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4．1.2　無理數指數冪及其運算性質
一、 單項選擇題
1 (2025南京一中調研)已知10m＝3，10n＝4，則10的值為(　　)
A. B.
C. D.
2 已知a＋a-1＝4，則下列運算中正確的是(　　)
A. a＋a－＝±
B. a－a－＝±
C. a－a-1＝±3
D. a3－a-3＝±45
3 (2024株洲期中)已知a，b∈R，且3a－b－2＝0，則27a＋的最小值為(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4 化簡(2)2·()－π的結果為(　　)
A. 16 B. 16a2
C. a2 D. 1
5 計算(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋的結果為(　　)
A. － B. － C. － D.
6 已知3a-1＋3a-2＋3a-3＝117，則(a＋1)(a＋2)(a＋3)等于(　　)
A. 120 B. 210 C. 336 D. 504
7 (2024北京三十五中月考)閱讀下段文字：“已知為無理數，若()為有理數，則存在無理數a＝b＝，使得ab為有理數；若()為無理數，則取無理數a＝()，b＝，此時ab＝(())＝()·＝()2＝2為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是(　　)
A. ()是有理數
B. ()是無理數
C. 存在無理數a，b，使得ab為有理數
D. 對任意無理數a，b，都有ab為無理數
二、 多項選擇題
8 (2024淮南四中月考)下列根式與分數指數冪的互化中，正確的是(　　)
A. ＝a(a>0)
B. x－＝－(x>0)
C. x－y＝(x>0，y>0)
D. []＝x(x>0)
9 設m，n是方程2x2＋3x－1＝0的兩根，則下列各式的值等于8的有(　　)
A. m2＋n2
B.
C. 64mn
D.
三、 填空題
10 若3a＋2b＝2，則＝________．
11 (2024廊坊月考)將(x·)2÷(·)6·(x0.25·)寫成分數指數冪的形式為________．
12 設α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的兩個根，則2α·2β＝________，(2α)β＝________．
四、 解答題
13 (1) 計算：－－(π＋2)0＋；
(2) 已知x＋x－＝3，求的值．
14 (2025湖北新高考聯考協作體月考)
(1) 求值：×8＋＋(－6)0＋；
(2) 已知a＋a-1＝2， 求a4＋a-4的值．
15 (2024承德月考)設a，b，c都是正數，且3a＝2b＝6c，求證：＝＋.
4．1.2　無理數指數冪及其運算性質
1. D　10＝＝＝.
2. B　對于A，(a＋a－)2＝a＋a-1＋2＝6，所以a＋a－＝±.又a＋a-1＝4，所以a>0，所以a＋a－＝，故A錯誤；對于B，(a－a－)2＝a＋a-1－2＝4－2＝2，所以a－a－＝±，故B正確；對于C，(a＋a-1)2＝a2＋a-2＋2＝16，所以a2＋a-2＝14.又(a－a-1)2＝a2＋a-2－2＝14－2＝12，所以a－a-1＝±2，故C錯誤；對于D，a3－a-3＝(a－a-1)(a2＋1＋a-2)＝±2×15＝±30，故D錯誤．
3. C　因為a，b∈R，且3a－b－2＝0，則3a－b＝2，所以27a＋＝33a＋3－b≥2＝2＝2＝6，當且僅當33a＝3－b，即a＝，b＝－1時取等號，故27a＋的最小值為6.
4. A　(2)2＝2×2×a×2＝16a2，()－π＝a×(－π)＝a-2，所以(2)2·()－π＝16a2×a-2＝16.
5. C　(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋＝(－43)＋(34)－1＋[()3]＝－4＋3－1＋＝－.
6. C　由3a-1＋3a-2＋3a-3＝(9＋3＋1)×3a-3＝117，得3a-3＝9，解得a＝5，所以(a＋1)(a＋2)(a＋3)＝336.
7. C　沒有證明()是有理數的條件，也沒有證明()是無理數的條件，故A，B錯誤；兩句話中，都說明了結論“存在無理數a，b，使得ab為有理數”，因此這段文字可以證明此結論，故C正確；只提及存在無理數a，b，不涉及對任意無理數a，b，都成立的問題，故D錯誤．
8. ACD　對于A，＝＝＝(a)＝a(a>0)，故A正確；對于B，x－＝＝(x>0)，故B錯誤；對于C，x－y＝·＝(x>0，y>0)，故C正確；對于D，[]＝[]＝(x)＝x(x>0)，故D正確．故選ACD.
9. BD　因為m，n是方程2x2＋3x－1＝0的兩根，所以由根與系數的關系，得m＋n＝－，m·n＝－，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝，＝＝＝8，64mn＝
64－＝，＝＝(64-1)－＝8，故BD正確，AC錯誤．故選BD.
10. 3　因為＝＝3＋b，又3a＋2b＝2，所以＋b＝1，所以＝3＋b＝31＝3.
11. xy　原式＝(x·y)2÷(x×6·y×6)·(x·y)＝(x6y3)÷(x2y3)·(xy)＝x6-2+y3-3+＝xy.
12. 　2　由一元二次方程根與系數的關系，得α＋β＝－2，αβ＝，則2α·2β＝2α＋β＝2-2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
13. (1) －()－(π＋2)0＋()－＝－()3×－1＋4＝－－1＋2＝2.
(2) 因為x＋x－＝3，
所以x＋x-1＝(x＋x－)2－2＝32－2＝7，
x2＋x-2＝(x＋x-1)2－2＝72－2＝47，
所以＝＝9.
14. (1) ×8＋＋(－6)0＋
＝×23×＋3×＋1＋|2－|
＝＋＋1＋－2
＝2＋.
(2) 因為a＋a-1＝2， 所以a2＋2＋a-2＝8，
即a2＋a-2＝6, 所以a4＋2＋a-4＝36，
即a4＋a-4＝34.
15. 令3a＝2b＝6c＝t(t>0)，
則3＝t，2＝t，6＝t，
顯然t·t＝t，
所以＋＝.

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