資源簡介

3.1.1　函數的概念(1)
一、 單項選擇題
1 已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個對應關系：①y＝；②y＝x＋1；③y＝|x|；④y＝x2.請由函數的定義判斷，其中能構成從M到N的函數的是(　　)
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④
2 (2024陽泉期末)函數f(x)＝－的定義域是(　　)
A. {x|x≥－2且x≠0}
B. {x|x≥－2}
C. R
D. {x|x≠0，x∈R}
3 (2024江門月考)下列各組函數f(x)與g(x)的圖象相同的是(　　)
A. f(x)＝x，g(x)＝()2
B. f(x)＝|x|，g(x)＝
C. f(x)＝1，g(x)＝x0
D. f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
4 (2025汕尾期末)下列函數中，其定義域為R的是(　　)
A. y＝
B. y＝
C. y＝
D. y＝
5 下列對應關系是集合M＝{－1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函數的是(　　)
A. y＝2x B. y＝x＋2
C. y＝x2 D. y＝2x
6 (2024韶關階段練習)設集合M＝{1，2，3}，N＝{e，g，h}，如下選項是從M到N的四種對應關系，其中是M到N的函數是(　　)
A B C D
7 函數y＝的定義域為(　　)
A. {x|－4≤x≤1}
B. {x|－1≤x<0或0C. {x|－1≤x≤4}
D. {x|－4≤x<0或0二、 多項選擇題
8 集合A，B與對應關系f如圖所示，則f：A→B是從集合A到集合B的函數的是(　　)
A B C D
9 下列說法中，正確的有(　　)
A. f(x)＝與g(x)＝表示同一函數
B. 函數f(x)＝x2＋2＋的最小值為2
C. 函數y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個
D. 若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝1
三、 填空題
10 (2025北京東城期末)函數f(x)＝的定義域為________．
11 (2024佛山月考)已知四組函數：①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x0；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1，其中表示同一函數的是________．(填序號)
12 已知函數f(x)＝的定義域為A，g(x)＝的定義域為B，則B＝________；使A B的實數a的取值范圍是________．
四、 解答題
13 (2024中山月考)求下列函數的定義域：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝；
(3) f(x)＝；
(4) f(x)＝；
(5) f(x)＝.
14 在一張邊長為20 cm的正方形鐵皮的四個角上，各剪去一個邊長是x cm的小正方形，折成一個容積是y cm3的無蓋長方體鐵盒，試寫出用x表示y的函數關系式，并指出它的定義域．
15 已知非空集合A＝{x|2a－1(1) 若a＝－1，求A∩( RB)；
(2) 在①A∪B＝B；②A (A∩B)；③A∩B＝ 這三個條件中任選一個，求滿足條件的實數a構成的集合P.
3．1.1　函數的概念(2)
一、 單項選擇題
1 (2024山西期中)函數f(x)＝＋的定義域為(　　)
A. (0，1] B. [0，1]
C. (0，＋∞) D. [1，＋∞)
2 (2024新疆期中)下列函數的定義域與值域相同的是(　　)
A. y＝x＋1 B. y＝2
C. y＝x2－6x＋7 D. y＝x2－1
3 (2024西安月考)已知函數y＝f(x)的定義域為[－2，3]，則函數y＝的定義域為(　　)
A. B. ∪(－1，1]
C. [－3，7] D. [－3，－1)∪(－1，7]
4 (2024重慶期末)已知函數y＝f(x－1)的定義域為(1，5)，則函數y＝f(x2)的定義域為(　　)
A. (－2，0) B. (0，2)
C. (－2，2) D. (－2，0)∪(0，2)
5 已知集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝x2}，則A∩B等于(　　)
A. R B. [0，＋∞)
C. {(0，0)，(1，1)} D.
6 已知等腰三角形ABC的周長為10，底邊長y關于腰長x的函數關系式為y＝10－2x，則此函數的定義域為(　　)
A. {x|x＞0} B. {x|0＜x＜5}
C. D.
7 已知函數y＝f(x)＋1的值域為(1，3)，則函數y＝－2f(x)的值域為(　　)
A. (－4，0) B. (－6，－2)
C. (2，6) D. (0，4)
二、 多項選擇題
8 已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝}，則下列結論中錯誤的是(　　)
A. A∩( RB)＝{－2，－1，0} B. B [0，＋∞)
C. A∪( RB)＝(－∞，0]∪{1，2} D. A∩B有4個真子集
9 (2024泰州期末)已知函數f(x)＝x2的值域為[0，4]，則f(x)的定義域可以是(　　)
A. [0，2] B. [－2，1]
C. [1，2] D. {－2，0，2}
三、 填空題
10 高斯被認為是歷史上最重要的數學家之一，享有“數學王子”之稱．函數y＝[x]稱為高斯函數，其中[x]表示不超過實數x的最大整數，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，當x∈(－1.5，2)時，函數y＝[x]x的值域為________．
11 已知函數f(x)＝＋，則函數的定義域為________，值域為________．
12 [x]表示不超過x的最大整數，例如[－1.1]＝－2，[2.1]＝2，則函數y＝的最小值為________，最大值為________．
四、 解答題
13 已知函數f(x)＝x2的定義域是[0，3]，試求函數g(x)＝f(2x)－f(x＋2)的值域．
14 (2024北京階段練習)已知－15 已知函數f(x)＝.
(1) 若f(x)的定義域為[－2，1]，求實數m的值；
(2) 若f(x)的定義域為R，求實數m的取值范圍．
3.1.1　函數的概念(1)
1. C　對應關系若能構成從M到N的函數，需滿足：對M中的任意一個數，通過對應關系在N中都有唯一的數與之對應．對于①，y＝，當x＝2時，y＝ N，故①不滿足題意；對于②，y＝x＋1，當x＝－1時，y＝－1＋1＝0 N，故②不滿足題意；對于③，y＝|x|，當x＝1時，y＝1∈N，當x＝－1時，y＝1∈N，當x＝2時，y＝2∈N，當x＝4時，y＝4∈N，故③滿足題意；對于④，y＝x2，當x＝±1時，y＝1∈N，當x＝2時，y＝4∈N，當x＝4時，y＝16∈N，故④滿足題意．
2. A　要使函數有意義，則解得x≥－2且x≠0.
3. B　對于A，易知f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為[0，＋∞)，定義域不同，圖象不可能相同，故A錯誤；對于B，將f(x)＝|x|改寫成分段函數的形式與g(x)完全相同，故B正確；對于C，f(x)＝1的定義域為R，g(x)＝x0的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，定義域不同，圖象不可能相同，故C錯誤；對于D，將f(x)＝x2的圖象向左平移1個單位長度后可得g(x)＝(x＋1)2，所以其圖象不相同，故D錯誤．
4. C　對于AB，根號里二次函數的圖象開口向下，不滿足題意，故AB錯誤；對于C，根號里二次函數開口向上，且Δ＝(－4)2－36＝－20<0，所以x2－4x＋9>0對x∈R恒成立，故C正確；對于D，根號里二次函數開口向上，且Δ＝42＋36＝52>0，所以 x∈R，x2＋4x－9<0，故D錯誤．
5. C　對于A，集合M中的元素－1按對應關系y＝2x在集合N中沒有元素與之對應，故A錯誤；對于B，集合M中的元素4按對應關系y＝x＋2在集合N中沒有元素與之對應，故B錯誤；對于C，集合M中的每個元素按對應關系y＝x2在集合N中都有唯一元素與之對應，故C正確；對于D，集合M中的元素－1按對應關系y＝2x在集合N中沒有元素與之對應，故D錯誤．
6. C　對于A，集合M中的3對應了集合N中的兩個數，故A錯誤；對于B，集合M中的2對應了集合N中的兩個數，故B錯誤；對于C，集合M中的每個數在集合N中都有唯一的數與之對應，故C正確；對于D，集合M中的3對應了集合N中的兩個數，故D錯誤．
7. D　由題意，得解得－4≤x≤1且x≠0，所以該函數的定義域為{x|－4≤x<0或08. AC　對于A，集合A中任何一個元素在集合B中都有唯一一個與之對應，是函數；對于B，集合A中存在元素3在集合B中沒有對應，不是函數；對于C，集合A中任何一個元素在集合B中都有唯一一個與之對應，是函數；對于D，集合A中存在元素5在集合B中有2個元素與之對應，不是函數．故選AC.
9. CD　對于A，f(x)＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝的定義域為R，兩個函數的定義域不同，故兩者不是同一函數，故A錯誤；對于B，由基本不等式可得f(x)＝x2＋2＋≥2，但x2＋2＝1無解，故前者等號不成立，故f(x)>2，故B錯誤；對于C，由函數定義可得函數y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個，故C正確；對于D，f＝f(0)＝1，故D正確．故選CD.
10. (3，＋∞)　由題意，得x－3>0，解得x>3，所以函數f(x)的定義域為(3，＋∞).
11. ②③④　對于①，f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，定義域不相同，所以不是同一函數；對于②，f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝＝x的定義域為R，定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數；對于③，f(x)＝＝1的定義域為{x|x≠0}，g(x)＝x0＝1的定義域為{x|x≠0}，定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數；對于④，f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1的定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數．
12. {x|x≤－2或x≥2}　{a|a≤－2}　由題意，得A＝{x|x≤a}，B＝{x|x≤－2或x≥2}．因為A B，所以a≤－2.
13. (1) (－∞，1)∪(1，＋∞)
(2)
(3) [－1，3)∪(3，＋∞)
(4) (－∞，－2)∪(－2，4)∪(4，＋∞)
(5) (－1，＋∞)
14. 由題意，得0<2x<20，即0則y＝(20－2x)2·x＝4x(10－x)2(015. (1) 由(x＋1)(5－x)≥0，得B＝{x|－1≤x≤5}．
當a＝－1時，A＝{x|－3又 RB＝{x|x<－1或x>5}，
所以A∩( RB)＝{x|－3(2) 若選①：由A∪B＝B，得A B.
由A≠ ，得a<3，
所以解得0≤a<3，
所以滿足條件的實數a構成的集合P＝{a|0≤a<3}．
若選②：由A (A∩B)，得A B.
由A≠ ，得a<3，
所以解得0≤a<3，
所以滿足條件的實數a構成的集合P＝{a|0≤a<3}．
若選③：由A∩B＝ ，A≠ ，得a<3，
且2a－1≥5或a＋2<－1，解得a<－3，
所以滿足條件的實數a構成的集合P＝{a|a<－3}．
3．1.1　函數的概念(2)
1. A　令解得02. A　函數y＝x＋1的定義域和值域都為R，故A正確；y＝2的定義域為[－1，＋∞)，值域為[0，＋∞)，故B錯誤；y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2的定義域為R，值域為[－2，＋∞)，故C錯誤；y＝x2－1的定義域為R，值域為[－1，＋∞)，故D錯誤．
3. B　由題意，得－2≤2x＋1≤3，解得－≤x≤1.由x＋1≠0，解得x≠－1，故函數y＝的定義域是∪(－1，1].
4. D　因為函數y＝f(x－1)的定義域為(1，5)，所以x－1∈(0，4)，由函數y＝f(x2)可知05. B　因為A＝{x|y＝x}＝R，B＝{y|y＝x2}＝[0，＋∞)，所以A∩B＝[0，＋∞).
6. D　因為△ABC的底邊長顯然大于0，即y＝10－2x＞0，所以x＜5.又兩邊之和大于第三邊，所以2x＞10－2x，所以x＞，即此函數的定義域為{x|＜x＜5}．
7. A　因為函數y＝f(x)＋1的值域為(1，3)，所以18. BCD　B＝{y|y＝}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以 RB＝(－∞，1).又A＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩( RB)＝{－2，－1，0}，故A正確；B＝[1，＋∞) [0，＋∞)，故B錯誤；A∪( RB)＝(－∞，1]∪{2}，故C錯誤；A∩B＝{1，2}，則A∩B的真子集有 ，{1}，{2}，共3個，故D錯誤．故選BCD.
9. AB　畫出y＝x2的圖象如下圖所示，由x2＝4，解得x＝±2，由題意，得f(x)＝x2的值域為[0，4]，根據圖象結合選項可知，f(x)的定義域可以是[0，2]，[－2，1].故選AB.
10. [0，2)∪(2，3)　當－1.511. [－1，2]　[，]　因為f(x)＝＋，所以解得－1≤x≤2，即f(x)的定義域為[－1，2].易知f(x)≥0，又f2(x)＝x＋1＋2＋2－x＝3＋2，對于y＝－x2＋x＋2，其圖象開口向下，對稱軸為直線x＝，所以當x＝時，y＝－x2＋x＋2有最大值；當x＝－1或x＝2時，y＝－x2＋x＋2有最小值0，所以當x∈[－1，2]時，y＝－x2＋x＋2的值域為[0，]，則f2(x)的值域為[3，6]，故f(x)的值域為[，].
12. 1　4　因為＝1＋，x2＋1∈[1，＋∞)，所以y＝1＋∈(1，4]，則∈{1，2，3，4}，故函數y＝的最小值為1，最大值為4.
13. 因為函數f(x)＝x2的定義域為[0，3]，
所以解得即0≤x≤1，
則函數g(x)的定義域為[0，1].
又g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝4x2－(x＋2)2＝x2－x－＝(2x2－x－1)，x∈[0，1]，其圖象的對稱軸為直線x＝，
所以g(x)min＝g＝－2，g(x)max＝g(1)＝0，
故g(x)的值域為[－2，0].
14. 由題意，得即
所以函數g(x)的定義域由(－a，1－a]∩(a，1＋a]確定．
因為－所以函數g(x)的定義域是(－a，1＋a].
15. (1) 由題意，得不等式(m2＋m－2)x2＋(m－1)x＋4≥0的解集為[－2，1]，
所以即
解得m＝－1，
故實數m的值為－1.
(2) 由題意，得不等式(m2＋m－2)x2＋(m－1)x＋4≥0在R上恒成立．
①當m2＋m－2＝0，即m＝1或m＝－2時，
若m＝1，則f(x)＝2，符合題意；
若m＝－2，則f(x)＝，定義域不是R，不滿足條件．
②當m2＋m－2>0，即m>1或m<－2時，
Δ＝(m－1)2－16(m2＋m－2)＝－3(m－1)(5m＋11)≤0，解得m≤－或m≥1，此時m≤－或m>1.
綜上，實數m的取值范圍是(－∞，－]∪[1，＋∞).

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