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第二章 實數自我評估
（本試卷滿分100分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 下列各數是無理數的是（　　）
A. B. C. D. -8
2. “的平方根是”用數學式子表示為（　　）
A. B. C. D.
3. 下列各式中，最簡二次根式是（　　）
A. B.
C. D.
4. 的倒數是（　　）
A. B.
C. D.
5. 下列等式成立的是（　　）
A. B.
C. D.
6. 下列說法中，錯誤的是（　　）
A. 立方根等于-1的實數是-1 B. 4的算術平方根是2
C. 的平方根是±3 D. 8的立方根是±2
7. 《九章算術》中指出：“若開之不盡者為不可開，當以面命之”，作者給這種開平方開不盡的數起了一個專門的名詞“面”．例如面積為5的正方形的邊長稱為5“面”，關于17“面”的值說法正確的是（　 ）
A. 是2和3之間的實數 B. 是3和4之間的實數
C. 是4和5之間的實數 D. 是5和6之間的實數
8. 下面是小明的作業：
①（√）②（×）③（√）④（√）
其中判斷正確的有（　　）
A. 4個 B. 3個
C. 2個 D. 1個
9. 若x，y為實數，且+2y＝4，則x+y的值為（　　）
A. 2 B. 3
C. 5 D. 不確定
10．從“+，﹣，×，÷”中選擇一種運算符號，填入算式“□x”的“□”中，使其運算結果為有理數，則實數x不可能是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 計算：=　 ， = .
12.比較大小： 6.（填“＞”“=”或“＜”）
13. 計算的結果是 .
14. 蔬菜是人們日常飲食中必不可少的食物之一，可以提供人體所必需的多種維生素、礦物質等營養物質.王奶奶家有一塊長為m，寬為m的長方形田地用來種植蔬菜，則該長方形田地的面積為 m2.
15. 已知m為正整數，若是整數，則根據=可知m有最小值，為21.設n為正整數，若是大于1的整數，則n的最小值為 .
16. 圖1是一個按某種規律排列的數陣，按此規律可知，第7行從左往右數第3個數是 ．
……
圖1
三、解答題（本大題共6小題，共52分）
17.（每小題4分，共8分） 計算：
（1）； （2）.
18.（6分）已知5a+3的立方根是2，3b+1的算術平方根是5，求a+b的平方根．
19.（8分）【跨學科】當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓，而是尚未相遇，便注定無法相聚.距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度.我們可以從圖形和代數化簡兩個角度來計算距離：若點M，N在數軸上分別表示實數m，n，則點M，N之間的距離可表示為，據此解答下列問題：
如圖2，數軸上有A，B，C三點，表示1和的對應點分別為A，B，點B到點A的距離與點C到原點O的距離相等.
（1）填空：AB的長為 ，點C表示的數為 ；
（2）若D是數軸上一點，且到原點的距離為，求點D，C之間的距離.
圖2
20.（8分）如圖3，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫出圖形．
（1）在圖3-①中，畫一個正方形，使它的面積是10；
（2）在圖3-②中，畫一個三角形，使它的三邊長分別為3，，.
① ②
圖3
21.（10分）綜合與實踐
（1）【問題發現】如圖4，把兩個面積都為1 cm2的正方形桌布分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼成一塊大正方形桌布，則該大正方形桌布的邊長為 cm；
（2）【知識遷移】有一張邊長為1.4 m的正方形桌子，這塊大正方形桌布 蓋住桌子；（填“能”或“不能”）
（3）【拓展延伸】小辰想用一塊面積為100 cm2的正方形紙片，沿著邊的方向截出一塊面積為90 cm2的長方形紙片，使其長、寬之比為5∶3，小辰能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由.
圖4
22.（12分）在教材《估算》這一節內容時，通過“逐步逼近”的方法來估算出了公園的寬的近似值，請回答下列問題：
（1）通過“逐步逼近”的方法可估算出2.2＜＜2.3，請用“逐步逼近”的方法估算在哪兩個近似數之間；（精確到0.1）
（2）大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，可以用 1來表示的小數部分．
又例如：∵＜＜，即2＜＜3，
∴的整數部分為2，小數部分為 2．
請解答：①的整數部分是 ，小數部分是 ；
②若a是的整數部分，b是的小數部分，求的值；
③若=x+y，其中x是整數，且0＜y＜1，求的值.
附加題（20分，不計入總分）
閱讀材料：《周易·系辭上》有曰：二人同心，其利斷金；同心之言，其臭如蘭.在二次根式中也有這樣相輔相成的例子，如：（2+）（2-）＝1，（+）（-）＝3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解，如：，
=7+4.像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化.
解決問題：
（1）的有理化因式可以是　 　，分母有理化，得　 　；
（2）計算：
①當a=，b=時，a2-b2＝　 　；
②　 　；（n為正整數）
（3）根據你的推斷，比較和的大小.
第②期 第二章 實數自我評估 參考答案
答案詳解
三、17. 解：（1）原式=；
（2）原式==.
18. 解：因為5a+3的立方根是2，所以5a+3=23．解得a=1．
因為3b+1的算術平方根是5，所以3b+1=52．解得b=8．
所以a+b=1+8=9．所以a+b的平方根是=±3．
19. 解：（1）-1 1-
（2）因為點D到原點的距離為，所以點D表示的數為3或-3.
==；
==.
所以點D，C之間的距離為或.
20.解：（1）如圖1中的正方形即為所求作.
圖1
圖1中正方形的邊長為，面積為10.
（2）如圖2中的△ABC即為所求作.
圖2
圖2中AC=3，BC=，AC＝.
21. 解：（1）
（2）能
（3）不能.理由如下：
設長方形紙片的長為5x cm，則寬為3x cm.
根據題意，得5x 3x=90，解得x=或x=-.（負值舍去）
所以長方形紙片的長為5 cm.
因為正方形紙片的面積為100 cm2，所以正方形紙片的邊長為=10 cm.
因為（5）2=150，150＞100，所以5＞10，即長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長.
所以小辰不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片.
22.解：（1）因為3.32=10.89，3.42=11.56，所以3.3＜＜3.4.
（2）①4
②因為9＜＜10，所以a＝9.
因為1＜＜2，所以b=.
所以.
③因為2＜＜3，所以的整數部分是2，的整數部分是9.
因為=x+y，x是整數，0＜y＜1，所以x＝9，y=.
所以==.
附加題
解：（1）
（2）① ②
（3）；
.
因為，所以.
所以＜.
答案速覽
一、1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. D 7. C 8. C 9. B 10. D
二、11.4 12. ＜ 13. 14. 15. 2 16.
三、解答題見“答案詳解”
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