資源簡介

1．1　集合的概念
一、 單項選擇題
1 下列說法中，正確的是(　　)
A. 某個村子里的高個子組成一個集合
B. 所有小正數組成一個集合
C. 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一個集合
D. 1，0，5，，，，組成的集合有7個元素
2 集合{x∈N*|x－3<2}用列舉法可表示為(　　)
A. {0，1，2，3，4}
B. {1，2，3，4}
C. {0，1，2，3，4，5}
D. {1，2，3，4，5}
3 已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則下列結論中正確的是(　　)
A. 1∈M B. 0∈M
C. －1∈M D. －2∈M
4 (2024濟南二模)已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和為1，則實數a所有取值的集合為(　　)
A. {0} B. {1}
C. {－1，1} D. {0，－1，1}
5 (2025阜陽期末)已知集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，若1 A且3∈A，則實數m的取值范圍是(　　)
A. C. m> D. m<
6 (2025寶山期末)集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}是指(　　)
A. 第一象限內的所有點組成的集合
B. 第三象限內的所有點組成的集合
C. 第一象限和第三象限內的所有點組成的集合
D. 不在第一象限也不在第三象限內的所有點組成的集合
7 (2024鄭州期末)由實數x，－x，|x|，，()2，－所組成的集合，最多可含有的元素個數為(　　)
A. 2 B. 3　 C. 4 D. 5
二、 多項選擇題
8 下列說法中，正確的是(　　)
A. N*中最小的數是1
B. 若－a N*，則a∈N*
C. 若a∈N*，b∈N*，則a＋b的最小值是2
D. x2＋4＝4x的實數解組成的集合中含有兩個元素
9 (2025景德鎮期末)下列說法中，正確的有(　　)
A. 某校高一年級視力差的學生可以構成一個集合
B. 集合A＝{x|y＝x2＋1}與集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是相同的集合
C. 由1，，，，0.5這些數組成的集合有4個元素
D. 在平面直角坐標系中，第二象限或第四象限內所有的點(x，y)組成的點集，可以表示成集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}
三、 填空題
10 (2025寶山期末)用列舉法表示“能整除9的所有正整數”組成的集合：________．
11 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c＝________．
12 (2025濟南期末)設集合M＝{2，3，a2－3a，a＋＋7}，N＝{a－1，3}，已知4∈M且4 N，則a的取值集合為________．
四、 解答題
13 選擇適當的方法表示下列集合．
(1) Welcome中的所有字母組成的集合；
(2) 所有正偶數組成的集合；
(3) 二元二次方程組的解集；
(4) 所有正三角形組成的集合．
14 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一個元素，試求實數k的值，并用列舉法表示集合A.
15 (2025上海期末)已知集合A的元素為實數，且滿足①a≠0且a≠1；②若a∈A，則∈A.
(1) 若a＝2，求A；
(2) 集合A有沒有可能是單元素集？
(3) 若a∈A，求證：∈A.
1.1　集合的概念
1. C　對于A，某個村子里的高個子，不符合集合中元素的確定性，不能構成集合，故A錯誤；對于B，所有小正數，不符合集合中元素的確定性，不能構成集合，故B錯誤；對于C，{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}中的元素相同，它們是同一個集合，故C正確；對于D，1，0，5，，，，組成的集合中有5個元素，故D錯誤．
2. B　因為x－3<2，所以x<5.因為x∈N*，所以x的值可以為1，2，3，4.
3. C　由題意，得2為方程x2－x＋m＝0的一個根，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2，所以方程為x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以方程的另一根為－1，可得－1∈M.
4. D　因為集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和為1，所以當一元二次方程(x－a2)(x－1)＝0有等根時，x＝a2＝1，即a＝±1；當方程有兩個不相等實根時，x＝a2＝0，即a＝0.綜上，實數a所有取值的集合為{0，1，－1}．
5. A　由1 A且3∈A，得解得6. D　因為xy≤0，所以或所以集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示第二象限和第四象限內的所有點，以及在x，y軸上的點，即不在第一、第三象限內的所有點．
7. B　因為，()2，－可分別化為|x|，x2，－x，所以由實數x，－x，|x|，，()2，－所組成的集合，最多可含有3個元素，分別為x，－x，x2，此時x≠±1，且x≠0.
8. AC　由N*表示正整數集，可知A，C正確；對于B，若a＝，滿足－a N*，但a N*，故B錯誤；對于D，x2＋4＝4x的實數解只有2，所以組成的集合中只有一個元素，故D錯誤．故選AC.
9. CD　對于A，視力差標準不確定，所以某校高一年級視力差的學生不能構成集合，故A錯誤；對于B，其中集合A＝{x|y＝x2＋1}是數集，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是點集，所以集合A＝{x|y＝x2＋1}與集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}不是同一集合，故B錯誤；對于C，因為＝0.5，所以由集合中元素的互異性知這些數組成的集合有4個元素，故C正確；對于D，因為第二象限或第四象限內的點橫、縱坐標異號，即xy<0，所以第二象限或第四象限內所有的點(x，y)組成的點集，可以表示成集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}，故D正確．故選CD.
10. {1，3，9}　因為能整除9的正整數有1，3，9，所以“能整除9的所有正整數”組成的集合為{1，3，9}．
11. 201　若①正確，則②③不正確，由③不正確，得c＝0，由①正確，得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確；若②正確，則①③不正確，由①不正確，得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確；若③正確，則①②不正確，由①不正確，得a＝2，由②不正確及③正確，得b＝0，c＝1，故③正確，則100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
12. {－2}　因為M＝，N＝{a－1，3}，4∈M且4 N，若a2－3a＝4，解得a＝4或a＝－1，當a＝4時，a＋＋7＝，此時N＝{3，3}，不滿足集合元素的互異性，舍去；當a＝－1時，a＋＋7＝－1＋＋7＝4，此時M＝{2，3，4，4}，不滿足集合元素的互異性，舍去；若a＋＋7＝4，解得a＝－1或a＝－2，前面已經分析a＝－1不滿足要求，當a＝－2時，a2－3a＝(－2)2－3×(－2)＝10，此時集合M＝{2，3，10，4}，N＝{－3，3}，滿足集合元素的性質．綜上，a的取值集合為{－2}．
13. (1) 列舉法：分別列舉出每個字母，得{W，e，l，c，o，m}．
(2) 描述法：正偶數可以寫成正整數的2倍，所以描述法表示為{x|x＝2k，k∈N*}．
(3) 列舉法：解原方程組，得或所以列舉法表示為{(0，0)，(1，1)}．
(4) 描述法：{x|x是正三角形}．
14. ①當k＝0時，原方程變為－8x＋16＝0，解得x＝2，此時集合A＝{2}，滿足題意；
②當k≠0時，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0只有一個實數根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1，
此時方程的解為x1＝x2＝4，即集合A＝{4}，滿足題意．
綜上所述，實數k的值為0或1.當k＝0時，A＝{2}；當k＝1時，A＝{4}．
15. (1) 若2∈A，則＝＝－3∈A，＝－∈A，＝∈A，＝2∈A，
所以A＝.
(2) 假設集合A是單元素集，
由a∈A，則∈A，得a＝，整理，得a2＝－1與實數平方為非負數矛盾，
所以集合A不可能是單元素集．
(3) 由a∈A，得a≠0且a≠1，∈A，
所以＝＝－∈A，＝∈A，
所以∈A.

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