資源簡介

1．5　全稱量詞與存在量詞
1.5.1　全稱量詞與存在量詞
一、 單項選擇題
1 (2025惠州練習)下列命題中，是存在量詞命題且為真命題的有(　　)
A. x∈R，x2－2x＋1<0
B. 有的矩形不是平行四邊形
C. x∈R，x2＋2x＋2≥0
D. x∈R，x3＋3≠0
2 下列命題中，全稱量詞命題的個數是(　　)
①任意一個自然數都是正整數；
②有的平行四邊形也是菱形；
③n(n≥3，n∈N*)邊形的內角和是(n－2)×180°.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3 (2025上海練習)下列命題中，是全稱量詞命題的是(　　)
A. 存在一個實數的平方是負數
B. 每個四邊形的內角和都是360°
C. 至少有一個整數x，使得x2＋3x是質數
D. 存在一個實數x，使得x2＝x
4 已知p： x∈R，x2＋4x＋a＝0.若p是真命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A. {a|0C. {a|a<0} D. {a|a≥4}
5 已知命題p： x0∈N，xA. p假q真
B. p真q假
C. p假q假
D. p真q真
6 設U為全集，A，B是集合，則“存在集合C，使得A C，B ( UC)”是“A∩B＝ ”的(　　)
A. 充要條件
B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件
D. 既不充分也不必要條件
7 (2025樟樹中學月考)已知命題“ x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命題，則實數m的取值范圍為(　　)
A. {m|m>－4}
B. {m|m≥－4}
C. {m|m>－6}
D. {m|m≥－6}
二、 多項選擇題
8 下列命題中，是“ x∈R，x2>3”的表述方法的有(　　)
A. 有一個x∈R，使得x2>3成立
B. 對有些x∈R，使得x2>3成立
C. 任選一個x∈R，都有x2>3成立
D. 至少有一個x∈R，使得x2>3成立
9 (2024榆林期中)下列存在量詞命題中，是假命題的是(　　)
A. x∈Z，2x＋－1＝0
B. 至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除
C. x∈R，|x|<0
D. 有些自然數是偶數
三、 填空題
10 能夠說明“存在不相等的實數a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命題的一組有序數對(a，b)為________．
11 下列命題中，正確的是________．(填序號)
①命題“負數的平方是正數”是存在量詞命題；
② a∈N，使2a為質數；
③ k∈R，函數y＝kx＋3都是一次函數；
④ x>3，x2－4x＋3>0.
12 已知命題p： x≤1，a≥3x－1，命題q： x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是________；若命題p，q均是真命題，則實數a的取值范圍是________．
四、 解答題
13 (2024許昌期中)指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假．
(1) 任意兩個等邊三角形都相似；
(2) 存在一個實數，它的絕對值不是正數；
(3) 對任意實數x1，x2，若x1(4) 存在一個實數x，使得x2＋2x＋3＝0.
14 已知命題p：“ x∈R，x2－4x＋m＝0”為假命題．
(1) 求實數m的取值集合B；
(2) 設A＝{x|3a15 是否存在整數m，使得命題“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命題？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
1．5.2　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
一、 單項選擇題
1 (2024哈爾濱期中)命題“ x∈R，x2＋2x－4>0”的否定是(　　)
A. x∈R，x2＋2x－4≤0
B. x∈R，x2＋2x－4<0
C. x∈R，x2＋2x－4<0
D. x∈R，x2＋2x－4≤0
2 已知命題p： x0∈R，x0－2>，命題q： x∈R，x2>0，則下列關于命題p，q的判斷中正確的是(　　)
A. 命題p，q都是假命題
B. 命題p，q都是真命題
C. 命題p是真命題，命題q是假命題
D. 命題p是假命題，命題q是真命題
3 (2025邯鄲期末)已知命題p： a∈R，ax2－2x＋1＝0有實數解，則命題p的否定是(　　)
A. a∈R，ax2－2x＋1≠0有實數解
B. a∈R，ax2－2x＋1＝0無實數解
C. a∈R，ax2－2x＋1＝0有實數解
D. a∈R，ax2－2x＋1≠0無實數解
4 下列三個命題中，真命題的個數是(　　)
①若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1；
②存在正實數a，b，使得a＋b＝ab；
③“所有奇數都是素數”的否定是“至少有一個奇數不是素數”．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5 下列命題中，正確的是(　　)
A. “x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分條件
B. x∈R，x2＋1＞2x
C. x∈R，x2＋1＝x
D. 命題“ x∈R，x2＋1≥2x”的否定是“ x∈R，x2＋1＜2x”
6 (2024白銀期中)若命題“ x∈R，x2＋(a－1)x＋≤0”是假命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A. {a|a<－} B. {a|a>－}
C. {a|a>} D. {a|a<}
7 (2024荊州期中)已知命題p： x∈R，>0，則 p為(　　)
A. x∈R，≤0
B. x∈R，≤0
C. x∈R，≤0或x－1＝0
D. x∈R，≤0或x－1＝0
二、 多項選擇題
8 (2024長春期中)下列說法中，正確的是(　　)
A. “m<1”是“方程x2＋x＋m＝0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件
B. 若x，y，z∈R，則“xy2>zy2”是“x>z”的充分不必要條件
C. 若a，b，c∈R，則關于x的不等式ax2＋bx＋c≥0恒成立的充要條件是b2－4ac≤0
D. 命題“ x<0，x2<0”的否定是“ x<0，x2≥0”
9 下列關于二次函數y＝(x－2)2－1的說法中，正確的是(　　)
A. x∈R，y＝(x－2)2－1≥1
B. a>－1， x∈R，y＝(x－2)2－1C. a<－1， x∈R，y＝(x－2)2－1＝a
D. x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1
三、 填空題
10 (2024無錫期中)請寫出命題“ x∈R，x2＋3x－10>0”的否定：____________．
11 (2024南通期中)設A，B為兩個非空數集，且A與B之間不存在包含關系，給出下列三個命題：①對任意的x∈A，有x B；②對任意的x∈B，有x A；③存在x∈A，使得x B.上述三個命題的否定是真命題的序號是________．
12 某中學開展小組合作學習模式，某班某組甲同學給組內乙同學出題如下：若命題“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，求實數m的取值范圍．乙略加思索，反手給了甲一道題：若命題“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命題，求實數 m的取值范圍．你認為，兩位同學題中實數m的取值范圍是否一致？________．(填“是”或“否”)
四、 解答題
13 寫出下列命題的否定：
(1) 有些四邊形有外接圓；
(2) 末位數字為9的整數能被3整除；
(3) x∈R，x2＋1<0.
14 已知命題p： x∈R，使x2－x＋m＝0，若命題p的否定是假命題，求實數m的取值范圍．
15 (2025重慶期中)已知命題p： x∈R，x2－6x＋a2≠0，當命題p為假命題時，實數a的取值集合為A.
(1) 求集合A；
(2) 設非空集合B＝{a|3m－2≤a≤m－1}，若B A，求實數m的取值范圍．
1．5　全稱量詞與存在量詞
1.5.1　全稱量詞與存在量詞
1. C　顯然A，B，C均為存在量詞命題，D不是存在量詞命題，故D不符合題意．對于A，因為x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以命題為假命題；對于B，因為矩形都是平行四邊形，所以命題為假命題；對于C，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故命題為真命題，故C正確．
2. C　命題①③為全稱量詞命題，命題②為存在量詞命題．故全稱量詞命題的個數是2.
3. B　顯然A，C，D均為存在量詞命題；B是全稱量詞命題．
4. B　因為p： x∈R，x2＋4x＋a＝0是真命題，所以方程x2＋4x＋a＝0有實數根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，故實數a的取值范圍為{a|a≤4}．
5. A　由x6. A　因為C∩( UC)＝ ，所以“存在集合C使得A C，B UC”可以推出“A∩B＝ ”；反過來，若A∩B＝ ，取C＝A，則A C，B UC，所以“A∩B＝ ”可以推出“存在集合C使得A C，B UC”，故選A.
7. D　若“ x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是真命題，即當－3≤x≤－2時，m<恒成立，則m12”是假命題，則實數m的取值范圍為m≥－6.
8. ABD　顯然C是全稱量詞命題，A，B，D符合題意．故選ABD.
9. AC　對于A，2x＋－1＝0，即(2－1)(＋1)＝0，解得x＝ Z，所以A是假命題；對于B，6能同時被2和3整除，所以B是真命題；對于C，因為所有實數的絕對值非負，即|x|≥0，所以C是假命題；對于D，2既是自然數又是偶數，所以D是真命題．故選AC.
10. (2，4)(答案不唯一)　由a2－ab＋b＝0，化簡，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，則b＝(a≠1).當a＝2時，b＝4，能夠說明“存在不相等的實數a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命題．
11. ②④　命題“負數的平方是正數”是全稱量詞命題，故①錯誤；當a＝1時，2a＝2為質數，故②正確；當k＝0時，函數y＝3是常數函數，不是一次函數，故③錯誤；當x＞3時，x－3＞0，x－1＞0，所以x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＞0，故④正確．
12. {a|a<2}　{a|2≤a≤4}　若命題p： x≤1，a≥3x－1為真命題，則a≥(3x－1)max＝2，所以若命題p是假命題，則a<2.若命題q： x0∈R，x＋4x0＋a＝0為真命題，則Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命題p，q均是真命題，則實數a的取值范圍是{a|2≤a≤4}．
13. (1) 全稱量詞命題，所有的等邊三角形都有三邊對應成比例，該命題是真命題．
(2) 存在量詞命題，存在一個實數零，它的絕對值不是正數，該命題是真命題．
(3) 全稱量詞命題，存在x1＝－5(－3)2，該命題是假命題．
(4) 存在量詞命題，由于x∈R，則x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的實數x不存在，該命題是假命題．
14. (1) 因為關于x的方程x2－4x＋m＝0無實數根，
所以Δ＝16－4m<0，解得m>4，即B＝{m|m>4}．
(2) 因為A＝{x|3a所以3a因為x∈A是x∈B的充分不必要條件，所以A?B，
所以3a≥4，即a≥.
綜上可得≤a<2，即實數a的取值范圍是{a|≤a<2}．
15. 假設存在整數m，使得命題“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命題．
因為當x≥－時，x＋1≥，
所以－5<3－4m<，解得又m為整數，所以m＝1，故存在整數m＝1，使得命題“ x≥－，－5<3－4m1．5.2　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
1. A　因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“ x∈R，x2＋2x－4>0”的否定是“ x∈R，x2＋2x－4≤0”．
2. C　當x0＝9時，x0－2>，故命題p為真命題；當x＝0時，x2＝0，故命題q為假命題．
3. B　由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得命題p的否定是 a∈R，ax2－2x＋1＝0無實數解．
4. D　對于①，假設a<1，b<1，則a＋b<2，與條件矛盾，故①是真命題；對于②，當a＝b＝2時，a＋b＝ab，故②是真命題；對于③，“所有奇數都是素數”的否定為“至少有一個奇數不是素數”，故③是真命題．故真命題的個數是3.
5. D　對于A，由x2－3x＋2＝0，得x＝2或x＝1，所以“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件，故A錯誤；對于B，取x＝1，x2＋1＞2x不成立，故B錯誤；對于C，x2＋1＝x，即x2－x＋1＝0，此方程沒有實數解，故C錯誤；對于D，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故D正確．
6. C　命題“ x∈R，x2＋(a－1)x＋≤0”的否定為“ x∈R，x2＋(a－1)x＋>0”，“ x∈R，x2＋(a－1)x＋>0”是真命題，則Δ＝(a－1)2－a2<0，解得a>.
7. D　根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知命題p： x∈R，>0的否定 p為 x∈R，≤0或x－1＝0.
8. ABD　對于A，令f(x)＝x2＋x＋m，方程x2＋x＋m＝0有一個正根和一個負根，則f(0)<0，解得m<0，所以“m<1”是“方程x2＋x＋m＝0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，故A正確；對于B，當y＝0，x>z時，則xy2＝zy2，若xy2>zy2成立，則y≠0，則y2>0，所以x>z，所以“xy2>zy2”是“x>z”的充分不必要條件，故B正確；對于C，當a<0時，若b2－4ac≤0，則ax2＋bx＋c≤0恒成立，故C錯誤；對于D，命題“ x<0，x2<0”的否定是“ x<0，x2≥0”，故D正確．故選ABD.
9. BD　二次函數y＝(x－2)2－1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，且最小值為－1.對于A，因為y＝(x－2)2－1≥－1，所以 x∈R，y＝(x－2)2－1≥1不成立，故A錯誤；對于B，因為 x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以 a>－1， x∈R，y＝(x－2)2－110. x∈R，x2＋3x－10≤0　“ x∈R，x2＋3x－10>0”的否定為 x∈R，x2＋3x－10≤0.
11. ①②　根據題意，設A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，則A與B之間不存在包含關系．因為3∈A且3∈B，所以①②是假命題；由A，B≠ ，若A∩B＝ ，即 x∈A，都有x B，若A∩B≠ 且A，B不存在包含關系，則必 x∈A，使x B，所以③是真命題．綜上，①②中的命題的否定是真命題，③中的命題的否定是假命題．
12. 是　因為命題“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，命題“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，所以其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”為真命題，所以兩位同學題中實數m的取值范圍是一致的．
13. (1) 所有的四邊形都沒有外接圓．
(2) 存在一個末位數字為9的整數不能被3整除．
(3) x∈R，x2＋1≥0.
14. 命題p的否定是假命題，則命題p是真命題，
所以關于x的方程x2－x＋m＝0有實數解，
所以Δ＝1－4m≥0，解得m≤，
所以實數m的取值范圍是{m|m≤}．
15. (1) 由題意，得 p： x∈R，x2－6x＋a2＝0為真命題，
所以Δ＝36－4a2≥0，所以－3≤a≤3，
即集合A＝{x|－3≤x≤3}．
(2) 因為集合B非空，所以3m－2≤m－1，即m≤.
因為B A，所以解得－≤m≤4，
所以－≤m≤，
所以實數m的取值范圍為.

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