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2．1　等式性質與不等式性質
一、 單項選擇題
1 (2024南充期中)設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則M，N的大小關系為(　　)
A. M>N B. M≤N
C. M2 若x∈R，y∈R，則下列結論中正確的是(　　)
A. x2＋y2>2xy－1
B. x2＋y2＝2xy－1
C. x2＋y2<2xy－1
D. x2＋y2≤2xy－1
3 (2024伊春月考)已知a＝，b＝，c＝a2，則a，b，c的大小關系為(　　)
A. c>a>b B. b>c>a
C. c>b>a D. b>a>c
4 (2024長沙期中)已知a>b>c>0，則下列結論中正確的是(　　)
A. a＋c>2b＋c B. acC. > D. ac5 對任意給定的實數a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，則等號成立的條件是(　　)
A. ab>0 B. ab<0
C. ab≥0 D. ab≤0
6 (2024濱州月考)若不等式組的解集是{x|x>2}，則實數m的取值范圍為(　　)
A. {m|m>2} B. {m|m≤2}
C. {m|m≥2} D. 無法確定
7 足球賽期間，某球迷俱樂部一行56人從旅館乘出租車到球場為中國隊加油，現有A，B兩個出租車隊，A隊比B隊少3輛車．若全部安排乘A隊的車，每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐 6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿，則A隊有出租車(　　)
A. 11輛 B. 10輛
C. 9輛 D. 8輛
二、 多項選擇題
8 (2024廣州期中)已知6A. <<4 B. 21C. －99 生活經驗告訴我們，ag糖水中有bg糖(a>0，b>0，且a>b)，若再添加cg糖(c>0)后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：>，趣稱之為“糖水不等式”．根據生活經驗和不等式的性質判斷下列命題中，一定正確的是(　　)
A. 若a>b>0，m>0，則與的大小關系隨m的變化而變化
B. 若b>a>0，m>0，則>
C. 若a>b>0，c>d>0，則<
D. 若a>0，b>0，則一定有＋<＋
三、 填空題
10 (2024海口期中)已知實數x，y滿足1≤x≤2，6≤y≤8，則的取值范圍是________．
11 “a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的________條件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)
12 (2024河西期中)若實數a，b滿足－1四、 解答題
13 已知二次函數y＝ax2＋bx＋c滿足以下條件：
①該函數的圖象過原點；
②當x＝－1時，y的取值范圍為大于等于1且小于等于2；
③當x＝1時，y的取值范圍為大于等于3且小于等于4.
求當x＝－2時，y的取值范圍．
14 東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖．A種糖每千克p1元，B種糖每千克p2元(兩種糖價格不相等).東東買了相同質量的兩種糖，華華買了相同價錢的兩種糖．請問兩人買到糖的平均價格分別是多少？誰買的糖的平均價格比較高？請證明你的結論．(物品的平均價格＝物品的總價錢÷物品的總質量)
15 (2024河源月考)已知－1(1) 求x的取值范圍；
(2) 求3x＋2y的取值范圍．
2.1　等式性質與不等式性質
1. A　由題意，得M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.
2. A　因為x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.
3. D　因為b＝＝，且＋>＋1>0，所以b>a.又00，得a>c，故b>a>c.
4. C　對于A，因為a>b>c>0，不妨取a＝3，b＝2，c＝1，則a＋c＝4，2b＋c＝5，此時a＋c<2b＋c，故A錯誤；對于B，因為a>b>c>0，由不等式的可乘性，得ac>bc，故B錯誤；對于C，由B知ac>bc，所以－＝>0，即>，故C正確；對于D，不妨取a＝3，b＝2，c＝1，則ac＝3>2＝bc，故D錯誤．
5. C　由|a＋b|≤|a|＋|b|，得(a＋b)2≤(|a|＋|b|)2，即ab≤|ab|，所以不等式取等號時，ab≥0.
6. B　因為不等式組的解集是{x|x>2}，所以m≤2.
7. B　設A隊有出租車x輛，則B隊有出租車(x＋3)輛．由題意，得即解得8. AB　因為69. BCD　對于A，因為a>b>0，m>0，所以－＝>0，所以>，故A錯誤；對于B，因為b>a>0，m>0，所以－＝<0，所以>，故B正確；對于C，因為a>b>0，c>d>0，所以a－b>0，c－d>0，所以－＝＝>0，所以<，故C正確；對于D，因為0<1＋a<1＋a＋b，0<1＋b<1＋a＋b，所以>，>，所以＋>＋，故D正確．故選BCD.
10. 3≤≤8　因為1≤x≤2，所以≤≤1.因為6≤y≤8，所以×6≤≤1×8，即3≤≤8，所以的取值范圍是3≤≤8.
11. 充分不必要　若a>2，且b>2，則由不等式的性質可得a＋b>4，ab>2×2＝4，即“a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的充分條件；反之，“a＋b>4且ab>4”，則“a>2且b>2”不一定成立，例如a＝10，b＝，所以“a>2且b>2”是“a＋b>4且ab>4”的充分不必要條件．
12. －313. 因為二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象過原點，
所以c＝0，所以y＝ax2＋bx，
可得當x＝－1時，1≤a－b≤2，①
當x＝1時，3≤a＋b≤4，②
當x＝－2時，y＝4a－2b.
設存在實數m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
則4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
所以解得
所以4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b).
由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6，
所以3＋3≤4a－2b≤4＋6，即6≤4a－2b≤10，
故當x＝－2時，y的取值范圍是{y|6≤y≤10}．
14. 對于東東而言，他買到的糖的平均價格為(元/kg).
對于華華而言，設華華買兩種糖的費用均為c元，
則他買到的糖的總質量為(＋)kg，
故華華買到的糖的平均價格為＝(元/kg).
因為－＝>0，
所以東東買到的糖的平均價格較高．
15. (1) 因為－1所以兩個不等式相加可得1<2x<7，解得(2) 設3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
則所以
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y).
又因為－1所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，
所以3x＋2y的取值范圍為－<3x＋2y<.

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