資源簡介

3．4　函數的應用(一)
一、 單項選擇題
1 你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”．煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩．已知某種煙花距地面的高度h(單位：m)與時間t(單位：s)之間的關系式為h＝－3.6t2＋28.8t，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是(　　)
A. 第4秒　 B. 第5秒
C. 第3.5秒　 D. 第3秒
2 某企業一個月生產某種商品x萬件時的生產成本(單位：萬元)為C(x)＝x2＋4x＋16，每件商品售價為28元，假設每月所生產的產品能全部售完．當月所獲得的總利潤用w(x)(單位：萬元)表示，用表示當月生產商品的單件平均利潤，則下列說法中正確的是(　　)
A. 當生產12萬件時，當月能獲得最大總利潤144萬元
B. 當生產12萬件時，當月能獲得最大總利潤160萬元
C. 當生產4萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為24元
D. 當生產4萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為16元
3 某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優惠，折扣率如下表所示：
可享受折扣優惠的金額 折扣率
超過400元不超過800元的部分 5%
超過800元的部分 15%
若某顧客獲得65元折扣優惠，則此顧客實際所付金額為(　　)
A. 935元 B. 1 000元
C. 1 035元 D. 1 100元
4 (2024四川階段練習)單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關．假設某條道路1 h通過的車輛數N滿足關系N＝，其中d0為安全距離，v為車速(單位：m/s).當安全距離d0取30 m時，該道路1 h“道路容量”的最大值約為(　　)
A. 135 B. 149 C. 165 D. 195
5 根據統計，一名工人組裝第x件產品所用的時間(單位：min)為f(x)＝(A，c為常數). 已知工人組裝第4件產品用時30min，組裝第A件產品用時15min，則c和A的值分別是(　　)
A. 75，25 B. 75，16
C. 60，25 D. 60，16
6 某班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8 m長的圍欄，準備圍成一邊靠墻(墻足夠長)的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、三角形、弓形這三種方案，則最佳方案是(　　)
　　
A. 方案1 B. 方案2
C. 方案3 D. 方案1或方案2
7 司機甲、乙的加油習慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢數的油，恰有兩次甲、乙同時加同單價的油，但這兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析，加油習慣更合適的是(　　)
A. 甲合適
B. 乙合適
C. 油價先高后低甲合適
D. 油價先低后高甲合適
二、 多項選擇題
8 (2024河南期中)某種商品單價為50元時，每月可銷售此種商品300件，若將單價降低x(x∈N*)元，則月銷售量增加10x件，要使此種商品的月銷售額不低于15 950元，則x的取值可能為(　　)
A. 9 B. 7 C. 13 D. 11
9 在一條筆直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車出發至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y(單位：km)與甲車行駛時間t(單位：h)之間的函數關系如圖所示，則下列結論中正確的是(　　)
A. 當甲車出發2 h時，兩車相遇
B. 當乙車出發1.5 h時，兩車相距170 km
C. 當乙車出發2 h時，兩車相遇
D. 當甲車到達C地時，兩車相距40 km
三、 填空題
10 如圖，在半徑為4 cm的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為________cm2.
(第10題) (第11題)
11 加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”. 在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：min)滿足函數關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數)，如圖記錄了三次實驗的數據. 根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為________min.
12 (2024重慶階段練習)我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 ml，已知一駕駛員某次飲酒后體內每100 ml血液中的酒精含量y(單位：mg)與時間x(單位：h)的關系是：當0四、 解答題
13 (2024福清階段練習)某廠家對某品牌熱銷按摩椅的銷售情況做了統計，發現月銷售量y(臺)與零售價x(元)間滿足：y＝kx＋b(k≠0)，已知第一、二月份銷售情況如下表所示：
月份 1月 2月
零售價x(元) 6 000 6 500
月銷售量y(臺) 60 55
(1) 若廠家某月將該按摩椅定價為6 700元/臺，則該廠家這個月能銷售多少臺按摩椅？
(2) 若廠家生產一臺按摩椅的成本為4 000元，則該廠家應該如何定價才能使廠家每月利潤最大？最大利潤是多少？
14 某市出租車的計價標準是：3 km以內(含3 km)10元，超出3 km但不超過18 km的部分1元/km，超出18 km的部分2元/km.
(1) 如果某人乘車行駛了20 km，他要付多少車費？某人乘車行駛了x km，他要付多少車費？
(2) 如果某人付了22元的車費，他乘車坐了多遠？某人付了10＋x(x>0)元的車費，他乘車坐了多遠？
15 新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產業的發展趨勢．某汽車企業為了響應國家號召，2020年積極引進新能源汽車生產設備，通過分析，全年需要投入固定成本2 000萬元．每生產x(單位：百輛)新能源汽車，需另投入成本C(x)(單位：萬元)，且C(x)＝由市場調研可知，每輛車售價5萬元，且生產的車輛當年能全部銷售完．
(1) 求出2020年的利潤L(x)(單位：萬元)關于年產量x(單位：百輛)的函數關系式；(利潤＝銷售量×售價－成本)
(2) 當2020年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤．
3．4　函數的應用(一)
1. A　因為h＝－3.6t2＋28.8t＝－3.6(t2－8t＋16)＋57.6＝－3.6(t－4)2＋57.6，所以當t＝4時，煙花達到最高點，即爆裂的時刻是第4秒．
2. D　由題意，得w(x)＝28x－C(x)＝－x2＋24x－16＝－(x－12)2＋128，故當x＝12時，w(x)取得最大值128，故AB錯誤；＝＝24－≤24－2＝16，當且僅當x＝4時，等號成立，故當生產4萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為16元，故C錯誤，D正確．
3. C　當顧客的購物總金額超過400元不超過800元時，享受折扣優惠的金額最多為400×5%＝20(元)，故該顧客購物總金額一定超過了800元，設為x元(x>800)，則400×5%＋(x－800)×15%＝65，解得x＝1 100，則此顧客實際所付金額為1 100－65＝1 035(元).
4. B　由題意，得N＝＝≤≈149，當且僅當0.3v＝，即v＝10時取等號，所以該道路1 h“道路容量”的最大值約為149.
5. D　由題意，得f(A)＝＝15，所以c＝15. 由f(4)＝30≠15，得f(4)＝＝30，解得c＝60，所以A＝16.
6. C　方案1：如圖1，設AD＝x m，則AB＝(8－2x)m，則菜園面積S＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，當x＝2時，此時菜園最大面積為8 m2；方案2：如圖2，由題意，得AB＋AC＝8，則8＝AB＋AC≥2，所以AB·AC≤16，當且僅當AB＝AC＝4時取等號，所以S△ABC＝AB·AC sin A≤8sin A≤8，即(S△ABC)max＝8，當且僅當AB＝AC＝4，∠BAC＝90°時取等號；方案3：若弓形為半圓，則半圓的半徑為 m，所以此時菜園最大的面積S＝＝(m2)>8 m2，故最佳方案是方案3.
圖1 圖2
7. B　設司機甲每次的加油量為x，司機乙每次的加油花費為y，兩次加油的單價分別為a，b，則司機甲兩次加油的均價為＝，司機乙兩次加油的均價為＝.因為－＝≥0，且a≠b，所以－>0，即>.故從這兩次加油的均價角度分析，司機乙更合適．
8. AD　設此種商品的月銷售額為f(x).由題意知，單價為(50－x)，銷售量為(300＋10x)，所以銷售額f(x)＝(50－x)·(300＋10x)＝－10x2＋200x＋15 000，所以f(9)＝－10×81＋200×9＋15 000＝15 990>15 950，f(7)＝－10×49＋200×7＋15 000＝15 910<15 950，f(13)＝－10×169＋200×13＋15 000＝15 910<15 950，f(11)＝－10×121＋200×11＋15 000＝15 990>15 950，故x的取值可能為9或者11，不可能是7或者13.故選AD.
9. BCD　由圖象知，當t＝2時，兩函數圖象相交，因為C地位于A，B兩地之間，所以交點代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，故A錯誤；甲車的速度為240÷4＝60(km/h)，乙車的速度為200÷(3.5－1)＝80(km/h)，因為240＋200－60×2.5－80×1.5＝170(km)，所以當乙車出發1.5 h時，兩車相距170 km，故B正確；因為60×3＋80×2＝440(km)，所以當乙車出發2 h時，兩車相遇，故C正確；因為80×3－200＝40(km)，所以當甲車到達C地時，兩車相距40 km，故D正確．故選BCD.
10. 16　設在矩形ABCD中，AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，其面積S＝ab.以直線AB為對稱軸，可作圖如下，則在矩形DD′C′C中，DD′＝2b，C′D′＝a，C′D＝8，其面積S′＝2S＝2ab.在圓O中，易知a2＋(2b)2＝64，則S′＝2ab≤＝32，當且僅當a＝2b＝4時，等號成立，所以Smax＝S′max＝16.
11. 3.75　由題意可知，函數p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數)的圖象經過點(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，所以解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，故可得最佳加工時間為3.75min.
12. 5.5　當020，當x≥時，函數y＝單調遞減，令y＝＝20，x＝5.5，所以飲酒5.5 h后體內每100 ml血液中的酒精含量等于20 mg/100 ml.
13. (1) 由題意，將x＝6 000，y＝60和x＝6 500，y＝55分別代入y＝kx＋b，
得60＝6 000k＋b，55＝6 500k＋b，解得k＝－0.01，b＝120，故y＝－0.01x＋120.
當x＝6 700時，y＝－0.01×6 700＋120＝53，故該廠家這個月能銷售53臺按摩椅．
(2) 設月利潤為z元，則z＝(x－4 000)(－0.01x＋120)＝－0.01(x－8 000)2＋160 000，
當x＝8 000元時，zmax＝160 000，故當該按摩椅定價為8 000元/臺時，月利潤最大，最大利潤為160 000元．
14. (1) 乘車行駛了20 km，付費分三部分：前3 km付費10 元，3 km到18 km付費(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付費(20－18)×2＝4(元)，故總付費為10＋15＋4＝29(元).
設付車費y元，當0當3當x>18時，車費y＝25＋2(x－18)＝2x－11.
綜上，車費y＝
(2) 因為付出22元的車費，說明此人乘車行駛的路程大于3 km，且小于18 km，
所以x＋7＝22，解得x＝15，
故此人乘車行駛了15 km.
設乘車行駛了y km，某人付了10＋x(x>0)元的車費，
故當0當x>15時，y＝18＋＝x＋，
所以y＝
15. (1) 每輛車售價5萬元，則當年產量為x百輛時，銷售收入為500x萬元，
總成本為2 000＋C(x)＝
所以L(x)＝
即年利潤L(x)＝
(2) 由(1)知，當0L(x)＝－10(x－20)2＋2 000，
則當x＝20時，L(x)max＝2 000；
當x≥50時，L(x)＝－(x＋)＋3 000≤－2＋3 000＝2 820，
當且僅當x＝，即x＝90時，等號成立．
因為2 820>2 000，
所以當年產量為90百輛時，利潤最大，最大利潤為2 820萬元．

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