資源簡介

4．4.3　不同函數(shù)增長的差異
一、 單項(xiàng)選擇題
1 下列函數(shù)中，隨x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A. y＝ex B. y＝ln x
C. y＝3x D. y＝e－x
2 (2024太原段測)若函數(shù)y1＝a·log2x，y2＝b·2x，y3＝c·2x，則由如圖所示的圖象可得f(x)，g(x)，h(x)對應(yīng)的函數(shù)依次為(　　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
3 若函數(shù)y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，則由表中數(shù)據(jù)確定f(x)，g(x)，h(x)依次對應(yīng)函數(shù)(　　)
x f(x) g(x) h(x)
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
4 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報(bào)如圖所示. 橫軸為投資時(shí)間，縱軸為每天的回報(bào)，根據(jù)以上信息，若使回報(bào)最多，則下列說法中錯(cuò)誤的是(　　)
A. 投資3天以內(nèi)(含3天)，采用方案一
B. 投資4天，不采用方案三
C. 投資6天，采用方案一
D. 投資12天，采用方案二
5 (2024南京金陵中學(xué)期初)已知函數(shù)f(x)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能為(　　)
x －2 －1 0 1 2 3 5
f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A. f(x)＝ka|x|＋b B. f(x)＝kxex＋b
C. f(x)＝k|x|＋b D. f(x)＝k(x－1)2＋b
6 四人賽跑，其跑過的路程f(x)和時(shí)間x的關(guān)系分別是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他們一直跑下去，那么最終跑到最前面的人所具有的函數(shù)關(guān)系是(　　)
A. f1(x)＝x　 B. f3(x)＝log2(x＋1)
C. f2(x)＝x　 D. f4(x)＝log8(x＋1)
7 某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，則下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是(　　)
A. y＝2t2 B. y＝log2t
C. y＝t3 D. y＝2t
二、 多項(xiàng)選擇題
8 某工廠八年來的產(chǎn)品累積產(chǎn)量C(即前t年的年產(chǎn)量之和)與時(shí)間t(單位：年)的函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法中正確的是(　　)
A. 前三年中，總產(chǎn)量增長的速度越來越慢
B. 前三年中，年產(chǎn)量增長的速度越來越快
C. 第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)
D. 第三年后，年產(chǎn)量保持不變
9 (2024大同月考)下列說法中，正確的是(　　)
A. 函數(shù)y＝x減小的速度越來越慢
B. 在指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)中，當(dāng)x>0時(shí)，底數(shù)a越大，其增長速度越快
C. 不存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x>m時(shí)，1.1x>x100
D. 當(dāng)a>1，k>0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)，對任意的x，總有l(wèi)ogax三、 填空題
10 已知1611 對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的大致圖象如圖所示，已知a的取值為，，，，則曲線C1，C2，C3，C4對應(yīng)的a的值依次是________．
12 在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了如下一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：
x 2 2.99 4 5 6.02
y 4 8.02 15.99 32 64.01
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地描述這些數(shù)據(jù)的規(guī)律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x.其中最接近的一個(gè)是________．(填序號)
四、 解答題
13 函數(shù)y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的圖象如圖所示．
(1) 試說明哪個(gè)函數(shù)對應(yīng)于哪個(gè)圖象，并解釋原因；
(2) 以已有圖象為基礎(chǔ)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出y＝x，y＝x，y＝x的圖象；
(3) 從(2)的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？
14 比較y＝x1.000 1和y＝100x＋1 000在區(qū)間[0，＋∞)上增長的快慢．
15 假設(shè)有一套住房的房價(jià)從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元．下表給出了兩種價(jià)格增長方式，其中P1是按直線上升的房價(jià)，P2是按指數(shù)增長的房價(jià)，t是2002年以來經(jīng)過的年數(shù)．
t 0 5 10 15 20
P1/萬元 20 40
P2/萬元 20 40
(1) 求函數(shù)P1＝f(t)的解析式；
(2) 求函數(shù)P2＝g(t)的解析式；
(3) 完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后比較兩種價(jià)格增長方式的差異．
4．4.3　不同函數(shù)增長的差異
1. A　y＝e－x＝()x，又0<<1，所以y＝e－x隨x的增大而減小，故D不正確；y＝ex，y＝ln x與y＝3x都是增函數(shù)，因?yàn)閥＝ex為指數(shù)函數(shù)，y＝ln x為對數(shù)函數(shù)，y＝3x為一次函數(shù)，所以隨x的增大而增大且速度最快的是y＝ex.
2. B　由函數(shù)圖象，得f(x)為正比例函數(shù)，其對應(yīng)函數(shù)為y2；g(x)為對數(shù)型函數(shù)，其對應(yīng)函數(shù)為y1；h(x)為指數(shù)型函數(shù)，其對應(yīng)函數(shù)為y3.
3. D　因?yàn)椋?5＝，＝4＝，所以f(x)＝y(tǒng)1；因?yàn)椋?25＝，＝8＝，所以g(x)＝y(tǒng)3；因?yàn)椋?6＝，＝32＝，所以h(x)＝y(tǒng)2.
4. D　由圖可知，投資3天以內(nèi)(含3天)，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得方案一的回報(bào)最多，故A正確；投資4天，方案一的回報(bào)約為40×4＝160(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋30＋40＝100(元)，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，故B正確；投資6天，方案一的回報(bào)約為40×6＝240(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一的回報(bào)比方案二、方案三都高，故C正確；投資12天，根據(jù)圖象的變化可知，方案三的回報(bào)高很多，所以采用方案三，故D錯(cuò)誤．
5. A　由函數(shù)f(x)的數(shù)據(jù)可知，f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，排除B，D；當(dāng)x>0時(shí)，由函數(shù)f(x)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)f(x)增長越來越快，排除C，故選A.
6. C　f1(x)是冪函數(shù)，f2(x)是一次函數(shù)，f1(x)的冪指數(shù)是，故當(dāng)x越大時(shí)，f2(x)的函數(shù)圖象在f1(x)的函數(shù)圖象上方，f3(x)與f4(x)是對數(shù)型函數(shù)，其增長速度越來越慢，故這兩函數(shù)對應(yīng)的兩人最終會(huì)落在后面，所以當(dāng)四人一直跑下去，第二個(gè)人會(huì)跑在最前面，其對應(yīng)的函數(shù)是f2(x).
7. B　由散點(diǎn)圖知，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝1，且圖象增長緩慢，因此只有B最接近．
8. ACD　由函數(shù)圖象可知，在區(qū)間[0，3]上，圖象是凸起上升的狀態(tài)，表明總產(chǎn)量的增長速度越來越慢，故A正確；由總產(chǎn)量的增長越來越慢可知，年產(chǎn)量逐年減少，故B錯(cuò)誤；在區(qū)間(3，8]上，圖象是一條水平直線，表明總產(chǎn)量保持不變，即年產(chǎn)量為0，故C，D正確．故選ACD.
9. AB　對于A，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y＝x減小的速度越來越慢，故A正確；對于B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)中，當(dāng)x＞0時(shí)，底數(shù)a越大，其增長速度越快，故B正確；對于C，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，隨著x的增大，y＝1.1x的增長速度越來越快，最終會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過冪函數(shù)y＝x100的增長速度，因此一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x>m時(shí)，1.1x>x100，故C不正確；對于D，取a＝2，k＝4，由圖知，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)，對任意的x，logax10. x>log2x　作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象如圖，由圖象可知，在區(qū)間(0，4)內(nèi)，x>log2x；當(dāng)x＝4或x＝16時(shí)，x＝log2x；在區(qū)間(4，16)內(nèi)，xlog2x.
11. ，，，　當(dāng)a>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象是上升的；當(dāng)01的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)上，底數(shù)越大越靠近x軸；對于底數(shù)012. ④　由于直線是均勻增加的，故①不正確；由表中數(shù)據(jù)可得自變量近似等速增加，函數(shù)值近似成倍增加，故函數(shù)y＝2x最接近．
13. (1) 當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，在直線x＝1的右側(cè)，底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，所以①對應(yīng)函數(shù)y＝lg x，②對應(yīng)函數(shù)y＝log5x，③對應(yīng)函數(shù)y＝log2x.
(2)
(3) 從(2)的圖中發(fā)現(xiàn)y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的圖象分別與y＝x，y＝x，y＝x的圖象關(guān)于x軸對稱．
14. 當(dāng)x>1 000時(shí)，有101x>100x＋1 000，
則有>＝，
所以對任意正數(shù)M>1，當(dāng)x>(101M)10 000>1 000時(shí)，
有x1.000 1＝x0.000 1·x>[(101M)10 000]0.000 1·x＝M·101x>M(100x＋1 000)，
這表明無論M多大，當(dāng)x大到一定程度，y＝x1.000 1就會(huì)比y＝100x＋1 000的M倍還大，
所以當(dāng)x大到一定程度，y＝x1.000 1在區(qū)間[0，＋∞)上比y＝100x＋1 000在區(qū)間[0，＋∞)上增長快．
15. (1) 設(shè)f(t)＝kt＋b(k≠0)，t≥0.
由f(0)＝k×0＋b＝20，f(10)＝k×10＋b＝40，
解得k＝2，b＝20，即P1＝2t＋20，t≥0.
(2) 設(shè)g(t)＝a0at，t≥0.
由g(0)＝20，g(10)＝40，得a0＝20，a＝2，
即P2＝20×2，t≥0.
(3) 填表如下：
t 0 5 10 15 20
P1/萬元 20 30 40 50 60
P2/萬元 20 20 40 40 80
作函數(shù)圖象如下：
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象，若房價(jià)按函數(shù)P1＝f(t)呈直線上升，每年的增加量相同，保持相同的增長速度；若按函數(shù)P2＝g(t)呈指數(shù)增長，每年的增加量越來越大，開始增長慢，然后會(huì)越來越快，但保持相同的增長比例．

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