺形不直觀，形缺數不入微”，數形結合思想是數學學習中的一個重要的數學思想，請仔細觀察下面幾幅圖形并回答后面的問題：
①由圖形 可知；勾股定理成立；
②由圖形 可知；完全平方公式成立；
③由圖形 可知；平方差公式成立；
④由圖形 可知；公式成立．
三、解答題
18．如圖，中，，直線垂直平分，交于點，交于點，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的周長．
19．如圖，一個25米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時為24米．如果梯子的頂端A沿墻下滑了4米，那么此時梯子的底部B到墻的距離為多少米？
20．推理能力 如圖，在中，．若，如圖①，根據勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如圖②、圖③所示的銳角三角形和鈍角三角形．
(1)請你類比勾股定理，猜想與的關系：圖②中，______；圖③中，______．
(2)說明你在（1）中猜想結論的正確性．
(3)在圖②中，若，請你求出的面積．
21．如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，點B與點C之間的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，求該螞蟻需要爬行的最短路程．
22．小明要外出旅游，他帶的行李箱長，寬，高，一把長的雨傘能否裝進這個行李箱？
23．如圖，已知四個全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．試說明：．
24．如圖所示，，請你添加適當的輔助線證明結論．
《12.11勾股定理》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B D D A B A
題號 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本題考查了直角三角形的性質、勾股定理以及圖形折疊的性質等知識點，解題的關鍵在于利用折疊性質確定線段相等關系，并結合勾股定理建立方程求解未知數，通過設，利用和勾股定理構建等式，進而解得．
【詳解】解： 設，
，
，
沿翻折，點A與點B重合，
，
在中，，，
，即，
解得．
故選：B．
2．C
【分析】本題考查勾股定理，分和，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：在中，，，
若，則，
若，則；
綜上，的長是17或．
故選：C．
3．B
【分析】此題考查了折疊的性質，勾股定理．由勾股定理求出，設，則，根據求出x得到的長，利用三角形面積公式求出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
由折疊得，，
設，則，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴圖中陰影部分的面積是，
故選：B．
4．D
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練運用勾股定理是解題關鍵．將圓柱的側面展開，根據題意可知，，利用勾股定理解得的長度，然后計算裝飾帶長度的最短值即可．
【詳解】解：如圖，圓柱的側面展開圖為長方形，，且點為的中點，，
根據題意，可知，，
∴，
∴裝飾帶長度的最短值．
故選：D
5．B
【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
先畫圖，再利用勾股定理可求的值，從而求的值．
【詳解】解：如圖所示，

在中，，
又，
，
，
故選：B．
6．D
【分析】本題考查了勾股定理以及無理數的概念，根據勾股定理求出斜邊即可得到結論．
【詳解】解：由勾股定理得，斜邊長為，
∴該直角三角形的斜邊長是無理數．
故選：D．
7．D
【分析】本題考查了勾股數的定義，準確理解其定義是解題的關鍵．
根據勾股數的定義，需滿足三個正整數且滿足（為最大數）．
【詳解】解：A：，，不滿足勾股數的定義，故該選項不合題意；
B：三個數必須為正整數，不符合要求，故該選項不合題意；
C：，，均為小數，非正整數，不滿足勾股數的定義，故該選項不合題意；
D：，，滿足勾股數的定義，故該選項符合題意．
故選：D．
8．A
【分析】本題主要考查的是勾股定理的應用，設水深為x尺，則荷花莖長為尺，根據題意，利用勾股定理列方程解答即可．
【詳解】設池塘深為尺，
則，
解得，
故選：A．
9．B
【分析】本題考查的是勾股定理的應用，根據勾股定理，先計算出能通過的最大距離，然后和題中數據相比較即可．
【詳解】解：因為，所以木板的長和寬中必須有一個數據小于2.5米．所以選③號木板．
故選：B．
10．A
【分析】要使露在水杯外面的筷子長度最小，那么筷子在水杯內的長度應最長，此時筷子在水杯內的長度可看作是底面直徑與高構成的直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出此斜邊長度，再用筷子總長度減去該長度即可得到的最小值．
【詳解】解：根據勾股定理（其中為直角三角形斜邊，、為兩直角邊），
水杯底面直徑，高度，
筷子在水杯內的最長長度，
筷子長，
露在水杯外面的筷子長度為．
故選：A．
【點睛】本題主要考查勾股定理的實際應用，關鍵是理解當筷子在水杯內長度最長時（即構成直角三角形斜邊時），露在外面的長度最小．
11．B
【分析】本題主要考查了勾股定理．根據勾股定理即可求解．
【詳解】解：根據勾股定理得：
斜邊長為．
故選：B
12．A
【分析】本題考查了勾股定理的應用最短線段問題，把書架的側面展開，連接，則的長即爬行的最短距離，連接，交于點，求出的長，再利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖是書架的側面展開圖，連接，則的長即爬行的最短距離，連接，交于點，
，，
∴在中，，
∴蜘蛛爬行的最短距離為，
故選：．
13．128
【分析】本題考查了立體圖形側面展開圖的應用以及勾股定理的計算，解題的關鍵是將長方體側面展開為平面矩形，把空間中兩點的最短距離問題轉化為平面上兩點間的最短距離（即矩形對角線）問題，再利用勾股定理求解．
明確長方體側面展平后形成長為、寬為的矩形，點A與點B為該矩形的對角頂點；根據平面內兩點間最短距離為矩形對角線，利用勾股定理計算對角線的平方．
【詳解】解：由題意可知，長方體側面展平后得到一個矩形，該矩形的長為寬為點A與點B是這個矩形對角的兩個頂點．
根據平面內兩點之間的最短距離是連接這兩點的線段（即矩形的對角線），由勾股定理可得，從點A攀爬到點B的最短距離的平方等于矩形長的平方與寬的平方之和．
即最短距離的平方為．
故答案為：．
14．234
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，以及直角三角形面積的計算．熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據四邊形面積的構成，將其分割為兩個直角三角形，分別計算兩個直角三角形的面積，再將二者相加得到四邊形的面積．由于，所以可連接，把四邊形分成和，先通過勾股定理求出的長度，最后分別計算兩個三角形面積并求和．
【詳解】解：連接．
在中，，，．
∴．
∵在中，，，
．
∴．
．
∴．
故答案為：．
15．15
【分析】本題考查了勾股定理的應用，根據題意可知為直角三角形，根據勾股定理列方程就可求出直角邊的長度．
【詳解】解：根據題意可知米，
設，則，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
該河的寬度為15米．
故答案為：15．
16．17
【分析】本題考查了平面展開最短路線問題，兩點之間線段最短，將木塊表面展開，根據兩點之間線段最短結合勾股定理即可求解，熟練掌握勾股定理得應用是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，將木塊展開，即為所求，
則（米，米，
在中，（米．
最短路徑為17米．
故答案為：17．
17．
【分析】本題考查了乘法公式與圖形面積、勾股定理等知識，熟練掌握數形結合思想是解題關鍵．圖形：方法一：利用正方形的面積公式求出大正方形的面積；方法二：大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個小長方形的面積之和，由此即可得；圖形：方法一：利用長方形的面積公式可得四個小長方形的面積；方法二：四個小長方形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，由此即可得；圖形：方法一：利用梯形的面積公式可得兩個直角梯形的面積；方法二：兩個直角梯形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，由此即可得；圖形：方法一：利用正方形的面積公式求出中間小正方形的面積；方法二：中間小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個小直角三角形的面積，由此即可得．
【詳解】解：圖形：方法一：大正方形的面積為，
方法二：大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個小長方形的面積之和，
則大正方形的面積為，
所以完全平方公式成立；
圖形：方法一：四個小長方形的面積為，
方法二：四個小長方形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，
則四個小長方形的面積為，
所以公式成立；
圖形：方法一：兩個直角梯形的面積為，
方法二：兩個直角梯形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，
則兩個直角梯形的面積為，
所以平方差公式成立；
圖形：方法一：中間小正方形的面積為，
方法二：中間小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個小直角三角形的面積，
則中間小正方形的面積為，
所以勾股定理成立；
故答案為：①；②；③；④．
18．(1)見解析
(2)37
【分析】本題考查了垂直平分線的性質、等腰三角形的性質與判定以及勾股定理的綜合應用．解題的關鍵是利用垂直平分線得到線段相等，進而轉化為角的關系，再結合勾股定理計算線段長度．
（1）利用垂直平分線得，推出，再由得，結合外角性質證．
（2）在中用勾股定理求，再利用，得出，最后計算周長可得結果．
【詳解】（1）證明：垂直平分，
，
（2）解：，
．
在直角三角形中，，，
∵，
的周長．
19．15米
【分析】此題考查了勾股定理的應用．先求出的長度，再根據勾股定理進行計算即可．
【詳解】解：在中，米，
（米），
所以，
所以米，
所以此時梯子的底部B到墻的距離為15米．
20．(1)，
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查勾股定理及應用；
（1）根據題目猜想結論即可；
（2）作邊上的高，垂足為，利用勾股定理解答即可；
（3）設，則，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高長，再根據三角形的面積公式計算解答即可．
【詳解】（1）解：圖②中，；圖③中，，
故答案為：，；
（2）解：如圖①，作邊上的高，垂足為．
設，則在和中，由勾股定理，得，整理，得．
因為，所以．
如圖②，作邊上的高，垂足為．
設，則在和中，
由勾股定理，得，
整理，得．
因為，所以．
（3）解：如圖①，設，則．
同（2）可得，
因為，
所以，解得，
所以，所以，
所以的面積為．
21．5
【分析】本題考查的是勾股定理最短路徑問題，根據題意畫出長方體的側面展開圖，根據勾股定理求解是解答此題的關鍵．
【詳解】解：①把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如答圖①．
長方體的寬為2，高為4，點與點的距離是1，
．
②把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如答圖②．
長方體的寬為2，高為4，點與點的距離是1，
．
③把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如答圖③．
長方體的寬為2，高為4，點與點的距離是1，
．
∴螞蟻爬行的最短路程為5．
22．能裝進行李箱
【分析】本題考查勾股定理的應用，利用勾股定理求出行李箱能裝物體的最大長度，和作比較解答即可．
【詳解】解：如圖，，
，
∴能裝進行李箱．
23．見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理的證明．根據四個全等的直角三角形面積加上小正方形的面積等于大正方形的面積列式，整理后即可得到結論．
【詳解】證明：∵，
整理，得，
∴．
24．見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，涉及到長方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質以及通過作輔助線構造特殊圖形是解題的關鍵．首先作輔助線得到長方形，再證明三角形全等，然后根據長方形面積與幾個三角形和一個等腰直角三角形面積之和相等，列出等式化簡后得出勾股定理結論．
【詳解】證明：如答圖，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，則四邊形是長方形．
，
，，
．
又，
，
，
，
．
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