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4.5.1　函數的零點與方程的解
一、 單項選擇題
1 (2025石家莊期末)函數f(x)＝ln x－的零點所在的區間是(　　)
A. (1，2) B. (2，e)
C. (e，3) D. (3，e2)
2 (2025齊齊哈爾期末)已知函數f(x)＝x3－x－5存在唯一的零點，則零點所在的區間是(　　)
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
3 設f(x)在區間[a，b]上是連續的單調函數，且f(a)·f(b)<0，則方程f(x)＝0在閉區間[a，b]內(　　)
A. 至少有一實根 B. 至多有一實根
C. 沒有實根 D. 必有唯一實根
4 已知函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，有如下的對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
則函數y＝f(x)在區間[1，6]上的零點至少有(　　)
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
5 (2024北京密云期末)設c∈R，函數f(x)＝若f(x)恰有一個零點，則實數c的取值范圍是(　　)
A. [－2，0] B. {0}∪(－∞，－2]
C. [－1，0] D. {0}∪(－∞，－1]
6 (2025廣東期末)已知函數f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(　　)
A. x1>x2>x3 B. x3>x2>x1
C. x1>x3>x2 D. x2>x1>x3
7 (2025西安期末)已知定義在區間[－1，6]上的函數f(x)＝
若關于x的方程[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0有8個不同的實數根，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (0，1) B. [0，1]
C. (1，2) D. [1，2]
二、 多項選擇題
8 若函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象為一條連續不斷的曲線，則下列說法中正確的是(　　)
A. 若f(a)f(b)＜0，則存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0
B. 若f(a)f(b)＞0，則不存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0
C. 若任意實數c∈[a，b]使得f(c)≠0，則f(a)f(b)＞0
D. 若存在實數c∈(a，b)使得f(c)＝0，則f(a)f(b)＜0
9 若函數f(x)的唯一零點同時在區間(0，8)，(0，4)，(0，2)內，則下列說法中不正確的是(　　)
A. 函數f(x)在區間(0，1)內有零點
B. 函數f(x)在區間(0，1)或(1，2)內有零點
C. 函數f(x)在區間(1，8)內無零點
D. 函數f(x)在區間[2，8)內無零點
三、 填空題
10 (2024昆明行知中學月考)函數f(x)＝x－|ln x|的零點個數為________．
11 若函數f(x)＝x2＋ax－在區間(－1，1)上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是________．
12 若函數f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零點，則實數a的取值范圍是________．
四、 解答題
13 已知函數f(x)＝ln x＋x2－a有一個零點在區間(1，2)內，求實數a的取值范圍．
14 (2025九江期末)已知函數f(x)＝2x＋－1(a∈R).
(1) 若f(x)為偶函數，求實數a的值；
(2) 討論f(x)的零點個數．
15 (2024武漢期末)已知函數f(x)＝log2(4x＋1)＋2kx為偶函數．
(1) 求實數k的值；
(2) 解關于m的不等式f(2m＋1)(3) 設g(x)＝log2(a·2x＋2a)，若函數f(x)與g(x)的圖象有2個公共點，求實數a的取值范圍．
4.5.1　函數的零點與方程的解
1. A　f(x)＝ln x－的定義域為(0，＋∞)，又y＝ln x與y＝－在區間(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)＝ln x－在區間(0，＋∞)上單調遞增．又f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－>0，所以f(1)·f(2)<0，根據函數的零點存在定理可得函數f(x)＝ln x－的零點所在的區間為(1，2).
2. B　因為f(0)＝－5<0，f(1)＝－5<0，f(2)＝1>0，f(3)＝19>0，f(4)＝55>0，故零點所在的區間為(1，2).
3. D　由題意知，函數f(x)的圖象在區間[a，b]內與x軸只有一個交點，即方程f(x)＝0在區間[a，b]內只有一個實根．
4. B　因為f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，所以f(x)在區間(2，3)，(3，4)，(4，5)內至少各有一個零點，故f(x)在區間[1，6]上的零點至少有3個．
5. D　若c>0，當x≥c時，x＋c≥2c>0，此時函數y＝x＋c無零點，當xc>0，此時函數y＝2x＋c無零點，所以f(x)無零點，不符合題意；若c＝0，則f(x)＝畫出函數f(x)的圖象如圖，由圖可知，當 c＝0時，函數f(x)恰有一個零點0，滿足題意；若c<0，當x≥c時，由x＋c＝0，得x＝－c，此時函數y＝x＋c恰有一個零點－c，要使函數f(x)恰有一個零點，則當x6. B　令f(x)＝0，即2x＝－x；令g(x)＝0，即log2x＝－x；令h(x)＝0，即log2x＝，則三個函數的零點即為對應兩函數圖象交點的橫坐標，分別作出y＝2x，y＝log2x，y＝和y＝－x的圖象如圖，由圖象可知x3>x2>x1.
7. A　作出函數y＝f(x)的圖象如圖，由[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0得[f(x)－1][f(x)－a]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝a.又關于x的方程[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0有8個不同的實數根，而直線y＝1與函數y＝f(x)的圖象有4個交點，即方程f(x)＝1有4個不同的實根，所以直線y＝a與函數y＝f(x)的圖象有4個交點，由圖象得08. AC　由零點存在定理知，A正確；對于函數f(x)＝x2, f(－1)f(1)>0，但f(0)＝0，故B錯誤；因為任意實數c∈[a，b]使得f(c)≠0，所以f(x)在區間[a，b]上沒有零點．又f(x)在區間[a，b]上的圖象為一條連續不斷的曲線，所以f(a)與f(b)同正或同負，即f(a)f(b)＞0，故C正確；對于函數f(x)＝x2，f(0)＝0，但f(－1)f(1)>0，故D錯誤．故選AC.
9. ABC　因為函數f(x)唯一的一個零點同時在區間(0，8)，(0，4)，(0，2)內，所以函數f(x)唯一的一個零點在區間(0，2)內，可知函數f(x)在區間[2，8)內無零點．故A，B，C不正確，D正確．故選ABC.
10. 2　函數f(x)＝x－|ln x|的零點個數，等價于方程x－|ln x|＝0解的個數，也等價于y＝x與y＝|ln x|圖象的交點個數，作圖如下，由圖可得y＝x與y＝|ln x|圖象的交點個數為2.
11. 　若函數f(x)＝x2＋ax－在區間(－1，1)上有兩個不同的零點，則解得012. 　因為函數f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零點，所以方程4x－2x－a＝0在區間[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在區間[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可變形為a＝－.因為x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈，所以實數 a的取值范圍是.
13. 因為函數f(x)＝ln x＋x2－a在區間(1，2)上單調遞增，且由題意知f(1)·f(2)＜0，
即(ln 1＋1－a)·(ln 2＋4－a)＜0，
解得1＜a＜4＋ln 2，
故實數a的取值范圍為(1，4＋ln 2).
14. (1) 由題意，得f(－x)＝f(x)，
即2x＋－1＝2－x＋－1，
即(a－1)(2x－2－x)＝0恒成立，
故a＝1.
(2) 令f(x)＝0，得a＝－(2x)2＋2x.
設t＝2x，則a＝－t2＋t＝－2＋(t>0)，
易得函數y＝－2＋在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，且最大值為，
當a>時，f(x)無零點；
當a＝或a≤0時，f(x)有一個零點；
當015. (1) 對任意的x∈R，4x＋1>0，
所以函數f(x)＝log2(4x＋1)＋2kx的定義域為R.
因為函數f(x)＝log2(4x＋1)＋2kx為偶函數，
所以f(－x)＝f(x)，
即log2(4－x＋1)－2kx＝log2(4x＋1)＋2kx，
所以4kx＝log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝log2＝log2＝log2＝log22-2x＝－2x，
故k＝－.
(2) f(x)＝log2(4x＋1)－x＝log2(4x＋1)－log22x＝log2＝log2(2x＋2－x)，
令u＝2x＋2－x，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1>x2，
則2x1>2x2≥1，x1＋x2>0，則2x1＋x2>1，
所以u1－u2＝(2x1＋)－(2x2＋)
＝(2x1－2x2)＋(－)
＝(2x1－2x2)－
＝>0，
即u1>u2，
所以函數u＝2x＋2－x在區間[0，＋∞)上單調遞增．
又因為函數y＝log2u在區間(0，＋∞)上單調遞增，
所以函數f(x)＝log2(2x＋2－x)在區間[0，＋∞)上單調遞增．
又f(x)為偶函數，所以f(x)在區間(－∞，0)上單調遞減．
由f(2m＋1)所以|2m＋1|<|m－2|，即(2m＋1)2<(m－2)2，
整理可得(m＋3)(3m－1)<0，解得－3即原不等式的解集為(－3，).
(3) 由g(x)＝f(x)，得log2(a·2x＋2a)＝log2(2x＋2－x)，
可得a·2x＋2a＝2x＋2－x，
即(a－1)·22x＋2a·2x－1＝0.
因為a(2x＋2)>0，所以a>0.
設t＝2x>0，則(a－1)t2＋2at－1＝0，
又函數t＝2x在R上單調遞增，
所以由題意可知，關于t的方程(a－1)t2＋2at－1＝0有兩個不等的正根，
則有解得即實數a的取值范圍為(，1).

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