資源簡介

1．4　充分條件與必要條件
1.4.1　充分條件與必要條件(1)
一、 單項選擇題
1 (2025恩施州期末)已知a，b∈R，則“b>a>0”是“>”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
2 (2025汕頭練習)設x∈R，則“x>3”是“|x－1|>2”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
3 “ab>0”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
4 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，則“m＝1”是“A B”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
5 (2025邵陽海誼中學月考)已知a，b∈R，則“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
6 (2025上海期末)古人云“一屋不掃，何以掃天下”，這句諺語說明古人認為“能掃一屋”是“能掃天下”的(　　)
A. 充分條件
B. 必要條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
7 已知集合A＝{x|－1A. {b|－2≤b<0}
B. {b|0C. {b|－2D. {b|－2≤b≤2}
二、 多項選擇題
8 (2024鞍山期末)設A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，B是A的充分不必要條件，則實數a的值可以為(　　)
A. B. 0 C. 3 D.
9 設計如圖所示的四個電路圖，條件p：“燈泡L亮”；條件q：“開關S閉合”，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)
A B C D
三、 填空題
10 (2025泰安練習)寫出“x≥0”的一個必要不充分條件為________．
11 已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0).若p是q的必要條件，則實數a的取值范圍為________．
12 設p，r都是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，則p是t的________條件，r是t的________條件．(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”)
四、 解答題
13 指出下列命題中，p是q的充分條件還是必要條件？
(1) p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2) p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3) p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
14 (2025北京練習)已知p：－2b，r：15 已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1) 當m＝1時，求A∩( RB)；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數m的取值范圍．
1．4.2　充分條件與必要條件(2)
一、 單項選擇題
1 (2025天津期末)已知a，b∈R，則“a1”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
2 下列說法中，正確的是(　　)
A. “ab＝0”是“a2＋b2＝0”的充要條件
B. “a∈N”是“a∈Z”的充分不必要條件
C. “兩個三角形全等”是“兩個三角形相似”的必要不充分條件
D. “方程(x－a)(x－a－1)＝0有一個正實數根和一個負實數根”的一個充分不必要條件是“－13 (2025北京五十七中期末)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
4 設集合A，B是全集U的兩個子集，則“A B”是“A∩( UB)＝ ”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
5 (2025惠州練習)設M＝{1，2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N M”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
6 已知甲是乙的必要條件，丙是乙的充分不必要條件，則下列說法中正確的是(　　)
A. 丙是甲的充分不必要條件
B. 丙是甲的必要不充分條件
C. 丙是甲的充要條件
D. 丙是甲的既不充分也不必要條件
7 (2025松原期末)已知p：x2－4x＋3＝0，q：－3≤x－1≤m，若p是q的充分條件，則實數m的取值范圍為(　　)
A. m> B. m≥
C. m>－2 D. m≥－2
二、 多項選擇題
8 (2025衡水練習)若“xm＋2”是“－1A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
9 下列說法中，正確的是(　　)
A. 若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件
B. “>”是“aC. “A∩B≠ ”是“A B”的既不充分也不必要條件
D. “a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要條件
三、 填空題
10 對于集合A，B及元素x，若A B，則“x∈B”是“x∈(A∪B)”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
11 下列不等式：①x<1；②012 (2025丹東鳳城二中月考)已知命題p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根”，若p為真命題的一個必要不充分條件為a≤m＋1，則實數m的取值范圍是________．
四、 解答題
13 設集合A＝{x|－10}，命題p：x∈A，命題q：x∈B.
(1) 若p是q的充要條件，求正實數m的值；
(2) 若p是q的充分不必要條件，求正實數m的取值范圍．
14 (2025遵義期末)已知集合A＝{x|－1(1) 當a＝－1時，求A∩B；
(2) 若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
15 已知 ab≠0，求證：“a3＋b3＋ab－a2－b2＝0”是“a＋b＝1”的充要條件．
1．4　充分條件與必要條件
1.4.1　充分條件與必要條件(1)
1. A　由b>a>0，得>>0，所以充分性成立；當a＝－2，b＝－1時，滿足>，但不滿足b>a>0，所以必要性不成立，所以“b>a>0”是“>”的充分不必要條件．
2. A　若|x－1|>2，則x>3或x<－1，所以“x>3”是“|x－1|>2”的充分不必要條件．
3. A　若ab>0，則a，b同號，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，即充分性成立；若|a＋b|＝|a|＋|b|，兩邊同時平方，得a2＋b2＋2ab＝a2＋b2＋2|ab|，所以|ab|＝ab，則ab≥0，即必要性不成立．綜上，“ab>0”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要條件．
4. A　若A B，則m∈B，且m≠3，所以m＝1或m＝5，故“m＝1”是“A B”的充分不必要條件．
5. B　由a2＝b2，得a＝±b，當a＝－b≠0時a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，顯然a2＝b2成立，必要性成立．綜上，a2＝b2是a2＋b2＝2ab的必要不充分條件．
6. B　由題意知“能掃天下”是“能掃一屋”的充分條件，即“能掃一屋”是“能掃天下”的必要條件．
7. C　因為A＝{x|－18. ABD　因為x2－8x＋15＝0的兩個根為3和5，所以A＝{3，5}．又B是A的充分不必要條件，所以B是A的真子集，所以B＝ 或B＝{3}或B＝{5}，當B＝ 時，滿足a＝0即可；當B＝{3}時，滿足3a－1＝0，所以a＝；當B＝{5}，滿足5a－1＝0，所以a＝，所以a的值可以是0，，.故選ABD.
9. BD　對于A，燈泡L亮不一定有開關S閉合，反之，開關S閉合則燈泡L亮，所以p / q，q p，所以p是q的必要不充分條件；對于B，p q，所以p是q的充要條件；對于C，開關S，S1與燈泡L串聯，所以p q，但q / p，所以p是q的充分不必要條件；對于D，燈泡L亮一定有開關S閉合，反之，開關S閉合則燈泡L亮，所以p q，所以p是q的充要條件．故選BD.
10. x>－1(答案不唯一)　若x>－1，則不一定有x≥0；若x≥0，則x>－1，所以“x>－1”是“x≥0”的必要不充分條件，即“x≥0”的一個必要不充分條件是“x>－1”．
11. {a|a≤－9}　因為p是q的必要條件，所以q p，所以解得a≤－9.
12. 充分　充要　由題意，得p q，r q，s q，s t，t r，所以p q s t，tp，所以p是t的充分條件．因為r q s t，t r，所以r是t的充要條件．
13. (1) 因為由x2＝2x＋1不能推出x＝；
由x＝能推出x2＝2x＋1，
所以p是q的必要條件．
(2) 因為由a2＋b2＝0，得a＝b＝0，能推出a＋b＝0；
由a＋b＝0不能推出a2＋b2＝0，
所以p是q的充分條件．
(3) 因為由(x－1)2＋(y－2)2＝0，得x＝1，且y＝2，能推出(x－1)(y－2)＝0；
由(x－1)(y－2)＝0不能推出(x－1)2＋(y－2)2＝0，
所以p是q的充分條件．
14. 因為p：－2又r是p的充要條件，所以解得a＝4，故r：2因為r是q的充分不必要條件，所以b≤2.
綜上，a＝4，b≤2.
15. (1) 當m＝1時，B＝{x|1≤x≤2}，
所以 RB＝{x|x<1或x>2}，
所以A∩( RB)＝{x|－3≤x<1或2(2) 因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件，所以B A.
①當B＝ 時，由m＋1<2m－1，解得m>2；
②當B≠ 時，由B A，得解得－1≤m≤2.
綜上，實數m的取值范圍為{m|m≥－1}．
1．4.2　充分條件與必要條件(2)
1. A　若a1成立，故充分性成立；若>1，舉例a＝2，b＝1，但a>b>0，故必要性不成立．故“a1”的充分不必要條件．
2. B　對于A，因為ab＝0，所以a＝0，b≠0或b＝0，a≠0或a＝b＝0.因為a2＋b2＝0，所以a＝b＝0，所以“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，因為N是Z的真子集， 所以“a∈N”是“a∈Z”的充分不必要條件，故B正確；對于C，因為兩個三角形全等一定相似，但相似不一定全等，所以“兩個三角形全等”是“兩個三角形相似”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，因為(x－a)(x－a－1)＝0方程的根為x＝a或x＝a＋1，且方程有一正一負兩個根，所以a(a＋1)<0，解得－13. C　方法一：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；因為xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件．
方法二：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以＋＝＝＝＝＝－2，所以充分性成立；因為xy≠0，且＋＝－2，所以＋＝＝＝＝－2＝－2，所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件．
4. C　如圖，由A B可推出A∩( UB)＝ ，同時由A∩( UB)＝ 可推出A B，所以“A B”是“A∩( UB)＝ ”的充要條件．
5. A　若“a＝1”，則有N＝{1}，可推出“N M”成立；若“N M”，則有a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±，推不出“a＝1”，所以“a＝1”是“N M”的充分不必要條件．
6. A　因為甲是乙的必要條件，所以乙可以推出甲．因為丙是乙的充分不必要條件，所以丙可以推出乙，乙推不出丙，所以丙可以推出甲，甲推不出丙，即丙是甲的充分不必要條件．
7. B　設集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，集合B＝＝{x|－4≤x≤2m＋2}．因為p是q的充分條件，所以A是B的子集，則解得m≥.
8. ABD　設A＝{x|xm＋2}，B＝{x|－19. ABC　對于A，a，b∈R，若a2＋b2≠0，則a，b不全為0，即充分性成立；若a，b不全為0，則a2＋b2≠0，即必要性成立，故A正確；對于B，由>不能推出a，但是2>－3，即充分性不成立；由a，比如－2<3，但是<，即必要性不成立，所以“>”是“abn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0，滿足1n>0n(n∈N，n≥2)，但此時a>b>0不成立，即必要性不成立，故D錯誤．故選ABC.
10. 充要　由x∈B，得x∈(A∪B)；反之，因為A B，所以A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故“x∈B”是“x∈(A∪B)”的充要條件．
11. ②③④　由題意，得x2<1，即－112. m>0　若命題p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根”為真命題，則當a＝0時，2x＋1＝0，x＝－，符合題意；當a<0時，Δ＝4－4a>0，且x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，則此時方程ax2＋2x＋1＝0有一個正根和一個負根，符合題意；當a>0時，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此時方程為x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝0，x＝－1，符合題意；由 Δ＝4－4a>0，解得00，則此時方程ax2＋2x＋1＝0有兩個負根，符合題意．綜上，若p為真命題時，則實數a的取值范圍是(－∞，1].若p為真命題的一個必要不充分條件為a≤m＋1，則m＋1>1，解得m>0.
13. (1) 由p是q的充要條件，得A＝B，
所以解得m＝2，
所以正實數m的值為2.
(2) 因為p是q的充分不必要條件，所以A?B，
則或解得m>2，
故正實數m的取值范圍是m>2.
14. (1) 當a＝－1時，B＝{x|－3又A＝，所以A∩B＝{x|－1(2) 由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，得A?B，
所以或解得－綜上，實數a的取值范圍是－≤a≤0.
15. 設p：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，q：a＋b＝1.
先證充分性(p q)：
因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
即(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
因為ab≠0，a2－ab＋b2＝＋b2>0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1；
再證必要性(q p)：
因為a＋b＝1，
所以b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
綜上，“a3＋b3＋ab－a2－b2＝0”是“a＋b＝1”的充要條件．

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