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12.2三角形的性質
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在中，，，點、在邊、上，沿向內折疊得到，則圖中等于（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，，，點D在邊上，，和相交于點O．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．將一副三角板按照如圖方式擺放，點，，共線，，則的度數為( )
A． B． C． D．
4．已知三條線段的長分別是4，8，，若它們能構成三角形，則偶數的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．若一個三角形的三個內角度數的比為，則這個三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
6．如圖，在三角形中，點在上，連接，平分交于點，交于點，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．下列命題中，為假命題的是（ ）
A．對頂角相等 B．同旁內角互補
C．三角形的內角和為 D．三角形任意兩邊之差小于第三邊
8．若a、b、c表示的三條邊長，且滿足，則一定是（ ）三角形．
A．直角 B．三條邊都不相等的 C．等腰 D．等邊
9．下列長度的三條線段不能組成三角形的是（ ）
A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4
10．若為一個三角形的三邊長，則式子的值（ ）
A．一定為正數 B．一定為負數
C．可能為正數，也可能為負數 D．可能為0
11．以下列各組數據為邊長，能構成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5
12．在中，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷形狀
二、填空題
13．當三角形中一個內角是另一個內角的倍時，稱此三角形為“和諧三角形”，其中為“和諧角”若一個“和諧三角形”中有一個內角為，則這個“和諧三角形”的“和諧角”的度數為 ．
14．現有長為和的兩根木條，如果還要找第三根木條，用這三根木條釘成一個三角形的木框，那么第三根木條的長度的取值范圍是 ．
15．定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫作“倍長三角形”．若是“倍長三角形”，較短的兩條邊長分別為2和3，則第三條邊的長為 ．
16．如圖，中，，平分，則的度數是 ．
17．共享單車為市民的綠色出行提供了方便．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面平行，，，，則的度數為 ．
三、解答題
18．在中，將，按如圖所示的方式折疊，點，均落在邊上的點處，線段，為折痕．若，求的度數．
19．已知中，，，且為奇數．
(1)求的周長．
(2)判斷的形狀，并說明理由．
20．已知中，，求、和的度數，它是什么三角形？
21．如圖①，兔子在第一次龜兔賽跑失利后，不服輸的它又組織了一次比賽，這次的比賽規則是從點A跑到點B，但A，B之間設置了很多陷阱，兔子選擇沿路線A→C→B前進，烏龜可以選擇的路線分別是：路線①A→C→B；路線②A→E→F→B；路線③A→D→B．
(1)若烏龜選擇了路線③，那么烏龜和兔子的路線哪個更短呢？請說明理由．
以下是小明不完整分析過程，請你幫他補充完整；
解：烏龜的路線更短，理由如下：
如圖②，延長交于點P．
在中，，
…
(2)請你幫烏龜從路線②和③中選擇一條較短的路線，并說明理由．
22．如圖，為邊上的一點，，且，求的度數．
23．已知：如圖，在中，點D是邊上的一點，，求．
24．兩根木棒的長分別是m和，要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個三角形．張同學手里長為6的木棒可以完成任務，但李同學手里長為10的木棒卻無法完成任務．問第一根木棒的長度m在什么范圍？
《12.2三角形的性質》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A B B C C B
題號 11 12
答案 A A
1．C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，折疊的性質，由三角形內角和定理計算得出，由折疊的性質可得，，從而得出，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵沿向內折疊得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．
2．B
【分析】本題考查了三角形外角的性質，掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和是解題關鍵．由三角形外角的性質可得，再結合求解即可．
【詳解】解：是的外角，
，
，
，
故選：B．
3．B
【分析】本題考查了三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．根據三角形外角的性質得出，即可求出的度數，再根據平角的定義即可求出的度數．
【詳解】解：是的一個外角，
，
，，
，
，
故選：B．
4．B
【分析】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，由此得到，即可得到答案．
【詳解】解：由三角形三邊關系定理得：，
∴，
∴偶數m的最大值是10．
故選：B．
5．A
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形的分類，根據三角形內角和為度求出這個三角形最大的內角的度數即可得到答案．
【詳解】解：∵一個三角形的三個內角度數的比為，
∴這個三角形最大的內角度數為，
∴這個三角形是銳角三角形，
故選：A．
6．B
【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的判定與性質，角平分線的定義，根據題意易證，推出，由得到，求出，結合，利用三角形內角和定理求出，再根據角平分線的定義求出，由即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故選：B．
7．B
【分析】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據三角形的三邊關系，三角形內角和定理，平行線的性質，對頂角性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、對頂角相等，原說法是真命題，故本選項不符合題意；
B、兩直線平行，同旁內角互補，原說法是假命題，故本選項符合題意；
C、三角形的內角和為，原說法是真命題，故本選項不符合題意；
D、三角形任意兩邊之差小于第三邊，原說法是真命題，故本選項不符合題意．
故選：B．
8．C
【分析】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三邊關系的應用．熟練掌握利用平方差公式進行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三邊關系的應用是解題的關鍵．由題意知，，由，可得，則一定是等腰三角形，然后判斷作答即可．
【詳解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c表示的三條邊長，
∴，
∴，
∴，
∴一定是等腰三角形，
故選：C．
9．C
【分析】此題主要考查三角形三邊關系，根據三角形三邊關系，較短的兩邊之和必須大于最長的第三邊，若兩邊之和等于或小于第三邊，則無法組成三角形．
【詳解】A 、2，2，3，較短兩邊為2和2，和為4，大于第三邊3，能組成三角形；
B 、2，3，3，較短兩邊為2和3，和為5，大于第三邊3，能組成三角形；
C 、2，2，4，較短兩邊為2和2，和為4，等于第三邊4，無法組成三角形；
D 、2，3，4，較短兩邊為2和3，和為5，大于第三邊4，能組成三角形．
故選：C．
10．B
【分析】本題考查三角形三邊關系以及因式分解的應用，本題將式子因式分解，結合三角形三邊關系判斷符號．
【詳解】解：
根據三角形三邊關系：
，
；
，
；
．
綜上，原式的值一定為負數．
故選：B．
11．A
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，熟知三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．根據三角形的三邊關系逐項判斷即可得解.
【詳解】解：A、因為，，，所以3，4，5滿足三邊關系，故能構成三角形；
B、因為，兩邊之和等于第三邊，所以4，4，8不滿足三邊關系，故不能構成三角形；
C、因為，兩邊之和等于第三邊，所以3，7，10不滿足三邊關系，故不能構成三角形；
D、因為，兩邊之和小于第三邊，所以10，4，5不滿足三邊關系，故不能構成三角形．
故選：A ．
12．A
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理的應用，理解并掌握三角形內角和定理是解題關鍵．根據題意，設，結合三角形內角和定理解得的值，進而確定的值，即可獲得答案．
【詳解】解：∵，
∴可設，
∵，
∴，解得，
∴，
∴是直角三角形．
故選：A．
13．或
【分析】本題考查了三角形內角和，理解“和諧三角形”，“和諧角”的意義是解題的關鍵.
設第三個角為，分類討論：已知一個角是，需判斷該角是、、還是，分別計算判斷即可．
【詳解】解：設第三個角為，
當時，，與三角形內角和是相矛盾，舍去；
當時，，
此時，符合題意；
當時，，
所以，
解得，
此時，符合題意；
所以這個“和諧三角形”的“和諧角”的度數為或，
故答案為：或．
14．/
【分析】本題考查了三角形三邊關系，根據三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求第三邊長的范圍．
【詳解】解：現有長為和的兩根木條，如果還要找第三根木條，用這三根木條釘成一個三角形的木框，那么第三根木條的長度的取值范圍是：
，即，
故答案為：
15．4
【分析】本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．根據“倍長三角形”的定義求出第三邊的長，再根據三角形的三邊關系判斷即可．
【詳解】解：當第三條邊的長是2的2倍時，第三條邊的長為4，
2，3，4能組成三角形；
當第三條邊的長是3的2倍時，第三條邊的長為6，
∵，
∴長為2，3，6的三條線段不能組成三角形，
∴第三條邊的長為4，
故答案為：4．
16．/105度
【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．
首先由角平分線的定義得到，然后根據三角形外角的性質求解即可．
【詳解】，平分，
，
．
故答案為：．
17．/70度
【分析】本題考查了三角形內角和定理的應用，平行線的性質，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．根據得出，根據三角形內角和定理得出，進而根據平行線的性質即可求解．
【詳解】解：∵，都與地面平行，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
18．
【分析】本題考查了圖形的對折，掌握相關知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關鍵．
根據折疊的性質，找到相等的角，然后利用平角的定義計算即可；
【詳解】解：由題意知：，
，
，
．
19．(1)16
(2)等腰三角形，理由見解析
【分析】此題考查了三角形的三邊關系，三角形的分類，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差的絕對值，而小于兩邊的和．
（1）首先根據三角形的三邊關系定理可得，再根據ACAC為奇數，確定的值，進而可得周長；
（2）根據等腰三角形的判定可得是等腰三角形．
【詳解】（1）解：在中，根據三角形三邊關系得：
即．
是奇數
．
的周長為16．
（2）解：為等腰三角形，理由如下：
由（1）可知，
為等腰三角形．
20．，，，是鈍角三角形
【分析】本題考查了三角形的內角和定理及三角形的分類，熟練掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵，設，則，，再根據三角形內角和定理求出的度數，進而可得出結論．
【詳解】解：∵中，
∴設，則，，
∴，即，解得，
∴，，，
∴是鈍角三角形．
21．(1)見解析
(2)選路線②，理由見解析
【分析】本題考查了三角形三邊關系的應用，熟練掌握三角形三邊關系是解題的關鍵．
（1）根據三角形的三邊關系得出，，可推出，從而得出答案；
（2）如圖，延長交于點M，延長交于點N．分別在，，中，根據三角形的三邊關系得出，，，可推出，從而得出答案．
【詳解】（1）解：補全過程如下：
在中，，
，
，
∴烏龜的路線更短．
（2）選路線②．理由如下：
如圖，延長交于點M，延長交于點N．
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
∴路線②的路程比路線③短，
∴烏龜可選路線②．
22．
【分析】此題考查的是三角形的內角和定理，三角形外角的性質，熟知三角形內角和是和三角形外角的性質是解答此題的關鍵．
先根據三角形外角的性質得出，再根據已知條件，，可得，求出，進而得出結論．
【詳解】解：，，，
，
，解得，
．
23．
【分析】本題考查三角形內角和定理，三角形外角的性質，根據三角形外角的性質結合已知求出，再利用三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．
【分析】本題考查三角形的三邊關系，求不等式組的解集，設第三根木棒的長為x，根據三角形的三邊關系，得到，再根據題意，得到，求解即可．
【詳解】解：設第三根木棒的長為x，
∵兩根木棒的長分別是m和，
∴，
∴．
∵由張同學手里長為6的木棒可以完成任務，但李同學手里長為10的木棒卻無法完成任務，
∴，
∴．
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