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3．3　冪　函　數
一、 單項選擇題
1 下列所給出的函數中，是冪函數的是(　　)
A. y＝－x3 B. y＝x-3
C. y＝2x3 D. y＝x3－1
2 (2025齊齊哈爾期末)若冪函數f(x)＝(a2－2a－2)x1-a在區間(0，＋∞)上是減函數，則實數a的值為(　　)
A. －3 B. －1　 C. 1 D. 3
3 (2025眉山期末)已知冪函數y＝f(x)經過點，則f(x)是(　　)
A. 偶函數，在區間(0，＋∞)上是增函數
B. 偶函數，在區間(0，＋∞)上是減函數
C. 奇函數，在區間(0，＋∞)上是減函數
D. 非奇非偶函數，在區間(0，＋∞)上是增函數
4 對于函數y＝f(x)，若在其定義域內任取兩個不等的實數x1，x2，均滿足f<，則稱該函數為凸函數. 下列函數中是凸函數的是(　　)
A. f(x)＝3x＋1
B. f(x)＝
C. f(x)＝x2＋3x＋2
D. f(x)＝|x＋1|
5 函數f(x)＝(m2－m＋1)xm2－2m－3(0≤m≤3，m∈Z)同時滿足：①對于定義域內的任意實數x，都有f(－x)＝f(x)；②在區間(0，＋∞)上單調遞減，則f()的值為(　　)
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6 (2025湖北期末)已知冪函數f(x)的圖象過點，若f(3－2m)<1，則實數m的取值范圍為(　　)
A. (－∞，1)
B.
C. (－∞，1)∪
D. (－∞，1)∪
7 (2024上海階段練習)已知函數f(x)＝(m2－m－1)xm2－1是冪函數，對任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，滿足>0，若a，b∈R，a＋b<0，則f(a)＋f(b)的值(　　)
A. 恒大于0 B. 恒小于0
C. 等于0 D. 無法判斷
二、 多項選擇題
8 (2024浙江期中)已知冪函數f(x)＝x，則下列結論中正確的是(　　)
A. f(x)的定義域為[0，＋∞)
B. f(x)是減函數
C. f(x)的值域為[0，＋∞)
D. f(x)是偶函數
9 若函數f(x)同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②若對于定義域上的任意x1，x2，當x1≠x2時，恒有<0，則稱函數f(x)為“理想函數”．下列四個函數中，能被稱為“理想函數”的有(　　)
A. f(x)＝
B. f(x)＝－x3
C. f(x)＝|x|
D. f(x)＝
三、 填空題
10 (2025遼寧期末)已知α∈{－，－1，－3，－4，，2，3}，冪函數f(x)＝xα在區間(－∞，0)上單調遞增，其圖象不過坐標原點，則α＝________．
11 已知函數f(x)＝x，則關于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集為________．
12 (2024佛山階段練習)已知冪函數f(x)＝(m2－4m＋4)xm-2在區間(0，＋∞)上單調遞減，若正數a，b滿足2a＋3b＝m，則＋的最小值為________．
四、 解答題
13 已知冪函數f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)為奇函數．
(1) 求f的值；
(2) 若f(2a＋1)>f(a)，求實數a的取值范圍．
14 (2024普陀期中)已知冪函數y＝(m2＋4m＋4)xm+2在區間(0，＋∞)上為單調減函數．
(1) 求實數m的值；
(2) 若(2a－1)m<(a＋3)m，求實數a的取值范圍．
15 (2024天津期末)若函數f(x)＝(m2－3m＋3)xm2＋2m－4為冪函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞減．
(1) 求實數m的值；
(2) 若函數g(x)＝x－f(x)，且x∈(0，＋∞)，
①寫出函數g(x)的單調性，并證明；
②求使不等式g(2t－1)3．3　冪　函　數
1. B　由冪函數的定義可知y＝x-3是冪函數．
2. D　因為函數f(x)＝(a2－2a－2)x1-a為冪函數，所以a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1.當a＝3時，f(x)＝x-2在區間(0，＋∞)上單調遞減，符合題意；當a＝－1時，f(x)＝x2在區間(0，＋∞)上單調遞增，不符合題意，所以a＝3.
3. C　設冪函數的解析式為f(x)＝xα，將點代入解析式，得＝3α，解得α＝－1，所以f(x)＝x-1＝，即f(x)是奇函數，且在區間(0，＋∞)上是減函數．
4. C　對于A，f(x)的定義域是R，－f＝－(3·＋1)＝0，故A錯誤；對于B，f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，－f＝－＝，符號不確定，故B錯誤；對于C，f(x)的定義域是R，－f＝－－3·－2＝>0，故C是凸函數；對于D，f(x)的定義域是R，－f＝－，若取x1＝1，x2＝2，則上式為0，故D錯誤．
5. B　因為m∈Z，0≤m≤3，所以m＝0，1，2，3，代入m2－2m－3分別是－3，－4，－3，0.因為在定義域內f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函數，所以m2－2m－3取值為－4或0，當m2－2m－3＝0時，f(x)在區間(0，＋∞)上不單調遞減，只有m2－2m－3＝－4滿足，此時m＝1，所以f(x)＝x-4，所以f＝＝()4＝4.
6. D　設f(x)＝xα，因為冪函數f(x)的圖象過點，所以2α＝，即α＝－1，所以f(x)＝x-1＝，所以不等式f(3－2m)<1可轉化為<1，即<0，所以(2m－2)(3－2m)<0，即m>或m<1.
7. B　由題意，得m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又對任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，滿足>0，所以f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．當m＝－1時，f(x)＝x0，不滿足f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，故m＝－1不符合題意；當m＝2時，f(x)＝x3為增函數，故m＝2符合題意．綜上，m＝2，即f(x)＝x3.又f(－x)＝－x3＝－f(x)，所以f(x)在R上為奇函數且為增函數．又a＋b<0，即a<－b，所以f(a)8. AC　由冪函數f(x)＝x＝，得函數的定義域為[0，＋∞)，故A正確；由冪函數的性質可知，f(x)＝x在區間[0，＋∞)上單調遞增，值域為[0，＋∞)，故B錯誤，C正確；由函數定義域不關于原點對稱，得f(x)不是偶函數，故D錯誤．故選AC.
9. BD　由題意，得f(x)為奇函數，且為減函數．對于A，函數f(x)＝為定義域上的奇函數，但不是定義域上的減函數，所以不是“理想函數”；對于B，函數f(x)＝－x3為定義域上的奇函數，且在定義域上為減函數，所以是“理想函數”；對于C，函數f(x)＝|x|為定義域上的偶函數，且在定義域內不單調，所以不是“理想函數”；對于D，函數f(x)＝的大致圖象如圖所示，顯然此函數為奇函數，且在定義域上為減函數，所以是“理想函數”．故選BD.
10. －4　因為冪函數圖象不過坐標原點，則α<0，當α＝－時，f(x)＝x－＝的定義域為(0，＋∞)，不合題意；當α＝－1時，f(x)＝x-1＝在區間(－∞，0)上單調遞減，不合題意；當α＝－3時，f(x)＝x-3＝在區間(－∞，0)上單調遞減，不合題意；當α＝－4，f(x)＝x-4＝在區間(－∞，0)上單調遞增，符合題意．綜上，α＝－4.
11. 　由題意可知，f(x)的定義域為R，且f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以函數f(x)是奇函數．由冪函數的性質知，函數f(x)＝x在R上單調遞增，由f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－1)，即f(t2－2t)12. 24　因為f(x)是冪函數，所以m2－4m＋4＝1，m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.當m＝1時，f(x)＝x-1＝，在區間(0，＋∞)上單調遞減，符合題意；當m＝3時，f(x)＝x在區間(0，＋∞)上單調遞增，不符合題意，所以m＝1，則2a＋3b＝1，由題意，得a，b為正數，＋＝(2a＋3b)＝6＋6＋＋≥12＋2＝24，當且僅當＝，2a＝3b＝時，等號成立，所以＋的最小值為24.
13. (1) 由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3，
當m＝2時，f(x)＝x-3是奇函數，滿足題意；
當m＝3時，f(x)＝x-4是偶函數，不滿足題意，
所以f(x)＝x-3，f＝＝8.
(2) 因為f(x)＝x-3的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調減區間為(－∞，0)，(0，＋∞).
由f(2a＋1)>f(a)，得2a＋10>a，
解得a<－1或－所以實數a的取值范圍為(－∞，－1)∪.
14. (1) 因為函數y＝(m2＋4m＋4)xm+2是冪函數，
所以m2＋4m＋4＝1，得m＝－3或m＝－1.
因為冪函數在區間(0，＋∞)上為單調減函數，
所以m＝－1不符合題意，
所以m＝－3.
(2) 由(1)可得(2a－1)-3<(a＋3)-3，設函數y＝x-3.
因為函數y＝x-3在區間(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，
所以2a－1>a＋3>0或0>2a－1>a＋3或解得a>4或－3所以實數a的取值范圍是∪(4，＋∞).
15. (1) 由題意，得m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
當m＝1時，f(x)＝x-1，此時f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，符合題意；
當m＝2時，f(x)＝x4，此時f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，不符合題意，
所以實數m的值為1.
(2) ①由題意，得g(x)＝x－f(x)＝x－，g(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．證明如下：
任取0因為00，
則g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．
②由①知，g(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．
由g(2t－1)故實數t的取值范圍是(，1).

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