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第十一章實數和二次根式
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列說法正確的是（ ）
A． B．2的算術平方根是4
C．1的平方根是 D．0沒有平方根
2．若是數a的立方根，是數b的一個平方根，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．估計的值在（ ）
A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間
4．要使代數式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（ ）
A．且 B． C．且 D．
5．下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列化簡正確的有（ ）
①；②；③．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
7．的絕對值是（ ）
A． B． C．2 D．
8．估計代數式的運算結果應在（　　）
A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間
9．4的算術平方根是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知，則代數式的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
11．若二次根式在實數范圍內沒有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．下列四個二次根式： 化為最簡二次根式后，被開方數相同的是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
二、填空題
13．的立方根是 ．
14．觀察下表規律．
a 8 8000 8000000
2 20 200
利用規律解答，若，，則 ．
15．如果一個數的立方根是3，那么這個數是 ．
16．已知，一個非負數的平方根為和，則 ．
17．在數，，3.14，0，2.36，，0.020020002…中，無理數共有 個．
三、解答題
18．把下列各數填入相應的集合內：
，，0，，3.1415，，0.03003000，0.5353353335…（相鄰兩個5之間3的個數逐次加1）．
(1)有理數集合：{ …}．
(2)無理數集合：{ …}．
(3)正實數集合：{ …}．
(4)負實數集合：{ …}．
19．把下列各實數填在相應的集合內：，，，，，，，，．
整數集合：{ …}
負有理數集合：{ …}
無理數集合：{ …}
20．如圖，將兩塊邊長均為的正方形紙板沿對角線剪開，拼成如圖所示的一個大正方形．
(1)求大正方形的面積．
(2)求出大正方形的邊長，并估計大正方形的邊長在哪兩個相鄰的整數之間．
21．已知的平方根為它本身，的算術平方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
22．計算：
(1)．
(2)．
23．已知正數x的平方根是a和．
(1)當時，求a的值；
(2)若，求x的值．
24．先說出下列各式的意義，再計算．
(1)
(2)
(3)
《第十一章實數和二次根式》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D C B C C A
題號 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本題主要考查的是算術平方根和平方根，依據平方根和算術平方根的性質求解即可，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：A. ，原說法錯誤；
B. 2的算術平方根是，原說法錯誤；
C. 1的平方根是，說法正確；
D. 0的平方根是0，原說法錯誤；
故選：C．
2．C
【分析】本題考查立方根，平方根，乘方，根據立方根，平方根求出a，b的值，代入求值即可．
【詳解】解：∵是數a的立方根，是數b的一個平方根，
∴，，
∴．
故選：C．
3．B
【分析】本題考查了估算無理數的大小，要想準確地估算出無理數的取值范圍需要記住一些常用數的平方．根據，即可估計的值．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
即估計的值在2到3之間，
故選：B．
4．A
【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數，分式分母不為零．根據二次根式有意義的條件可得，根據分式有意義的條件可得，即可求解．
【詳解】解：由題意得：，且，
解得：，且．
故選：A．
5．D
【分析】本題考查二次根式的運算，包括加減乘除及乘法公式的應用．需逐一驗證各選項的正確性．
【詳解】解：選項A：中，與不是同類二次根式，無法合并，結果應為，故錯誤．
選項B：，而非，故錯誤．
選項C：利用平方差公式，，結果應為，故錯誤．
選項D：將除法分配至每一項：結果與選項一致，故正確．
故選：D．
6．C
【分析】本題考查化簡二次根式，根據二次根式的性質逐項計算即可得出答案．
【詳解】解：①，化簡正確；
②，化簡過程錯誤；
③，化簡正確；
綜上可知，正確的有2個，
故選C．
7．B
【分析】本題考查實數的絕對值，根據負數的絕對值是它的相反數求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴的絕對值是，
故選：B．
8．C
【分析】本題主要考查二次根式的運算及無理數的估算，將原式變形為，估算出的范圍即可．
【詳解】解：，
，
，
代數式的運算結果應在3到4之間，
故選C．
9．C
【分析】本題考查了求一個數的算術平方根，解題關鍵是理解算術平方根的意義．
根據算術平方根的意義直接求解．
【詳解】解：4的算術平方根是，
故選：C．
10．A
【分析】此題考查了二次根式的運算，熟練掌握完全平方公式，二次根式的運算法則是解題的關鍵．
先把化成，再把代入計算即可．
【詳解】解：，
當時，原式．
故選：A．
11．C
【分析】本題考查了二次根式有意義，根據二次根式有意義，即被開方數為非負數，當二次根式沒有意義，則被開方數為負數，進行分析，即可作答．
【詳解】解：∵二次根式在實數范圍內沒有意義，
∴
∴，
故選：C
12．C
【分析】本題考查的是化簡二次根式，同類二次根式的判斷，掌握定義是解本題的關鍵，先化簡，再根據被開方數相同作判斷即可．
【詳解】解：∵①，②，③，④，
∴②與③是被開方數相同的二次根式．
故選C．
13．/
【分析】本題主要是利用立方根的定義來求解．先明確立方根的概念，即如果一個數的立方等于，那么叫做的立方根．然后找到哪個數的立方等于．本題主要考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵
∴
故答案為：．
14．
【分析】此題考查了立方根，解題的關鍵是根據圖表找到規律，即如果一個數擴大1000倍，它的立方根擴大10倍，如果一個數縮小1000倍，它的立方根縮小10倍．
根據立方根的變化特點和給出的數據進行解答即可．
【詳解】解：根據圖表中的規律得，
，
故答案為：．
15．27
【分析】本題主要考查立方根，熟練掌握立方根的定義是解決本題的關鍵．
根據立方根的定義解決此題．
【詳解】解：由題意得，這個數是，
故答案為：27．
16．
【分析】本題考查了平方根的性值．根據一個非負數的平方根互為相反數，得出，根據絕對值及平方根的性質計算出的值，代入進行計算即可得到答案．
【詳解】解：∵一個非負數的平方根為和，
∴，
∴，
，
故答案為：．
17．2
【分析】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如，，（每兩個8之間依次多1個等形式．
根據無理數的定義判斷即可．
【詳解】解：無理數有：，，共2個，
故答案為：2．
18．(1)有理數集合：．
(2)無理數集合：（相鄰兩個5之間3的個數逐次加1）．
(3)正實數集合：（相鄰兩個5之間3的個數逐次加1）．
(4)負實數集合：．
【分析】本題考查實數的分類，根據實數的分類方法，逐一進行判斷即可．
【詳解】（1）解：有理數集合：
（2）無理數集合：（相鄰兩個5之間3的個數逐次加1）．
（3）正實數集合：（相鄰兩個5之間3的個數逐次加1）．
（4）負實數集合：
19．；；．
【分析】本題考查實數的分類，解題的關鍵在于明確整數（含正整數、負整數、零）、負有理數（負整數和負分數）、無理數（無限不循環小數）的定義，并逐一判斷每個數的屬性．本題根據整數、負有理數、無理數的定義，對給出的實數逐一分類即可．
【詳解】解： 整數集合：；
負有理數集合：；
無理數集合：．
20．(1)大正方形的面積是；
(2)大正方形的邊長是，大正方形的邊長在和之間．
【分析】本題主要考查了算術平方根的應用，有理數加法的應用，無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．
（）由于大正方形是由兩個小正方形所拼成的，易求得大正方形的面積為；
（）根據大正方形的面積可得邊長為，然后利用無理數估算方法即可求解．
【詳解】（1）解：由圖可知，大正方形紙板是由兩個小正方形紙板拼湊而成的，因此大正方形的面積為兩個小正方形的面積之和，
∴大正方形的面積為，
答：大正方形的面積是；
（2）解：由（）可得大正方形的邊長是，
∵，
∴，
∴大正方形的邊長在和之間．
21．(1)
(2)
【分析】本題考查了平方根，算術平方根，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）根據題意，列式得，，再算出，的值，即可作答．
（2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答．
【詳解】（1）解：∵的平方根為它本身，的算術平方根是3．
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
故，
∴的平方根為．
22．(1)
(2)
【分析】本題主要考查了二次根式的運算，熟知運算法則是正確解答此題的關鍵．
（1）先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）先用乘法公式計算，再算加減即可．
【詳解】（1）解：

；
（2）解：
．
23．(1)
(2)
【分析】本題考查了平方根的定義，根據求平方根的方法解方程，正確理解平方根的定義是解題的關鍵．
（1）根據一個正實數的兩個平方根互為相反數，得到，由此即可得到答案；
（2）根據平方根的定義得到，再由已知條件得到，據此求解即可．
【詳解】（1）解：正數x的平方根是a和，
，
當時，，
；
（2）解：正數x的平方根是a和，
，
，
，
即，
，
，
．
24．(1)表示的算術平方根；
(2)表示的平方根；
(3)表示的負的平方根；
【分析】本題考查了求一個數的平方根與算術平方根，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）根據算術平方根的定義解得即可；
（2）根據平方根與的定義解得即可；
（3）根據平方根的定義解得即可．
【詳解】（1）解：表示的算術平方根，．
（2）解：表示的平方根，．
（3）解：表示的負的平方根，．
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