資源簡介

4.3.1　對數的概念
一、 單項選擇題
1 已知2x＝3，則x等于(　　)
A. log23 B. log32
C. D.
2 (2025深圳南山外國語學校期中)若m2 024＝n(m>0且m≠1)，則下列結論中正確的是(　　)
A. logmn＝2 024
B. lognm＝2 024
C. log2 024m＝n
D. log2 024n＝m
3 已知log(2x)＝4，則x的值為(　　)
A. －2 B. 0
C. 2 D. 4
4 (2025邢臺四縣兄弟學校聯考)若代數式log8(x2－2x－3)有意義，則實數x的取值范圍為(　　)
A. (－∞，－1)
B. (－1，3)
C. (3，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
5 艾薩克·牛頓，英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，著有《自然哲學的數學原理》《光學》，為太陽中心說提供了強有力的理論支持，推動了科學革命．牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：θ＝(θ1－θ0)e－kt＋θ0，其中t為時間(單位：min)，θ0為環境溫度(單位：℃)，θ1為物體初始溫度(單位：℃)，θ為冷卻后溫度(單位：℃).假設在室內溫度為20 ℃的情況下，一桶咖啡由100 ℃降低到60 ℃需要20 min，則k的值為(　　)
A. B.
C. － D. －
6 (2024西青期中)若log4(log5x)＝0，則x的值為(　　)
A. 0 B. 1
C. 5 D. 625
7 若函數f(x)滿足f(3x)＝x，則f(7)的值為(　　)
A. 37 B. 73
C. log37 D. log73
二、 多項選擇題
8 下列說法中，正確的有(　　)
A. 零和負數沒有對數
B. 任何一個指數式都可以化成對數式
C. 以10為底的對數叫做常用對數
D. 以e為底的對數叫做自然對數
9 (2024東莞期中)下列四個命題：①lg 10＝1；②若2x＝N，則x＝log2N；③lg (ln e)＝1；④lg (ln 1)＝0.其中是真命題的有(　　)
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
三、 填空題
10 (2024上海月考)若對數log3a(－2a＋1)有意義，則實數a的取值范圍是________．
11 (2025長春期末)已知a>0且a≠1，若loga2＝2m，loga3＝n，則a4m－n＝________．
12 方程4x－6×2x－7＝0的解是________．
四、 解答題
13 (2024武漢月考)求下列各式中x的值．
(1) log8[log7(log2x)]＝0；
(2) log2[log3(log2x)]＝1；
(3) 3log3(2x＋1)＝27.
14 求解方程22x－4×2x＋3＝0.
15 若x＝m，y＝m＋2，求的值．
4.3.1　對數的概念
1. A　因為2x＝3，所以x＝log23.
2. A　因為m2 024＝n(m>0且m≠1)，所以logmn＝2 024.
3. C　由log(2x)＝4，得()4＝2x，即x2＝2x.又x>0且x≠1，所以x＝2.
4. D　由題意，得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，故實數x的取值范圍為(－∞，－1)∪(3，＋∞).
5. A　由題意，得60＝(100－20)e-20k＋20，即e-20k＝，即e20k＝2，所以20k＝ln 2，所以k＝.
6. C　因為log4(log5x)＝0，所以log5x＝40＝1，所以x＝51＝5.
7. C　令3x＝7，則x＝log37，所以f(7)＝log37.
8. ACD　由對數的定義可知A，C，D正確；對于B，當a>0且a≠1時，ax＝N才能化為對數式，故B錯誤．故選ACD.
9. AB　對于①，lg 10＝log1010＝1，故①正確；對于②，根據指數式和對數式的互化可知②正確；對于③，lg (ln e)＝lg 1＝0，故③錯誤；對于④，lg (ln 1)＝lg 0，對數的真數部分應是正數，因此lg 0無意義，故④錯誤．故選AB.
10. ∪　由題意，得解得011. 　因為a>0且a≠1，loga2＝2m，loga3＝n，所以a2m＝2，an＝3，則a4m＝4，an＝3，故a4m－n＝＝.
12. x＝log27　設t＝2x(t＞0)，則原方程可化為t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，所以2x＝7，所以x＝log27，所以原方程的解為x＝log27.
13. (1) 因為log8[log7(log2x)]＝0，所以log7(log2x)＝1，
所以log2x＝7，解得x＝27＝128.
(2) 因為log2[log3(log2x)]＝1，所以log3(log2x)＝2，
所以log2x＝9，解得x＝29＝512.
(3) 因為3log3(2x＋1)＝27，所以log327＝log3(2x＋1)，
所以27＝2x＋1，解得x＝13.
14. 由方程22x－4·2x＋3＝0，
可得(2x－3)(2x－1)＝0，
解得2x＝3或2x＝1，
所以x＝log23或x＝0.
15. 因為x＝m，
所以＝x，x2＝.
因為y＝m＋2，
所以y＝＝，
所以＝＝＝＝16.

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