資源簡介

4.2.1　指數函數的概念
一、 單項選擇題
1 (2024河南期中)已知函數f(x)＝ax，a>0且a≠1，若f＝，則f(2)的值為(　　)
A. B. C. 10 D. 100
2 (2024桂林月考)放射性物質是指那些能自然地向外輻射能量、發出射線的物質．在一個給定的單位時間內，放射性物質的質量會按某個衰減率衰減．已知某種放射性物質經過50年后剩余質量是原來的95.27%，設質量為1的該物質經過x年后的剩余量為y，則y與x的函數關系式是(　　)
A. y＝0.952 750x B. y＝0.952 7
C. y＝0.952 7x D. y＝x
3 某城市的房價(均價)經過6年的時間從1 200元/m2增加到了4 800元/m2，則這6年間平均每年的增長率是(　　)
A. －1 B. ＋1
C. 50% D. 600元
4 某種放射性元素，100年后只剩原來質量的一半，現有這種元素1 g，則3年后剩下(　　)
A. g B. (1－0.5%)3 g
C. 0.925 g D. g
5 已知一批設備的價值為a萬元，由于使用磨損，價值每年比上一年降低b%，則n年后這批設備的價值為(　　)
A. na(1－b%)萬元 B. a(1－nb%)萬元
C. a[1－(b%)n]萬元 D. a(1－b%)n萬元
6 在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增長率呈指數增長，已知經過30天以后，該湖泊的藍藻數大約為原來的6倍，那么經過60天后該湖泊的藍藻數大約為原來的(　　)
A. 18倍 B. 24倍 C. 36倍 D. 48倍
7 (2024玉林期中)某種產品的有效期y(單位：天)與儲藏的溫度x(單位：℃)滿足關系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b為常數)，若該產品在0 ℃下的有效期為192天，在33 ℃下的有效期是24天，則該產品在22 ℃的有效期為(　　)
A. 45天 B. 46天 C. 47天 D. 48天
二、 多項選擇題
8 (2024陜西期中)下列命題中，是真命題的是(　　)
A. y＝x4是冪函數
B. y＝不是指數函數
C. y＝－x不是冪函數
D. y＝(5x)2是指數函數
9 若函數f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指數函數，則下列說法中正確的是(　　)
A. a＝8 B. f(0)＝－3
C. f＝2 D. a＝4
三、 填空題
10 (2024長春月考)若函數y＝(4－3a)x是指數函數，則實數a的取值范圍為________．
11 已知函數y＝(a2－3)ax是指數函數，則實數a的值是________．
12 (2024上海段測)給出下列函數：①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(a－1)x(a>1)，其中是冪函數的有________；是指數函數的有________．(填序號)
四、 解答題
13 已知函數f(x)＝，且f(1) ＝.
(1) 求實數a及f(－2)的值；
(2) 判斷f(x)的奇偶性并證明．
14 (2025四川期末)已知指數函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經過點(2，4).
(1) 求函數f(x)的解析式；
(2) 若函數g(x)＝(m>0)是奇函數．
①求實數m的值；
②判斷并用定義法證明函數g(x)的單調性．
15 牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同．假定保鮮時間y(單位：h)與儲藏溫度x(單位：℃)的關系式為y＝kerx(k，r為常量，無理數e＝2.718 28…).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鮮時間約是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鮮時間約是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鮮時間是多少？
4.2.1　指數函數的概念
1. A　由f＝，得a＝，所以f(2)＝a2＝(a)4＝4＝.
2. B　設該物質的年衰減率為t，原質量為1，則1年后的剩余質量為(1－t)1，2年后的剩余質量為(1－t)2，…，50年后的剩余質量為(1－t)50＝0.952 7，即1－t＝0.952 7，則y與x的函數關系式是y＝(1－t)x＝0.952 7.
3. A　設這6年間平均每年的增長率為x，則 1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1＝－1.
4. D　設這種放射性元素的年衰減率為P，則(1－P)100＝，即1－P＝，故這種元素1 g，3年后剩下(1－P)3＝＝＝(g).
5. D　由題意可知，第一年后的價值為a(1－b%)萬元，第二年后的價值為a(1－b%)2萬元，依此類推，可知n年后這批設備的價值為a(1－b%)n萬元．
6. C　設湖泊中原來的藍藻數量為a，則a(1＋6.25%)30＝6a，所以經過60天后該湖泊的藍藻數量為y＝a(1＋6.25%)60＝a[(1＋6.25%)30]2＝36a，所以經過60天后該湖泊的藍藻數大約為原來的36倍．
7. D　由題意，得eb＝192，e33k＋b＝24，所以e33k＝＝，可得e11k＝，eb＝192，則當x＝22時，y＝e22k＋b＝(e11k)2·(eb)＝2×192＝48.
8. ACD　由冪函數的定義可知，y＝x4是冪函數，y＝－x不是冪函數，故AC正確；因為＝x，(5x)2＝(52)x＝25x，所以由指數函數的定義可知，y＝，y＝(5x)2都是指數函數，故B錯誤，D正確．故選ACD.
9. AC　因為函數f(x)是指數函數，所以a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2，故BD錯誤，AC正確．故選AC.
10. (－∞，1)∪　因為函數y＝(4－3a)x是指數函數，所以需滿足解得a<且a≠1，故實數a的取值范圍為(－∞，1)∪.
11. 2　由函數y＝(a2－3)ax是指數函數，得解得a＝2.
12. ②　①⑤
13. (1) 由題意，得f(1)＝2＋a＝，
解得a＝－1，
所以f(x)＝，
所以f(－2)＝＝－.
(2) f(x)為奇函數，證明如下：
由(1)知，f(x)＝，定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
又f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數．
14. (1) 因為指數函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經過點(2，4)，
所以a2＝4(a>0且a≠1)，
解得a＝2，
所以f(x)＝2x.
(2) ①由(1)知，g(x)＝(m>0)是奇函數，
因為m>0，所以2x＋m>0恒成立，
所以g(x)的定義域為R，
所以g(0)＝＝0，解得m＝1，
當m＝1時，g(x)＝的定義域為R，
且g(－x)＝＝＝－g(x)，
故g(x)是奇函數，滿足題意，所以m＝1.
②函數g(x)在R上單調遞增，證明如下：
設 x1，x2∈R，x1則g(x2)－g(x1)＝－＝－＝.
因為x10，2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以g(x2)－g(x1)>0，
所以g(x2)>g(x1)，
所以g(x)＝在R上單調遞增．
15. 因為保鮮時間y與儲藏溫度x的關系式為y＝kerx(k，r為常量)，
所以解得
所以y＝100.
當x＝10時，y＝100×＝64.
故在10 ℃的冰箱中牛奶的保鮮時間為64 h.

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