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11.4無理數與實數
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．實數，，，，中，無理數的個數是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列各數中：（3和3之間的0的個數依次增加1個），，無理數有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
3．如圖，面積為3的正方形的頂點在數軸上，點表示的數為，若，則數軸上點所表示的數為（ ）
A． B． C． D．
4．無理數的小數部分可表示為（ ）
A． B． C． D．
5．下列說法中，正確的是（ ）
A．有理數是有限小數 B．無限小數都是無理數
C．無理數可以寫成分數的形式 D．無理數是無限不循環小數
6．在實數3.14，，，中，無理數是（ ）
A．3.14 B． C． D．
7．的絕對值是（ ）
A． B． C．2 D．
8．如圖，數軸上的點A表示的數為2，，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，與數軸交于C，D兩點，點C在點A右側，則點C表示的數是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，數軸的一段被遮擋，下列各點可能被遮蓋的是（ ）
A．表示的點 B．表示的點
C．表示的點 D．表示的點
10．若 ，則，x，的大小關系是（　　）
A． B．
C． D．
11．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
12．小明是一個電腦愛好者，設計了一個程序如圖，當輸入x的值是有理數64時，輸出的y的值是（ ）．
A．8 B． C．2 D．
二、填空題
13．若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
14．實數的相反數為 ．
15．二次根式中的取值范圍是 ．
16．的整數部分是 ．
17．在實數，，0，，，，…相鄰兩個1之間0的個數逐次加中，無理數的個數是 個．
三、解答題
18．把下列各數填在相應的大括號內：
-2.5，0，，，-2，－0.，8，1.121121112…，．
無理數集合：{ …}；
整數集合：{ …}；
負分數集合{ …}．
19．下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？
①，②，③0，④，⑤，⑥（相鄰兩個1之間0的個數逐次增加1）．
20．如圖，把兩個面積均為的小正方形紙片分別沿對角線裁剪后拼成一個大的正方形紙片．
(1)大正方形紙片的邊長為____；
(2)若另找一個與此大正方形大小一樣的正方形紙片，并沿其大正方形紙片邊的方向裁剪出一個長方形紙片，能否使裁剪出的長方形紙片的長、寬之比為，且面積為？若能，求剪出的長方形紙片的長和寬；若不能，試說明理由．
21．已知數，，，3.1416，，0，，…（相鄰兩個4之間2的個數逐次加1）．
(1)寫出所有有理數；
(2)寫出所有無理數．
22．下面是王老師在數學課堂上給同學們出的一道數學題，要求對以下實數進行分類填空：，0，0.3（3無限循環），，18，，，1.21（21無限循環），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理數集合：_____；
（2）無理數集合：_____；
（3）非負整數集合：_____；
王老師評講的時候說，每一個無限循環的小數都屬于有理數，而且都可以化為分數．
比如：0.3（3無限循環）=，那么將1.21（21無限循環）化為分數，則1.21（21無限循環）=_____（填分數）
23．教材中，如圖1，把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就可以得到一個面積為2的大正方形，它的邊長是無理數．由此啟發，我們可以嘗試用兩個同樣大小的長方形拼出一個正方形的方式找出其他無理數的大小．

如圖2，將兩個長和寬分別為3和2的長方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角形拼出了一個中間有一個鏤空小正方形的大正方形．
(1)所得到的小正方形的邊長為______；大正方形的邊長為______．
(2)把圖2中的正方形放在數軸上，如圖3，點C表示的數為1，若正方形從當前狀態沿數軸正方向翻滾，我們把點B翻滾到數軸上的點P時，記為第一次翻滾，點A翻滾到數軸上時，記為第二次翻滾，以此類推．是否存在正整數n．使得該正方形經過n次翻滾后，其頂點A，B，C，D中的某個點與數軸上的2025重合？
24．圖①是由10個邊長均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖的虛線，將它剪開后，重新拼成一個大正方形．
(1)在圖①中，拼成的大正方形的面積為_______，邊的長為_______；
(2)估算正方形的邊長在哪兩個整數之間；
(3)現將圖①水平放置在如圖②所示的數軸上，使得大正方形的頂點B與數軸上表示 的點重合，若以點B為圓心，邊的長為半徑畫圓，與數軸交于點E，求點E 表示的數．
《11.4無理數與實數》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D D B A B C
題號 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本題考查了無理數的識別，熟練掌握無理數的定義是解答本題的關鍵．
根據無理數的定義（無限不循環小數），逐一判斷各數是否為無理數．
【詳解】解：是有理數；是無理數，是有理數，是無理數，是無理數，
無理數的個數有3個，
故選：C．
2．D
【分析】此題主要考查了無理數的定義，無限不循環小數叫做無理數，據此進行判斷即可．
【詳解】解：，，，
∴、、是整數，是分數，是小數，它們不是無理數；
，（3和3之間的0的個數依次增加1個），是無限不循環小數，它們是無理數，一共3個；
故選：D．
3．C
【分析】本題考查了算術平方根的意義，實數與數軸，求得是解題的關鍵．
根據正方形的面積得出正方形的邊長為，從而可得，進而得到點E所表示的數．
【詳解】J解：正方形的面積為3，
正方形的邊長為，
∴，
E點所表示的數為．
故選：C．
4．D
【分析】本題考查無理數的估算，掌握無理數大小判斷和估算是解題關鍵．
判斷的范圍，求出其整數部分，從而可得的整數部分，用減去整數部分即可得到其小數部分．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴無理數的整數部分是6，
小數部分是，
故選：D．
5．D
【分析】本題主要考查了無理數．根據無理數的定義解答即可．
【詳解】A、有理數是整數和分數，故本選項錯誤，不符合題意；
B、無限不循環小數是無理數，故本選項錯誤，不符合題意；
C、無理數不可以寫成分數的形式，故本選項錯誤，不符合題意；
D、無理數是無限不循環小數，故本選項正確，符合題意；
故選：D
6．D
【分析】本題考查了無理數的定義：無限不循環小數是無理數．
根據無理數的定義，判斷各選項是否為無限不循環小數即可．
【詳解】選項A：3.14是有限小數，可化為分數，屬于有理數；
選項B：是分數，屬于有理數；
選項C：，是整數，屬于有理數；
選項D：無法表示為整數或分數，且是無限不循環小數，屬于無理數．
故選：D．
7．B
【分析】本題考查實數的絕對值，根據負數的絕對值是它的相反數求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴的絕對值是，
故選：B．
8．A
【分析】本題考查了實數與數軸，由題意得：，結合點C在點A右側即可求解；
【詳解】解：由題意得：；
∵點C在點A右側，
∴點C表示的數是；
故選：A
9．B
【分析】本題考查了無理數的大小估算，由圖可知，被手掌遮擋住的數在和之間，估算出無理數所在的范圍，即可判斷出被手掌遮擋住的數可能是哪一個．
【詳解】解：A選項：，∴，即在和之間，故A選項不符合題意；
B選項：，∴在和之間，故B選項符合題意；
C選項：，在和之間，故C選項不符合題意；
D選項：，∴在和之間，故D選項不符合題意．
故選：B．
10．C
【分析】本題考查了正數的大小比較．熟練掌握正分數和它的倒數，它的平方數的大小關系，是解題的關鍵．
當 時，得且，即．
【詳解】由于，
當分數自乘時結果更小，故 ．
如，則．
∵，，
∴ ，
∴ ．
如，則 ．
綜上，．
應選項C．
11．B
【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關鍵．根據定義分析即可．
【詳解】解：①當時，不是二次根式；
②當時，不是二次根式；
③是二次根式；
④當時，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故選B．
12．D
【分析】本題考查了實數的判斷和求一個數的算術平方根和立方根，正確按照流程圖順序計算是解題的關鍵．根據算術平方根和立方根的定義按照流程圖順序計算即可．
【詳解】解：64的算術平方根是8，是有理數，
故將8取立方根為2，是有理數，
將2取算術平方根得，是無理數，
故選：D．
13．
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是列出不等式求解．
根據二次根式有意義，列出不等式求解．
【詳解】解：∵式子在實數范圍內有意義，
∴．
故答案為： ．
14．
【分析】本題考查實數的相反數，的相反數是，據此求解．
【詳解】實數的相反數為，
故答案為：．
15．
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式，熟練掌握相關知識解題關鍵．
根據二次根式有意義的條件可得關于的不等式，計算即可求解．
【詳解】解：根據題意，得：，
．
故答案為：．
16．2
【分析】本題主要考查了無理數的估算，根據無理數的估算方法可得的取值范圍，進而可求出的取值范圍，據此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整數部分是2，
故答案為：2．
17．4
【分析】本題主要考查無理數的概念，掌握無理數的概念及常見形式是關鍵．
無理數是無限不循環小數，常見無理數有：含有的最簡式子；開不盡方的數；特殊結構的數（如…相鄰兩個1之間0的個數逐次加1），由此即可求解．
【詳解】解：，，，…（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1）是無限不循環小數，它們是無理數，共4個，
故答案為：4．
18．見解析
【分析】根據無理數為無線不循環小數，整數包括正整數、0、負整數；負分數包括負有限小數與無限循環小數等，依次判斷即可．
【詳解】解：無理數集合：{，1.121121112…}；
整數集合：{0，-2，8}；
負分數集合{-2.5，－0.，}．
【點睛】題目主要考查有理數的分類，理解無理數、整數及負分數的定義是解題關鍵．
19．解：有理數：①③④⑤；無理數：②⑥．
【分析】本題考查了有理數和無理數的概念辨析，解題的關鍵是掌握有理數（整數和分數的統稱，包括有限小數和無限循環小數）和無理數（無限不循環小數）的定義特征．
根據有理數是有限小數或無限循環小數、無理數是無限不循環小數的定義，對每個數逐一進行判斷，區分出有理數和無理數．
【詳解】解：①是有限小數，屬于有理數；
②是無限不循環小數，屬于無理數；
③0是整數，屬于有理數；
④是分數，屬于有理數；
⑤是無限循環小數，屬于有理數；
⑥（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1）是無限不循環小數，屬于無理數．
因此，有理數有①③④⑤，無理數有②⑥．
20．(1)8
(2)不能，理由見解析
【分析】本題考查正方形和長方形的面積公式、求一個數的算術平方根、無理數的估算，理解題意，正確求解是解答的關鍵．
（1）根據正方形的面積公式求解即可；
（2）設長方形紙片的長為，寬為，根據長方形的面積公式和無理數的估算得到,進而可得結論．
【詳解】（1）解：由題意，大正方形的面積為，
大正方形的邊長是
故答案為：8．
（2）解：不能，理由為：
設長方形紙片的長為，寬為，
由題可列：
解得：，（舍）
大正方形的邊長為，
，
答：沿此大正方形邊的方向裁剪不能裁剪出長方形紙片的長、寬之比為，且面積為．
21．(1)有理數：，3.1416，，0，；
(2)無理數：，…（相鄰兩個4之間2的個數逐次加1）．
【分析】本題考查了實數的分類，熟練掌握實數的分類是解答本題的關鍵．實數分為有理數和無理數，有理數分為整數和分數，無理數分為正無理數和負無理數．
（1）首先計算乘方，然后根據有理數的定義分別作答即可；
（2）根據無理數的定義分別作答即可．
【詳解】（1）解：，
有理數：，，3.1416，，0，；
（2）解：無理數：，…（相鄰兩個4之間2的個數逐次加1）．
22．（1）0，0.3（3無限循環），，18，，1.21（21無限循環），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本題主要考查了實數，解決本題的關鍵是熟記實數的分類；
（1）根據有理數的定義，即可解答；
（2）根據無理數的定義，即可解答；
（3）非負整數集合包括0和正整數，即可解答．
【詳解】解：有理數集合：，無限循環，，，，無限循環，，，；
無理數集合：，，，，；
非負整數集合：，，；
設（21無限循環），則（21無限循環），
（21無限循環）（21無限循環），
，
S；
故1.21（21無限循環）
23．(1)1；
(2)不存在
【分析】本題考查了算術平方根的應用，掌握等面積法是掌握算術平方根和無理數的意義．
（1）根據圖形可求出小正方形的邊長；根據大正方形的面積個直角三角形的面積+小正方形的面積求出大正方形的面積，進而可求出大正方形的邊長；
（2）判斷是否是正方形邊長的整數倍，即可得出結論．
【詳解】（1）由題意得：所得到的小正方形的邊長為：；
大正方形的面積為：，邊長為；
故答案為：1；；
（2）解：不存在．
理由：假設存在正整數，則，
，
，
n為正整數，
為有理數，而為無理數，
上式等號不成立．即不存在正整數．
24．(1)10；
(2)3和4之間
(3)或
【分析】本題考查了算術平方根的應用以及數軸與實數，掌握算術平方根的估值方法、數形結合，是解題的關鍵．
（1）利用圖形剪拼前后面積不變求解；
（2）利用算術平方根的估值方法求解；
（3）根據實數與數軸的關系求解，注意要分兩種情況求解．
【詳解】（1）剪開前圖形的面積等于，剪拼前后圖形面積不變，
拼成的大正方形的面積10，
正方形的邊長為，
．
（2）由（1）知，正方形的邊長為，
，
，
正方形的邊長在3和4之間．
（3）由（1）知正方形的邊長為，
，
又點B與數軸上表示的點重合，
點E表示的數為或．
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