資源簡介

4．4.2　對數函數的圖象和性質(1)
一、 單項選擇題
1 在同一坐標系中，函數y＝log4x與y＝x的圖象之間的關系是(　　)
A. 關于x軸對稱
B. 關于y軸對稱
C. 關于原點對稱
D. 關于直線y＝x對稱
2 (2024江門期中)設a＝log32，b＝21.1，c＝20.8，則a，b，c的大小關系為(　　)
A. bC. c3 (2024長春期中)函數y＝loga(x＋3)＋5(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，則點A的坐標為(　　)
A. (2，－3) B. (－2，6)
C. (－3，5) D. (－2，5)
4 已知函數f(x)＝e|x|＋lg |x|，則不等式f(x＋1)>f(2x－1)的解集為(　　)
A. (0，2) B. ∪
C. (0，3) D. ∪
5 (2025遵義期末)已知函數f(x)＝ln (x2－2x)，則f(x)的單調減區間為(　　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (2，＋∞)
6 若函數f(x)＝ax＋loga(x＋1)在區間[0，1]上的最大值和最小值之和為a，則函數g(x)＝ax2＋x＋1在區間[－2，2]上的值域為(　　)
A. B.
C. D. [0，3]
7 (2025寶山華曜高級中學月考)若函數f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區間(－∞，－2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (－∞，4)
B. (－4，4]
C. [－4，4)
D. (－∞，－4)∪[－2，＋∞)
二、 多項選擇題
8 已知函數f(x)＝ln (x2＋ax－a)，則下列說法中正確的是(　　)
A. 若f(x)的定義域為R，則－4≤a≤0
B. 若f(x)的值域為R，則a≤－4或 a≥0
C. 若a＝2，則f(x)的單調減區間為(－∞，－1)
D. 若f(x)在區間(－2，－1)上單調遞減，則a≤
9 (2024桂林期中)若函數f(x)＝x，則下列說法中正確的是(　　)
A. 函數f(x)的定義域為R
B. 當00
C. f(x)>1的解集為
D. f＝0
三、 填空題
10 (2025蕪湖期末)函數f(x)＝，x∈(，e2]的值域為________．
11 若函數f(x)＝logax(0＜a＜1)在區間[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，則a＝________．
12 已知函數f(x)＝loga(x2－ax＋12)在區間(2，3)上單調遞減，則實數a的取值范圍是__________．
四、 解答題
13 已知函數f(x)＝log2(4x－2×2x＋3).
(1) 求方程f(x)＝1的根；
(2) 求f(x)在區間[0，2]上的值域．
14 已知對數函數f(x)的圖象過點.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 解關于x的不等式：f(x＋4)≤(3x＋3).
15 已知函數f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1) 求函數f(x)的定義域；
(2) 若函數f(x)的最小值為－4，求實數a的值．
4．4.2　對數函數的圖象和性質(2)
一、 單項選擇題
1 下列不等式中，正確的是(　　)
A. < B. 1.70.3<0.93.1
C. log37>log57 D. log232 (2024昆明期末)若p：log2(a－1)<1，q：3a-1<9，則p是q的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
3 (2025九龍坡期末)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx為偶函數，則實數k的值為(　　)
A. － B. C. －1 D. 1
4 已知函數f(x)＝|lg x|，f(a)＝f(b)，aA. [2，＋∞)
B. (2 023，＋∞)
C. (2 024，＋∞)
D. (0，＋∞)
5 設f(x)是定義域為R的偶函數，且在區間(0，＋∞) 上單調遞減，則下列關系式中正確的是(　　)
A. f＞f()＞f()
B. f＞f()＞f()
C. f()＞f()＞f
D. f()＞f()＞f
6 (2025延慶期末)不等式log3x≥(x－1)的解集是(　　)
A. {x|1≤x≤3}
B. {x|1≤x≤4}
C. {x|x≥1}
D. {x|0≤x≤1或x≥3}
7 (2024六安期末)已知函數f(x)＝loga(＋－1)(a>1)，若對于定義域內的任意x1，總存在x2，使得f(x2)A. (2，6) B. [2，6)
C. (4，＋∞) D. [4，＋∞)
二、 多項選擇題
8 (2024南京師大附中月考)設函數f(x)＝lg ，則下列說法中正確的是(　　)
A. f(x)的定義域為(－1，1)
B. f(x)是奇函數
C. 對于函數f(x)定義域內的任意兩個不同的實數x1，x2，總滿足>1
D. 對于任意的x∈(－1，1)，都有f＝2f(x)
9 (2024重慶九龍坡期末)若0A. maC. logma三、 填空題
10 已知函數f(x)＝(t－2)xt是冪函數，則函數g(x)＝logt(x＋t)＋t的圖象恒過定點的坐標為________．
11 (2025榆林期末)若函數f(x)＝log3(x－a＋2)的圖象經過第一、二、三象限，則實數a的取值范圍為________．
12 函數y＝(x)2－x2＋5在區間[2，4]上的值域為________．
四、 解答題
13 (2025莆田二十四中月考)
(1) 求函數y＝(log2x)2＋log2x，x∈的值域；
(2) 解關于x的不等式：loga(x＋1)>loga(3－x2)(a>0，且a≠1).
14 (2025臨沂期末)已知函數f(x)＝log2(3＋x)＋log2(a－x)(a>0)為偶函數．
(1) 求實數a的值；
(2) 若f(m－1)15 (2024景德鎮期末)已知函數f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)(a>0，且a≠1).
(1) 當a＝2時，求函數f(x)的單調區間；
(2) 是否存在實數a，使得函數f(x)在區間上取得最大值2？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
4．4.2　對數函數的圖象和性質(3)
一、 單項選擇題
1 (2025南陽期末)已知f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在區間(0，4)上單調遞增，則實數a的取值范圍為(　　)
A. B.
C. (1，2) D. (1，2]
2 設函數f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在區間(－∞，0)上單調遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關系為(　　)
A. f(a＋1)＝f(2) B. f(a＋1)>f(2)
C. f(a＋1)3 (2024咸寧期末)函數f(x)＝ln (x2－2ax－3a)在區間(－∞，－1]上單調遞減的一個充分不必要條件是(　　)
A. {a|－1≤a≤1} B. {a|－1≤a<1}
C. {a|－1－1}
4 若奇函數f(x)在區間(－∞，0]上單調遞減，則不等式f(1)A. ∪(10，＋∞)
B.
C. (0，10)
D.
5 (2025泉州期末)函數f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則必有(　　)
A. a>1，1B. 0C. a>1，－2D. 06 (2025?？谄谀?已知函數f(x)＝loga(ax＋b)(a>0，且a≠1)的值域為R，則實數b的取值范圍是(　　)
A. (0，＋∞) B. [0，＋∞)
C. (－∞，0) D. (－∞，0]
7 (2024定西期末)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝－log2x－1，則不等式(x－1)f(x)>0的解集為(　　)
A. (－2，0)∪(1，2)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，－2)∪(1，2)
D. (－2，0)∪(2，＋∞)
二、 多項選擇題
8 (2025四川期末)已知函數f(x)＝lg (7－x)＋lg (x－3)，則下列說法中正確的是(　　)
A. f(x)的定義域為(3，7)
B. f(x)在定義域內單調遞減
C. f(x)的最大值為2lg 2
D. f(x)的圖象關于直線x＝5對稱
9 (2024重慶期末)已知函數f(x)＝log2(－x)＋3，則下列說法中正確的是(　　)
A. 函數f(x)的圖象關于點(0，3)對稱
B. f(ln 2)＋f＝6
C. 函數f(x)在定義域上單調遞增
D. 若實數a，b滿足f(a)＋f(b)>6，則a＋b<0
三、 填空題
10 (2024佛山鄭裕彤中學月考)不等式3x＋log2x>10的解集為________．
11 已知函數f(x)＝
有最小值，則f 的取值范圍為________．
12 如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，BC平行于x軸，頂點A，B和C分別在函數y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a>1)的圖象上，則實數a的值為________．
四、 解答題
13 已知函數f(x)＝logmx(m>0且m≠1)的圖象經過點(3，1).
(1) 解關于x的方程f2(x)＋(m－1)f(x)＋1－m2＝0；
(2) 若關于x的不等式[1＋f(x)]·[a－f(x)]>0的解集是，求實數a的值．
14 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝x.
(1) 求函數f(x)的解析式；
(2) 解不等式f(x2－1)>－2.
15 (2024河北期末)已知函數f(x)＝(6－x)－(6＋x).
(1) 判斷函數f(x)的奇偶性；
(2) 判斷函數f(x)的單調性；
(3) 若f(2k＋1)4．4.2　對數函數的圖象和性質(1)
1. A　因為y＝x＝－log4x，所以函數y＝log4x與y＝x的圖象關于x軸對稱．
2. D　由指數函數的單調性可知21.1>20.8>1，即b>c>1，又03. D　令x＋3＝1，則x＝－2，此時y＝5，故定點A的坐標為(－2，5).
4. D　函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，且f(－x)＝e|－x|＋lg |－x|＝e|x|＋lg |x|＝f(x)，所以函數f(x)為偶函數．又當x>0時，f(x)＝ex＋lg x，根據基本函數的性質知，函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．由對稱性知，函數f(x)在區間(－∞，0)上單調遞減．因為f(x＋1)>f(2x－1)，所以解得05. C　由題意，得x2－2x>0，解得x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，即函數f(x)的定義域為x∈(－∞，0)∪(2，＋∞).設t＝x2－2x，則y＝ln t．因為t＝x2－2x在區間(－∞，0)上單調遞減，在區間(2，＋∞)上單調遞增，且y＝ln t在定義域內單調遞增，所以f(x)＝ln (x2－2x)在區間(－∞，0)上單調遞減，在區間(2，＋∞)上單調遞增，即函數f(x)＝ln (x2－2x)的單調減區間為(－∞，0).
6. A　顯然函數f(x)＝ax＋loga(x＋1)在區間[0，1]上是單調的，所以函數f(x)在區間[0，1]上的最大值和最小值之和為f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a，解得a＝，所以g(x)＝x2＋x＋1＝(x＋1)2＋在區間[－2，－1]上單調遞減，在區間(－1，2]上單調遞增，所以g(x)＝x2＋x＋1在區間[－2，2]上的值域為.
7. C　因為函數f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區間(－∞，－2]上單調遞減，設g(x)＝x2－ax－3a，所以g(x)＝x2－ax－3a區間(－∞，－2]上單調遞減且恒大于0，則≥－2，且g(－2)>0，解得實數a的取值范圍是[－4，4).
8. BD　對于A，由f(x)的定義域為R，得Δ＝a2＋4a<0，解得－49. BD　對于A，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，故A錯誤；對于B，f(x)＝x在區間(0，＋∞)上單調遞減，當01＝0，故B正確；對于C，因為f(x)＝x在區間(0，＋∞)上單調遞減，又f(x)>1，即x>，所以010. [1，＋∞)　因為x∈(，e2]，所以ln x＋1∈(0，3]，則∈[1，＋∞)，即函數f(x)的值域為[1，＋∞).
11. 　因為0＜a＜1，所以函數f(x)＝logax是減函數，所以在區間[a，2a]上，f(x)min＝loga(2a)，f(x)max＝logaa＝1，所以loga(2a)＝，解得a＝.
12. (0，1)∪[6，7]　因為函數f(x)＝loga(x2－ax＋12)在區間(2，3)上單調遞減，所以或解得6≤a≤7或013. (1) 由log2(4x－2×2x＋3)＝1，
得4x－2×2x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，
所以2x＝1，解得x＝0.
(2) 令t＝2x，當x∈[0，2]時，t＝2x∈[1，4]，
則y＝log2(t2－2t＋3)，
因為h(t)＝t2－2t＋3在t∈[1，4]上單調遞增，
所以h(t)∈[2，11]，
又由復合函數的單調性可知，y＝log2(t2－2t＋3)在t∈[1，4]上單調遞增，
故y＝log2(t2－2t＋3)∈[1，log211]，
即f(x)在區間[0，2]上的值域為[1，log211].
14. (1) 設f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
將點代入上式，得a＝，
所以f(x)＝x.
(2) 由f(x＋4)＝(x＋4)≤(3x＋3)，
得解得－1所以原不等式的解集為.
15. (1) 要使函數有意義，則需滿足
解得－3所以函數f(x)的定義域為(－3，1).
(2) 函數可化為f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
因為－3因為0即f(x)min＝loga4.
由loga4＝－4，得a-4＝4，所以a＝4－＝.
4．4.2　對數函數的圖象和性質(2)
1. C　對于A，因為y＝x為減函數，<，所以>，故A錯誤；對于B，因為y＝1.7x為增函數，y＝0.9x為減函數，所以1.70.3>1.70＝1＝0.90>0.93.1，故B錯誤；對于C，在同一坐標中畫出y＝log3x與y＝log5x的圖象如圖所示，由圖可知log37>log57，故C正確；對于D，因為log47＝log227＝log27＝log2，y＝log2x是區間(0，＋∞)上的增函數，<3，所以log23>log2＝log47，故D錯誤．
2. A　對于p，由log2(a－1)<1＝log22，得03. A　因為f(x)＝log4(4x＋1)＋kx為偶函數，所以f(x)－f(－x)＝[log4(4x＋1)＋kx]－[log4(4－x＋1)－kx]＝log4＋2kx＝log4＋2kx＝(2k＋1)x＝0.因為x不恒為0，所以2k＋1＝0，解得k＝－.
4. C　由05. C　因為f(x)是定義域為R的偶函數，所以f＝f(log34).因為log34>log33＝1，1＝20>>>0，所以log34>>>0.又f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，所以f(log34)f()>f.
6. A　在同一坐標系內作出函數y＝log3x，y＝(x－1)的圖象如圖，觀察圖象知，當且僅當1≤x≤3時，函數y＝log3x的圖象不在直線y＝(x－1)的下方，所以不等式log3x≥(x－1)的解集是{x|1≤x≤3}．
7. D　當x<0或x＝0時，函數無意義，所以x>0.因為對于定義域內的任意x1，總存在x2，使得f(x2)1)，則函數g(x)在定義域內無最小值或g(x)min≤0.因為當a>1時，函數g(x)在區間(0，]上單調遞減，在區間[，＋∞)上單調遞增，所以g(x)min＝g()＝＋－1＝－1≤0，解得a≥4，即實數a的取值范圍是[4，＋∞).
8. ABD　對于A，由>0，解得－19. BD　對于A，因為0mb，故A錯誤；對于B，因為0logmb，故C錯誤；對于D，因為0logmb>0，則0<<，即logam10. (－2，3)　由f(x)＝(t－2)xt是冪函數，得t＝3，故g(x)＝log3(x＋3)＋3，令x＝－2，得g(x)的圖象過定點(－2，3).
11. (－∞，1)　由對數函數的性質，得x－a＋2>0，解得x>a－2，則函數f(x)的定義域為(a－2，＋∞).又函數f(x)的圖象經過第一、二、三象限，所以f(0)>0，即log3(0－a＋2)>0，即log3(2－a)>log31，則2－a>1，解得a<1.
12. 　令t＝x.因為2≤x≤4，所以－1≤t≤－，則y＝(x)2－2x＋5＝(t－1)2＋4.又因為函數y＝(t－1)2＋4在區間上單調遞減，則當t＝－時函數有最小值；當t＝－1時函數有最大值8，所以函數y＝(x)2－x2＋5在區間[2，4]上的值域為.
13. (1) 令t＝log2x，由x∈，得t∈[－1，1]，
則原函數變為y＝t2＋t＝－，t∈[－1，1].
因為函數y＝t2＋t＝－的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線t＝－，
所以當t＝－時，y取最小值－；
當t＝1時，y取最大值2，
所以原函數的值域為.
(2) 當a>1時，原不等式可化為
解得1當0解得－1綜上，當a>1時，原不等式的解集為{x|114. (1) 因為a>0，所以f(x)的定義域為(－3，a).
又因為f(x)為偶函數，
所以f(x)的定義域關于原點對稱，可得a＝3，
此時f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，f(－x)＝log2(3－x)＋log2(3＋x)，滿足f(－x)＝f(x)，
故a＝3.
(2) 由(1)知f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，
則f(m－1)＝log2(2＋m)＋log2(4－m).
由f(m－1)解得－2故實數m的取值范圍為(－2，－1)∪(3，4).
15. (1) 由題意，得解得－2即函數f(x)的定義域為(－2，1).
當a＝2時，f(x)＝log2(x＋2)＋log2(1－x)＝log2(－x2－x＋2).
令t＝－x2－x＋2，則y＝log2t，
由對數函數的單調性可知函數y＝log2t在區間(0，＋∞)上單調遞增．
函數t＝－x2－x＋2圖象的對稱軸為直線x＝－，
當x∈(－2，1)時，函數t＝－x2－x＋2在區間(－2，－]上單調遞增，在區間[－，1)上單調遞減，
所以由復合函數的單調性，得函數f(x)的單調增區間為(－2，－)，單調減區間為(－，1).
(2) f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)＝loga(－x2－x＋2)(a>0，且a≠1)，
令y＝－x2－x＋2＝－(x＋)2＋，
由－1≤x≤，得≤y≤，
則y＝－(x＋)2＋的值域為[，].
當0所以函數f(x)在區間[－1，]上的最大值為loga，
則loga＝2，解得a＝<1，滿足題意；
當a>1時，y＝logax在區間[，]上單調遞增，
所以函數f(x)在區間[－1，]上的最大值為loga，
則loga＝2，解得a＝>1，滿足題意．
綜上，存在滿足題意的實數a，實數a的值為或.
4．4.2　對數函數的圖象和性質(3)
1. B　因為a>0，所以u＝2－ax在區間(0，4)上單調遞減，又f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在區間(0，4)上單調遞增，所以解得02. B　易知f(x)為偶函數，所以函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，所以0f(2).
3. C　令t(x)＝x2－2ax－3a，則y＝ln t，由復合函數的單調性可知t(x)＝x2－2ax－3a在區間(－∞，－1]上單調遞減，則解得－1≤a<1，故選C.
4. C　因為奇函數f(x)在區間(－∞，0]上單調遞減，所以f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，所以f(x)在R上單調遞減，所以由f(1)5. A　由圖象可知，f(x)在定義域上單調遞增，又y＝x＋b是增函數，根據復合函數單調性同增異減可知a>1，而f(0)＝logab∈(0，1)，所以16. D　令t＝ax＋b，則g(t)＝logat，要使函數f(x)＝loga(ax＋b)(a>0，且a≠1)的值域為R，則(0，＋∞)是函數t＝ax＋b的值域的子集．又當x∈R時，ax>0，所以b≤0，即實數b的取值范圍是(－∞，0].
7. A　當x>0時，f(x)＝－log2x－1，則f(2)＝－log22－1＝0.因為y＝與y＝－log2x在區間(0，＋∞)上都單調遞減，所以f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減．又f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(x)在區間(－∞，0)上單調遞減，且f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)＝0.由(x－1)f(x)>0，得或解得18. ACD　由解得39. ABD　f(－x)＝log2(＋x)＋3＝－log2(－x)＋3，則f(－x)＋f(x)＝6，可得f(x)的圖象關于點(0，3)對稱，所以f(ln 2)＋f(ln )＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝6，故AB正確；t＝－x＝單調遞減，又y＝log2t＋3單調遞增，所以f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞減．又f(x)的圖象關于點(0，3)對稱，所以f(x)在定義域R上單調遞減，故C錯誤；由f(a)>6－f(b)＝f(－b)，結合C可知a<－b，則a＋b<0，故D正確．故選ABD.
10. {x|x>2}　設f(x)＝3x＋log2x，易得該函數在區間(0，＋∞)上單調遞增．因為f(2)＝32＋log22＝10，所以不等式3x＋log2x>10，即f(x)>f(2)，解得x>2.
11. [2，3)　當x≤2時，f(x)＝(x－1)2＋2的最小值為2；當x>2時，要使f(x)存在最小值，必有a＋log22≥2，解得a≥1，所以0<≤1，所以f＝＋2∈[2，3).
12. 　設C(x0，logax0)，則2logaxB＝logax0，即 x＝x0，解得xB＝，故xC－xB＝x0－＝2，解得 x0＝4，即B(2，2loga2)，A(2，3loga2).由AB＝2，得3loga2－2loga2＝2，解得a＝.
13. (1) 由題意，得f(3)＝1，即logm3＝1，
解得m＝3，可得f(x)＝log3x，
則f2(x)＋(m－1)f(x)＋1－m2＝0，
即f2(x)＋2f(x)－8＝0，
解得f(x)＝2或f(x)＝－4，
即log3x＝2或log3x＝－4，
解得x＝9或x＝，
所以原方程的解為x＝9或x＝.
(2) 由(1)知函數f(x)＝log3x，
由x∈，得log3x∈(－1，2).
又[1＋f(x)]·[a－f(x)]>0，
則(log3x＋1)·(log3x－a)<0，令log3x＝t，
可得關于t的一元二次不等式(t＋1)·(t－a)<0的解集為(－1，2)，
所以－1，2是關于t的方程(t＋1)·(t－a)＝0的兩根，則a＝2，
故實數a的值為2.
14. (1) 當x<0時，－x>0，則f(－x)＝(－x).
因為函數f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)，
所以函數f(x)的解析式為
f(x)＝
(2) 因為f(4)＝4＝－2，且f(x)是偶函數，
所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4).
又因為函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，
所以0<|x2－1|<4，解得－而當x2－1＝0，即x＝±1時，f(0)＝0>－2成立，
所以－即原不等式的解集為(－，).
15. (1) 由題意，得函數f(x)的定義域為(－6，6)，關于原點對稱．
又f(－x)＝(6＋x)－(6－x)＝－[(6－x)－(6＋x)]＝－f(x)，
所以函數f(x)為奇函數．
(2) f(x)＝(6－x)－(6＋x)＝＝(－1＋).
因為函數y＝－1＋在區間(－6，6)上單調遞減，
且y＝x在區間(0，＋∞)上單調遞減，
所以f(x)在區間(－6，6)上單調遞增．
(3) 因為f(x)在區間(－6，6)上單調遞增，
所以由f(2k＋1)解得－1故實數k的取值范圍為.

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