資源簡介

3．2.2　奇 偶 性(1)
一、 單項選擇題
1 (2025呼和浩特期末)下列函數中，是偶函數且在區間(0，＋∞)上單調遞減的是(　　)
A. y＝x－1 B. y＝|x|
C. y＝－ D. y＝1－x2
2 (2024株洲炎陵期末)設函數f(x)＝，則下列函數中為奇函數的是(　　)
A. f(x－1)－1 B. f(x－1)＋1
C. f(x＋1)－1 D. f(x＋1)＋1
3 已知奇函數f(x)在區間[3，6]上單調遞增，在區間[3，6]上的最大值為8，最小值為－1，則f(6)＋f(－3)的值為(　　)
A. 10 B. －10　 C. 9 D. 15
4 (2024海南期中)函數f(x)＝的圖象大致是(　　)
A B C D
5 (2024杭州期中)設偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)A. B.
C. D.
6 (2024吉林期末)已知函數f(x)＝x＋，a∈R，則f(x)的圖象不可能是(　　)
A B C D
7 (2024山東階段練習)已知函數f(x)＝x5＋bx－8，若f(m)＝－3，則f(－m)的值是(　　)
A. 3 B. －13 C. －5 D. 5
二、 多項選擇題
8 已知函數f(x)＝則下列說法中正確的是(　　)
A. f(x)為偶函數
B. f(x)在區間上單調遞減
C. f(x)的最大值為
D. f(x)的最小值為－2
9 (2024湖北階段練習)已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)，g(x)在區間(－∞，0]上單調遞減，則下列結論中正確的是(　　)
A. f(f(x))是偶函數
B. f(g(x))是奇函數
C. g(g(x))在區間[0，＋∞)上單調遞增
D. g(f(x))在區間[0，＋∞)上單調遞增
三、 填空題
10 已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x2＋(a－1)x＋a＋1，則f(－3)＝________．
11 (2024邵陽階段練習)已知f(x)和g(x)是定義在R上的奇函數和偶函數，且滿足f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，則f(2)＋g(2)＝________．
12 (2025定西期末)已知函數f(x)＝
是定義在R上的偶函數，則g(－4)＝________．
四、 解答題
13 設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(－∞，0)上單調遞增，f(2a2＋a＋1)14 (2024昭通期末)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x2＋3x.
(1) 求函數f(x)的解析式；
(2) 若f(2a－1)＋f(4a－3)>0，求實數a的取值范圍．
15 (2024杭州期中)已知函數f(x)＝1－(x∈R).
(1) 判斷函數f(x)在R上的奇偶性，并證明；
(2) 判斷函數f(x)在R上的單調性，并用定義法證明；
(3) 寫出f(x)在R上的值域．
3．2.2　奇 偶 性(2)
一、 單項選擇題
1 (2025朝陽期末)設函數f(x)＝x2＋(a－2)x＋1(a∈R)，則“a＝2”是“f(x)是偶函數”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
2 若奇函數f(x)在區間[3，7]上單調遞增，且最小值為5，則f(x)在區間[－7，－3]上(　　)
A. 單調遞增且最小值為－5
B. 單調遞增且最大值為－5
C. 單調遞減且最小值為－5
D. 單調遞減且最大值為－5
3 (2025河北期末)已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論中正確的是(　　)
A. f(x)是奇函數，單調減區間是(－∞，－1)
B. f(x)是奇函數，單調減區間是(－1，1)
C. f(x)是偶函數，單調增區間是(1，＋∞)
D. f(x)是偶函數，單調增區間是(－∞，－1)
4 若函數f(x)＝|2x－1|－|2x－a|為奇函數，則實數a的值為(　　)
A. －1 B. 1
C. －1或1 D. 0
5 已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，若f(2)＝2，則f(2 022)的值為(　　)
A. －1 B. 0　 C. 1 D. －2
6 已知函數f(x)和g(x)的定義域均為R，y＝f(1＋x)為偶函數，y＝g(x＋1)＋1為奇函數， x∈R，f(x)＋g(x)＝x2＋3，則f(4)g(4)的值為(　　)
A. 66 B. 70 C. 74 D. 78
7 (2025湖北期末)已知定義在區間[－1，1]上的單調增函數f(x)，且y＝f(x)－2為奇函數，則不等式f(3－2x2)＋f(3x－4)<4的解集為(　　)
A. (－∞，1)∪[，＋∞)
B. (1，]
C. (－∞，1]∪(，＋∞)
D. [1，)
二、 多項選擇題
8 (2025南充一中期中)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，則下列說法中正確的是(　　)
A. f(0)＝0
B. 若f(x)在區間[0，＋∞)上有最小值－1，則f(x)在區間(－∞，0]上有最大值1
C. 若f(x)在區間[1，＋∞)上為增函數，則f(x)在區間(－∞，－1]上為減函數
D. 若當x>0時，f(x)＝x2－2x，則當x<0時，f(x)＝－x2－2x
9 已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝f(－x)，f(2)＝0，且在區間(－∞，0)上單調遞增，則下列結論中正確的是(　　)
A. 不等式≤0的解集為[－3，0)∪[1，＋∞)
B. 不等式≤0的解集為(－∞，－3]∪(0，1]
C. f(x－2)≥f(2x＋1)的解集為
D. f(x－2)≥f(2x＋1)的解集為(－∞，－3]∪
三、 填空題
10 已知函數f(x)＝g(x)＋2，x∈[－3，3]，且g(x)滿足g(－x)＝－g(x)，若f(x)的最大值，最小值分別為M，N，則M＋N＝________．
11 (2024通遼階段練習)已知函數f(x)是定義在區間(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數，當x<0時，f(x)＝－x2＋x＋1，則當x>0時，f(x)＝________．
12 (2024惠州階段練習)已知偶函數f(x)在區間(－∞，0]上單調遞減，且f(4)＝0，則不等式xf(x)>0的解集為________．
四、 解答題
13 (2024哈爾濱期中)已知f(x)是定義在區間[－1，1]上的奇函數，且當x∈(0，1]時，f(x)＝x2＋2x＋3.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求f(x)的值域．
14 已知函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意的x1，x2∈D，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判斷函數f(x)的奇偶性并證明你的結論；
(3) 若f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，求x的取值范圍.
15 已知函數f(x)＝是定義域為(－1，1)的奇函數，且f＝－.
(1) 求函數f(x)的解析式；
(2) 用單調性的定義證明f(x)是增函數；
(3) 解關于t的不等式f(t)＋f(t＋1)<0.
3．2.2　奇 偶 性(1)
1. D　對于A，函數y＝x－1為非奇非偶函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞增；對于B，函數y＝|x|為偶函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞增；對于C，函數y＝－為奇函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞增；對于D，函數y＝1－x2為偶函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞減．
2. B　由題意，得f(x)＝＝－1＋.對于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函數；對于B，f(x－1)＋1＝是奇函數；對于C，f(x＋1)－1＝－2，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；對于D，f(x＋1)＋1＝，定義域不關于原點對稱，不是奇函數．
3. C　由已知，得f(6)＝8，f(3)＝－1.又因為f(x)是奇函數，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.
4. A　由|x|≠0可得f(x)定義域為{x|x≠0}．又f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)為偶函數，排除B；當x>0時，f(x)＝＝x－，則f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，排除CD.故選A.
5. C　因為f(x)是偶函數，且在區間[0，＋∞)上單調遞增，所以原不等式等價于|2x－1|<，解得6. D　若a＝0，則f(x)＝x，x≠0，故A正確；若a>0，f(x)＝x＋為奇函數，當x>0時，f(x)＝x＋≥2，當且僅當x＝時，等號成立，所以圖象關于原點對稱，且在區間(0，)上單調遞減，在區間(，＋∞)上單調遞增，故B正確；若a<0，f(x)＝x＋為奇函數，值域為R，且在區間(0，＋∞)上單調遞增，故C正確；圖象不可能為D.
7. B　令g(x)＝x5＋bx，則g(m)＝f(m)＋8＝5.因為g(－x)＝－x5－bx＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，所以g(－m)＝－g(m)＝－5，所以f(－m)＝g(－m)－8＝－13.
8. BCD　作出f(x)在區間[－1，2]上的大致圖象如圖．因為f(x)的定義域不關于原點對稱，所以f(x)不是偶函數，故A錯誤；由圖象可知，f(x)在區間上單調遞減，故B正確；當x＝－或x＝時，f(x)max＝，當x＝2時，f(x)min＝－2，故CD正確．故選BCD.
9. AC　因為f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，所以f(f(－x))＝f(f(x))，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(f(x))和f(g(x))均為偶函數，故A正確，B錯誤；因為f(x)，g(x)在區間(－∞，0]上單調遞減，所以f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，g(x)在R上單調遞減，所以由復合函數的單調性可知，g(g(x))在區間[0，＋∞)上單調遞增，g(f(x))在區間[0，＋∞)上單調遞減，故C正確，D錯誤．故選AC.
10. －3　因為f(x)是R上的奇函數，所以f(0)＝0.當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x2＋(a－1)x＋a＋1，則f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，即當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x2－2x，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3)＝－3.
11. 5　由題意，得f(2)＋g(2)＝－f(－2)＋g(－2)＝－[f(－2)－g(－2)]＝－[(－2)3＋(－2)2－1]＝5.
12. 4　因為f(x)＝是定義在R上的偶函數，所以g(－4)＝f(－4)＝f(4)＝42－3×4＝4.
13. 由題意，得f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減．
因為2a2＋a＋1＝2＋>0，2a2－2a＋3＝2＋>0，且f(2a2＋a＋1)所以2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，解得a>.
故實數a的取值范圍是.
14. (1) 因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，
所以當x＝0時，f(0)＝0.
又當x>0時，f(x)＝x2＋3x，
所以當x<0時，－x>0，則f(－x)＝(－x)2－3x＝x2－3x＝－f(x)，可得f(x)＝－x2＋3x.
因為f(0)＝0滿足f(x)＝x2＋3x，
所以f(x)＝
(2) 因為f(x)＝
所以函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，在區間(－∞，0]上單調遞增．
又因為函數f(x)在R上連續，
所以函數f(x)在R上單調遞增．
由f(2a－1)＋f(4a－3)>0，
得f(4a－3)>－f(2a－1)＝f(1－2a)，
所以4a－3>1－2a，解得a>.
故實數a的取值范圍是(，＋∞).
15. (1) 函數f(x)在R上是奇函數，證明如下：
f(－x)＋f(x)＝1－＋1－＝2－－＝2－＝2－2＝0，x∈R，
即函數在R上是奇函數．
(2) 函數f(x)在R上單調遞增，證明如下：
任取x1>x2，則f(x1)－f(x2)＝1－－1＋＝－＝，
因為x1>x2，所以2x1－2x2>0.
又2x1＋1>0，2x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即函數f(x)在R上單調遞增．
(3) 由2x>0，得2x＋1>1，0<<1，－2<－<0，－1<1－<1，
即函數f(x)在R上的值域為(－1，1).
3．2.2　奇 偶 性(2)
1. C　當a＝2時，f(x)＝x2＋1，f(－x)＝x2＋1＝f(x)，為偶函數．當f(x)是偶函數時，由f(x)＝f(－x)，即x2＋(a－2)x＋1＝x2－(a－2)x＋1恒成立，可得2(a－2)x＝0恒成立，即a＝2，所以“a＝2”是“f(x)是偶函數”的充要條件．
2. B　由題意知，f(x)在區間[－7，－3]上單調遞增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.
3. B　f(x)的定義域為R，且f(－x)＝－x|－x|＋2x＝－(x|x|－2x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，f(x)＝畫出函數f(x)的圖象如圖，觀察圖象可知，f(x)在區間(－1，1)上單調遞減．
4. C　因為函數f(x)＝|2x－1|－|2x－a|為奇函數，所以f(0)＝1－|a|＝0，即a＝－1或a＝1.當a＝－1時，f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|，滿足f(－x)＝－f(x)；當a＝1時，f(x)＝0，該函數既是偶函數也是奇函數，所以實數a的值為－1或1.
5. D　因為y＝f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x).又由f(x＋2)＝f(2－x)可得f(－x)＝f(x＋4)，所以f(x)＝－f(x＋4)，則f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8).又2 022＝8×252＋6，所以f(2 022)＝f(6)＝f(－2).又f(2)＝2，f(－2)＝－f(2)＝－2，所以f(2 022)＝f(－2)＝－2.
6. B　由y＝f(1＋x)為偶函數，得f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．又y＝g(x＋1)＋1為奇函數，則g(x＋1)＋1＝－g(－x＋1)－1，所以g(x)的圖象關于點(1，－1)對稱．因為 x∈R，f(x)＋g(x)＝x2＋3，所以f(－2)＋g(－2)＝4＋3＝7.因為f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(－2)＝f(4).又g(x)的圖象關于點(1，－1)對稱，所以g(－2)＝－g(4)－2，所以f(4)－g(4)＝f(－2)＋g(－2)＋2＝9.又f(4)＋g(4)＝42＋3＝19，所以f(4)＝14，g(4)＝5，所以f(4)g(4)＝70.
7. B　因為y＝f(x)－2為奇函數，所以f(－x)－2＝－[f(x)－2]，即f(－x)＋f(x)＝4，所以不等式f(3－2x2)＋f(3x－4)<4可轉化為f(3－2x2)<4－f(3x－4)＝f(4－3x).因為f(x)是定義在區間[－1，1]上的單調增函數，所以－1≤3－2x2<4－3x≤1，解得18. ABD　由題意，得f(0)＝0，故A正確；當x≥0時，f(x)≥－1，且存在x0≥0，使得f(x0)＝－1，則當x≤0時，f(－x)≥－1，f(x)＝－f(－x)≤1，且當x＝－x0時，有f(－x0)＝1，所以f(x)在區間(－∞，0]上有最大值為1，故B正確；若f(x)在區間[1，＋∞)上為增函數，而奇函數在對稱區間上具有相同的單調性，則f(x)在區間(－∞，－1]上為增函數，故C錯誤；若當x>0時，f(x)＝x2－2x，則當x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2×(－x)]＝－x2－2x，故D正確．故選ABD.
9. AD　由題意，得函數f(x)為偶函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞減．函數y＝f(x＋1)的圖象可由y＝f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到，作出y＝f(x)和y＝f(x＋1)的大致圖象如圖，則不等式≤0可化為或由圖象可知x∈[－3，0)∪[1，＋∞)，故A正確，B錯誤；因為f(x)為偶函數，且f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，所以f(x－2)≥f(2x＋1)可化為|x－2|≤|2x＋1|，即3x2＋8x－3≥0，解得x∈(－∞，－3]∪[，＋∞)，故C錯誤，D正確．故選AD.
10. 4　因為g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，所以在區間[－3，3]上，g(x)max＝－g(x)min，所以M＝g(x)max＋2，N＝g(x)min＋2，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋4＝4.
11. x2＋x－1　由題意，得當x>0時，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
12. (－4，0)∪(4，＋∞)　若x<0，則xf(x)>0等價于f(x)<0.因為f(4)＝f(－4)＝0，f(x)在區間(－∞，0]上單調遞減，所以由f(x)<0，得－40，則xf(x)>0等價于f(x)>0，由題意知f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，且f(4)＝0，所以由f(x)>0得，x>4.綜上，xf(x)>0的解集為(－4，0)∪(4，＋∞).
13. (1) 當x∈[－1，0)時，－x∈(0，1]，則f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋2(－x)＋3]＝－x2＋2x－3，
所以f(x)＝
(2) 當x∈[－1，0)時，f(x)＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2在區間[－1，0)上單調遞增，
所以f(x)∈[－6，－3)；
當x∈(0，1]時，f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2在區間(0，1]上單調遞增，
所以f(x)∈(3，6].
又因為f(0)＝0，
所以f(x)的值域為[－6，－3)∪{0}∪(3，6].
14. (1) 因為對于任意的x1，x2∈D，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2) 函數f(x)是偶函數，證明如下：
令x1＝x2＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，則f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x).
又函數f(x)的定義域為{x|x≠0}，
所以函數f(x)為偶函數．
(3) 由題意，得f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2.
由(2)知，f(x)是偶函數，
所以f(x－1)<2等價于f(|x－1|)又f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，
所以0<|x－1|<16，解得－15所以x的取值范圍是{x|－1515. (1) 因為f(x)＝是定義域為(－1，1)的奇函數，
所以f(0)＝0，可得＝0，解得b＝0.
又由f(－)＝－，可得＝－，解得a＝1，
此時f(x)＝，滿足定義域為(－1，1).
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數，
所以f(x)＝.
(2) 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1則f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
由－10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函數f(x)是增函數．
(3) 因為f(x)是定義在區間(－1，1)上的奇函數，
且在定義域(－1，1)上單調遞增，
所以由f(t)＋f(t＋1)<0，得f(t＋1)<－f(t)＝f(－t)，
所以解得－1所以不等式f(t)＋f(t＋1)<0的解集為(－1，－).

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