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1．2　集合間的基本關系
一、 單項選擇題
1 (2025柳州期末)下列說法中，正確的是(　　)
A. ∈Z
B. ∈Q
C. {0，1，2}＝{2，1，0}
D. {(1，2)} {1，2}
2 (2025喀什期末)設集合A＝{0，a}，B＝{x|0≤x≤2a－2}，若A B，則實數a的取值范圍為(　　)
A. a≥2 B. a≤2
C. a>2 D. a<2
3 已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，則兩個集合間的關系是(　　)
A. M P B. P M
C. M＝P D. M，P互不包含
4 (2024吳忠月考)已知集合M＝{(x，y)|y＝x}，N＝{(x，y)|，則下列選項中正確表示集合M與N關系的示意圖是(　　)
A B C D
5 定義集合A*B＝{x|x∈A，且x B}，若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，5}，則A*B的子集個數為(　　)
A. 1 B. 2　 C. 3 D. 4
6 (2025長春期末)滿足{0} M {－1，0，1}的集合M的個數為(　　)
A. 3 B. 4
C. 7 D. 8
7 設集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，則實數a的值為(　　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. ±1
二、 多項選擇題
8 (2025貴陽期中)已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，則下列結論中正確的是(　　)
A. －1∈A B. 0 A
C. A D. ?A
9 下列結論中，正確的是(　　)
A. {0}∈{0，1，2}
B. {0，1，2} {2，1，0}
C. {0，1，2}
D. ＝{0}
三、 填空題
10 已知集合A＝{2－1，－3}，B＝{b＋1，2}，若A＝B，則a＋b＝________．
11 (2024開封期末)已知非空集合P滿足：①P {1，2，3，4，5}；②若a∈P，則6－a∈P.符合上述條件的集合P的個數為________．
12 已知集合A＝{1，2，4}，B＝{x－y|x∈A，y∈A}，則集合B的子集的個數為________．
四、 解答題
13 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求實數m的取值范圍.
14 已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1) 若A是B的子集，求實數a的值；
(2) 若B是A的子集，求實數a的取值范圍．
15 (2025合肥練習)設集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1) 當x∈Z時，求A的非空真子集個數；
(2) 當x∈R時，不存在元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實數m的取值范圍．
1．2　集合間的基本關系
1. C　對于A，Z為正整數，故A錯誤；對于B，Q為有理數，但為無理數，故B錯誤；對于C，利用集合元素的無序性即可判斷，故C正確；對于D，{(1，2)}表示集合里只有一個元素(1，2)，而{1，2}表示集合里的兩個元素1，2，兩個集合不存在包含關系，故D錯誤．
2. A　因為A B，所以0∈B且a∈B.由0∈B，得0≤2a－2，解得a≥1.由a∈B，得0≤a≤2a－2，解得a≥2.綜上，a≥2.
3. D　因為集合M為數集，集合P為點集，所以M與P互不包含．
4. B　由得即N＝{(1，1)}，所以M∩N＝N，即N M，故選B.
5. D　由題意知A*B＝{1，3}，所以A*B的子集個數為22＝4.
6. B　因為{0} M {－1，0，1}，所以M1＝{0}，M2＝{0，1}，M3＝{0，－1}，M4＝{－1，0，1}，共4個．
7. D　當B＝{－1}時，x2－2ax＋1＝0有兩個相等的實根－1，則a＝－1；當B＝{1}時，x2－2ax＋1＝0有兩個相等的實根1，則a＝1；當B＝{－1，1}時，不成立．綜上，a＝±1.
8. ACD　因為A＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}，所以－1∈A，0∈A， A， ?A，故ACD正確，B錯誤．故選ACD.
9. BC　對于A，兩個集合之間是包含關系，故A錯誤；對于B，{0，1，2}，{2，1，0}是相等的集合，所以{0，1，2} {2，1，0}，故B正確；對于C，空集是任何集合的子集，故C正確；對于D，空集與一個非空集合不相等，故D錯誤．故選BC.
10. －　因為集合A＝{2－1，－3}，B＝{b＋1，2}，A＝B，所以解得所以a＋b＝－.
11. 7　由a∈P，6－a∈P，且P {1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面應滿足的條件是1，5同時選，2，4同時選，3可單獨選，可一一列出滿足條件的全部集合P為{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7個．
12. 128　因為A＝{1，2，4}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，則B的子集有27＝128(個).
13. ①若B＝ ，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時B A；
②若B≠ ，則m＋1≤2m－1，解得m≥2.
由B A，得解得2≤m≤3.
綜上，實數m的取值范圍是{m|m≤3}．
14. (1) 由題意，得A＝{－4，0}．
若A是B的子集，則B＝A＝{－4，0}，
所以
解得a＝1.
(2) ①若B為空集，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；
②若B為單元素集合，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8＝0，解得a＝－1，將a＝－1代入方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得x2＝0，即x＝0，B＝{0}，符合題意；
③若B為雙元素集合，則B＝A＝{－4，0}，則由(1)可知a＝1.
綜上，實數a的取值范圍為{a|a≤－1或a＝1}．
15. (1) 當x∈Z時，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，集合中8個元素，
所以集合A的非空真子集個數為28－2＝254.
(2) 當B＝ ，則m＋1>2m－1，解得m<2時，符合題意；
當B≠ ，則m＋1≤2m－1，解得m≥2時，
由題意，得或解得m>4.
綜上，實數m的取值范圍是{m|m<2或m>4}．

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