資源簡介

2．2　基本不等式
2.2.1　基本不等式(1)
一、 單項選擇題
1 已知a，b∈R，且aA. < B. ＋>2
C. > D. >
2 (2024福州期末)已知a，b∈R，則“a>0且b>0”是“a＋b>”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
3 若m，n，a，b，c，d均為正數(shù)，p＝＋，q＝·，則p，q的大小關(guān)系為　(　　)
A. p≥q B. p≤q
C. p>q D. 無法確定
4 已知y＝3－x－，則當(dāng)x<0時，y有(　　)
A. 最大值3＋2 B. 最小值3＋2
C. 最大值3－2 D. 最小值3－2
5 (2024南昌月考)已知a，b∈R，則下列不等式始終成立的是(　　)
A. a2＋b2>2(a－b－1)
B. ＋b≥2a
C. ≥
D. 2≥ab
6 (2024南寧月考)近來牛肉價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的牛肉價格分別為a元/斤，b元/斤，a≠b，甲和乙購買牛肉的方式不同，甲每周購買30元錢的牛肉，乙每周購買6斤牛肉，甲、乙這兩周購買牛肉的平均單價分別記為m1，m2，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A. m1＝m2 B. m1>m2
C. m17 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”．如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB上的一點(不同于點A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足為E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為(　　)
A. ≤(a>0，b>0)
B. <(a>0，b>0，a≠b)
C. ≤(a>0，b>0)
D. <<(a>0，b>0，a≠b)
二、 多項選擇題
8 (2024日照期中)已知bA. a2b2
C. ＋>2 D. <
9 《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為a＋b，寬為內(nèi)接正方形的邊長d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊BC的中點，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形的對角線AE，過點A作AF⊥BC于點F，則下列說法中正確的是(　　)
圖1 圖2 圖3
A. 由圖1和圖2的面積相等，得d＝
B. 由AE≥AF，得≥
C. 由AD≥AE，得≥
D. 由AD≥AF，得a2＋b2≥2ab
三、 填空題
10 已知x>0，y>0，且滿足x＋y－xy＝0，則x＋y的最小值為________．
11 (2024寶山期中)嘉文計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度沒有限制)的矩形菜園．若菜園的面積S為72 m2，則所用籬笆總長C的最小值是________m.
12 (2024河西期中)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，則的最小值為________．
四、 解答題
13 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求證：≥9.
14 (2024福州期中)已知a>0，b>0.
(1) 比較a2＋a與2ab－b2的大小；
(2) 若a＋b＋3＝ab，求ab的最小值．
15 (1) 已知a>b>0，c.
(2) 已知x，y，z都是正數(shù)，求證：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
2．2.2　基本不等式(2)
一、 單項選擇題
1 (2024瀘州月考)已知x>0，y>0且x＋4y＝1，則的最小值為(　　)
A. 4 B. 8 C. 9 D. 10
2 (2024北京順義期末)已知a>0，b>0，則“a＋b>1”是“ab>”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
3 (2025定西期末)已知x∈(－2，＋∞)，則y＝x＋的最小值為(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4 已知x>0，則的最大值為(　　)
A. B. C. D. 1
5 (2025虹口期末)設(shè)正實數(shù)m，n滿足m＋n＝1，則下列結(jié)論中錯誤的是(　　)
A. ＋的最小值為4
B. ＋的最大值為
C. 的最大值為
D. m2＋n2的最小值為
6 (2024泉州月考)設(shè)a>0，b>1，若a＋b＝2，則＋的最小值為(　　)
A. 6 B. 9 C. 3 D. 18
7 已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝3，若a5＋b5≥λab恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
二、 多項選擇題
8 (2024十堰月考)下列說法中，正確的有(　　)
A. y＝的最小值為2
B. 已知x>1，則y＝2x＋－1的最小值為4＋1
C. 若正數(shù)x，y滿足x＋2y＝3xy，則2x＋y的最小值為3
D. 因為x，y∈R，xy<0，所以＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2
9 (2024柳州期末)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. xy的最小值為
B. xy的最大值為
C. ＋的最小值為8
D. ＋的最大值為8
三、 填空題
10 (2024湛江月考)已知x，y是實數(shù)，x>0，y>1，且2x＋y＝2，則＋的最小值為________．
11 設(shè)a>0，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
12 (2025渭南期末)若對任意x∈(0，＋∞)，不等式≥恒成立，則實數(shù)a的最小值是________．
四、 解答題
13 已知x>，求4x－2＋的最小值．
14 (2024海南期中)
(1) 若0(2) 已知x>－1，求y＝的最小值．
15 已知a>0，b>0，a＋3b＝1.
(1) 求＋的最小值；
(2) 若m>a2＋9b2＋7ab恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
2．2.3　基本不等式(3)
一、 單項選擇題
1 若命題“對任意的x>0，x＋－m>0都成立”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A. {m|m≥2} B. {m|m>2}
C. {m|m≤2} D. {m|m<2}
2 若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則＋的最小值是(　　)
A. 5 B. 6 C. 9 D. 11
3 (2024邵陽期末)若正實數(shù)x，y滿足4x＋y－xy＝0，則的最大值為(　　)
A. B. C. D.
4 (2024成都月考)在R上定義運算?：x y＝x(1－y)，若當(dāng)0A. B.
C. D.
5 (2024自貢月考)已知a>0，b>0，且＋＝1，則a＋2b的最小值為(　　)
A. B. 3＋2 C. 5 D. 6
6 (2025四川期末)某市交通管理部門通過大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，某路段的車流量f(v)(單位：千輛/h)與車速v(單位：km/h)近似滿足f(v)＝200×(v>10)，為保障最大車流量，應(yīng)建議車速v為(　　)
A. 50 km/h B. 60 km/h
C. 70 km/h D. 80 km/h
7 (2024福州月考)已知x>1，y>1，且x＋y－xy＝，則2x＋y的最小值是(　　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 5
二、 多項選擇題
8 (2024重慶月考)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. min＝3＋2
B. (＋)min＝
C. ()max＝
D. (a2＋b2)min＝
9 如圖，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C，已知AB＝3 m，AD＝2 m，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 當(dāng)AN的長為8 m時，矩形AMPN的面積為32 m2
B. 若矩形AMPN的面積為32 m2，則AM的長為4 m
C. 當(dāng)AN的長為4 m時，矩形AMPN的面積最小
D. 矩形AMPN面積的最小值為24 m2
三、 填空題
10 已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的點，則點P到AC，BC距離的乘積的最大值是________．
11 (2025重慶長壽期末)已知圓O的面積為16π，矩形ABCD的四個頂點均在圓O上，則矩形ABCD的面積最大值為________．
12 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(0，a)，C(a，0)(a>1)，四邊形OABC是正方形．函數(shù)y＝x－的圖象與線段BC交于點P，函數(shù)y＝2x2的圖象與線段AB交于點Q.當(dāng)AQ＋CP最小時，實數(shù)a的值為________．
四、 解答題
13 要設(shè)計如圖所示的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左、中、右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60 000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間中縫空白的寬度為 5cm，怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸(單位：cm)，能使整個矩形廣告面積最小？
14 (2025長沙期末)某工廠更新技術(shù)開發(fā)研制了一款新產(chǎn)品，通過調(diào)研知，往年每年生產(chǎn)x千件產(chǎn)品，獲利C(x)千元，且C(x)＝更新技術(shù)后需要另外投入費用(x＋2)千元，且每千件產(chǎn)品比之前多盈利2千元，生產(chǎn)的產(chǎn)品供不應(yīng)求，均能售完．
(1) 求更新技術(shù)后的利潤L(x)(千元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；
(2) 更新技術(shù)后，當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，工廠所獲利潤最大？并求出最大利潤．
15 (2024成都期末)如圖，一條筆直的河流l(忽略河的寬度)兩側(cè)各有一個社區(qū)A，B(忽略社區(qū)的大小)，A社區(qū)距離l上最近的點A0的距離是2 km，B社區(qū)距離l上最近的點B0的距離是1 km，且A0B0＝4 km.P是線段A0B0上一點，設(shè)A0P＝a km.現(xiàn)規(guī)劃了如下三項工程：
工程1：在點P處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；
工程2：將直角三角形AA0P地塊全部修建為面積至少1 km2的文化主題公園，且每平方千米的造價為(1＋)億元；
工程3：將直角三角形BB0P地塊全部修建為面積至少0.25 km2的濕地公園，且每平方千米造價為1億元．
記這三項工程的總造價為W億元．
(1) 求實數(shù)a的取值范圍；
(2) 問點P在何處時，W最小？并求出該最小值．
2．2　基本不等式
2.2.1　基本不等式(1)
1. B　對于A，因為a，故A錯誤；對于B，因為a0，>0，所以＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝1，即a＝b時，等號成立．又a2，故B正確；對于C，因為a0，所以<，故C錯誤；對于D，因為a－>0.又－a>－b>0，所以(－)·(－a)>(－)·(－b)>0，即>，故D錯誤．
2. A　由a>0且b>0，及基本不等式的性質(zhì)a＋b≥2，得a＋b>；當(dāng)a＝1，b＝0時，滿足a＋b>，不能夠推出a>0且b>0，故“a>0且b>0”是“a＋b>”的充分不必要條件．
3. B　因為m，n，a，b，c，d均為正數(shù)，所以q＝≥＝＋＝p，當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立．
4. B　當(dāng)x<0時，y＝3＋[(－x)＋(－)]≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時，等號成立，故y有最小值3＋2.
5. D　對于A，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故A錯誤；對于B，不等式只有當(dāng)b>0時才成立，故B錯誤；對于C，不等式只有當(dāng)a≥0，b≥0時才成立，故C錯誤；對于D，因為2－ab＝()2≥0，所以()2≥ab，故D正確．
6. C　由題意，得m1＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，m2＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．因為a不等于b，所以m1<7. D　由AC＝a，BC＝b，得半圓O的半徑DO＝，DC＝＝＝，DE＝＝.因為DE0，b>0，a≠b).
8. ACD　因為a2－b2＝(a＋b)(a－b)，b0，所以a2－b2<0，即a20，故ab0，>0，所以＋≥2＝2，當(dāng)＝，即a＝b時取等號，又b2，故C正確；因為－＝＝，＋>0，b－a<0，所以<，故D正確．故選ACD.
9. BCD　對于A，由圖1，圖2的面積相等，得S＝ab＝(a＋b)d，所以d＝，故A錯誤；對于B，因為AF⊥BC，所以ab＝·AF，所以AF＝，設(shè)圖3中內(nèi)接正方形的邊長為t，根據(jù)三角形的相似，得＝，解得t＝，所以AE＝t＝.因為AE≥AF，所以≥，整理，得≥，故B正確；對于C，因為D為斜邊BC的中點，所以AD＝.因為AD≥AE，所以≥，整理，得≥，故C正確；對于D，因為AD≥AF，所以≥，整理，得a2＋b2≥2ab，故D正確．故選BCD.
10. 4　因為x＋y－xy＝0，所以＋＝1.又x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)＝2時，等號成立，所以x＋y的最小值為4.
11. 24　令垂直于墻的矩形邊長為y m，平行于墻的矩形邊長為x m，則xy＝72，所以C＝x＋2y≥2＝24，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝12時取等號，所以所用籬笆總長C的最小值是24 m.
12. 25　因為x>0，y>0，x＋2y＝1，所以＝＝≥＝＝25，當(dāng)且僅當(dāng)3x2＝12y2，即x＝2y＝時，等號成立，所以的最小值為25.
13. 因為a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＝(1＋)(1＋)＝＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時，等號成立．
故原不等式得證．
14. (1) 因為a2＋a－(2ab－b2)＝a2－2ab＋b2＋a＝(a－b)2＋a，且a>0，b>0，(a－b)2≥0，
所以a2＋a－(2ab－b2)＝(a－b)2＋a>0，
所以a2＋a>2ab－b2.
(2) 由a＋b＋3＝ab，得a＋b＝ab－3.
因為a＋b≥2，所以ab－3≥2，整理，得(－3)(＋1)≥0，且＋1>0，則－3≥0，所以ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時，等號成立，
故ab的最小值為9.
15. (1) 由c－d>0.
又a>b>0，故a－c>b－d>0，
所以<.
又e<0，所以>.
(2) 因為x>0，y>0，z>0，
所以x＋y≥2>0，y＋z≥2>0，x＋z≥2>0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時，等號成立，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8＝8xyz，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
2．2.2　基本不等式(2)
1. C　因為x＋4y＝1，所以＝＋＝(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時等號成立．
2. B　若a＋b>1，可取a＝1，b＝，則ab>不成立，即充分性不成立；若ab>，則a＋b≥2>2＝1，即必要性成立．綜上，“a＋b>1”是“ab>”的必要不充分條件．
3. B　由x∈(－2，＋∞)，得x＋2>0，故y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋2＝，即x＝2時，等號成立，所以y＝x＋的最小值為6.
4. B　當(dāng)x＞0時，x＋1≥2＞0，所以≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立，故的最大值為.
5. C　對于A，因為m>0，n>0，m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝n＝時，等號成立，故A正確；對于B，由m＋n＝1≥2，得≤，(＋)2＝m＋n＋2≤1＋1＝2，所以＋≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝n＝時，等號成立，故B正確；對于C，因為m＋n＝1≥2，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時，等號成立，故C錯誤；對于D，m2＋n2≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時，等號成立，故D正確．
6. B　因為a>0，b>1，且a＋b＝2，所以b－1>0且a＋(b－1)＝1，所以＋＝[a＋(b－1)]＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝且b＝時取等號，故＋的最小值為9.
7. B　由題意，得＋≥λ.因為正數(shù)a，b滿足a＋b＝3，所以＋＝＝≥＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即a＝，b＝時，兩個等號同時成立，所以λ的取值范圍為.
8. BCD　對于A，當(dāng)x<0時，y＝<0，故A錯誤；對于B，當(dāng)x>1時，x－1>0，則y＝2x＋－1＝2(x－1)＋＋1≥2＋1＝4＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋1時，等號成立，故B正確；對于C，若正數(shù)x，y滿足x＋2y＝3xy，則3＝＝＋，2x＋y＝(2x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故C正確；對于D，因為x，y∈R，xy<0，所以<0，<0，所以－>0，－>0，所以＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝－y時取等號，故D正確．故選BCD.
9. BC　因為x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以2x＋y≥2＝2·，則xy≤()2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝時，等號成立，故A錯誤，B正確；＋＝(＋)(2x＋y)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝時，等號成立，故C正確，D錯誤．故選BC.
10. 4　由x>0，y>1，得x>0，y－1>0.由2x＋y＝2，得2x＋(y－1)＝1，所以＋＝[2x＋(y－1)]·＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y－1＝2x＝時取等號，所以＋的最小值為4.
11. 3　由≤[()2＋()2]，得＋≤＝＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3，即a＝，b＝時，等號成立，故＋的最大值為3.
12. 　因為對任意x∈(0，＋∞)，不等式≥，所以a≥，即a≥.又≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號，則a≥，所以實數(shù)a的最小值是.
13. 因為x>，所以4x－5>0，
所以4x－2＋＝4x－5＋＋3≥
2＋3＝2＋3＝5，
當(dāng)且僅當(dāng)4x－5＝，即x＝時，等號成立，
所以4x－2＋的最小值為5.
14. (1) 由0故y＝x(2－x)的最大值為1.
(2) 當(dāng)x>－1時，x＋1>0，
則y＝＝＝x＋1＋≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝2時取等號，
所以y＝的最小值為6.
15. (1) 因為a>0，b>0，a＋3b＝1，
所以＋＝(a＋3b)＝10＋＋≥10＋2＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時，等號成立，
故＋有最小值16.
(2) 因為a>0，b>0，a＋3b＝1，
所以a＝1－3b，0所以a2＋9b2＋7ab＝(1－3b)2＋9b2＋7b(1－3b)＝－3b2＋b＋1＝－3＋，
當(dāng)b＝時，a2＋9b2＋7ab有最大值.
因為m>a2＋9b2＋7ab恒成立，所以m>.
故實數(shù)m的取值范圍是{m|m>}．
2．2.3　基本不等式(3)
1. D　由命題“對任意的x>0，x＋－m>0都成立”為真命題，得當(dāng)x>0時，m2. C　因為a>0，b>0，所以＋＝5＋＋＝5＋(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即a＝，b＝時，等號成立，故＋的最小值為9.
3. D　由正實數(shù)x，y滿足4x＋y－xy＝0，得＋＝1，x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝2x＝6時，等號成立，所以≤＝，即的最大值為.
4. B　由題意，得(ax－2) (1－x)＝(ax－2)[1－(1－x)]＝ax2－2x<－3a在05. B　由題意，得a＋2b＝[(a＋b)＋b]＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝1，b＝＋1時等號成立，所以所求最小值為3＋2.
6. B　由題意知v>10，則v－10>0，>0，f(v)＝＝＝≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)v－10＝，即v＝60時，等號成立，所以當(dāng)汽車的平均速度為60 km/h時，車流量最大．
7. D　由x＋y－xy＝，得(x－1)(y－1)＝.因為x>1，y>1，所以x－1>0，y－1>0，則2x＋y＝2(x－1)＋(y－1)＋3≥2＋3＝5，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝(y－1)，即x＝，y＝2時，等號成立，所以2x＋y的最小值是5.
8. ACD　對于A，＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝a＝2－時取等號，故A正確；對于B，＋＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，故B錯誤；對于C，≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，故C正確；對于D，a2＋b2＝≥(a＋b)2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，故D正確．故選ACD.
9. ACD　設(shè)AN的長為x m(x>2)，則由＝，得AM＝，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.令x＝8，則S矩形AMPN＝32 m2，故A正確；由S矩形AMPN＝32，得＝32.又x>2，所以3x2－32x＋64＝0，解得x＝或x＝8，所以AM的長度為12 m或4 m，故B錯誤；因為S矩形AMPN＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，當(dāng)且僅當(dāng)3(x－2)＝，即x＝4時，等號成立，所以當(dāng)AN的長度是4 m時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24 m2，故C，D正確．故選ACD.
10. 3　設(shè)點P到AC，BC的距離分別為x，y，則由題意，得＝，所以4x＋3y＝12.又4x＋3y≥2，所以xy≤3，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝3y，即x＝，y＝2時，等號成立，故點P到AC，BC距離的乘積的最大值為3.
11. 32　設(shè)圓的半徑為r，則πr2＝16π，解得r＝4.設(shè)矩形的長為a，寬為b.因為矩形ABCD的四個頂點均在圓O上，所以AC＝BD＝2r＝8，所以a2＋b2＝AC2＝64.因為64＝a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時取等號，所以ab≤32，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時取等號，所以矩形ABCD的面積最大值為32.
12. 　因為A(0，a)，C(a，0)(a>1)，四邊形OABC是正方形，函數(shù)y＝x－的圖象與線段BC交于點P, 所以CP＝.又函數(shù)y＝2x2的圖象與線段AB交于點Q，所以AQ＝.因為a>1，所以AQ＋CP＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝時，等號成立，所以當(dāng)a＝時，AQ＋CP最小．
13. 設(shè)矩形欄目的高為acm，寬為bcm，
則ab＝20 000，所以b＝，廣告的高為(a＋20)cm，寬為(3b＋30)cm(其中a>0，b>0)，
廣告的面積S＝(a＋20)(3b＋30)＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600≥30×2＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝200時，等號成立，此時b＝100.
故當(dāng)廣告矩形欄目的高為200cm，寬為100cm時，可使整個矩形廣告的面積最小．
14. (1) 由已知，得L(x)＝C(x)－(x＋2)＋2x.
又C(x)＝
所以L(x)＝
(2) 當(dāng)0當(dāng)2因為370<390，
所以L(x)的最大值為390，
故當(dāng)產(chǎn)量為3千件時，該工廠利潤最大，最大利潤是390千元．
15. (1) 因為要將直角三角形BB0P地塊全部修建為面積至少 0.25 km2的濕地公園，
所以S△BB0P＝BB0·B0P＝×1×(4－a)≥0.25，
解得a≤.
因為要將直角三角形AA0P地塊全部修建為面積至少1 km2的文化主題公園，
所以S△AA0P＝AA0·A0P＝×2×a≥1，
解得a≥1，
故實數(shù)a的取值范圍為.
(2) 由題意，得W＝(1＋)·a＋1×＋0.1＝a＋＋＋0.1＝＋＋2.1≥2＋2.1＝2×＋2.1＝5.1，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3時，等號成立，
所以當(dāng)點P滿足A0P＝3時，W取得最小值5.1億元．

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