資源簡介

4．5.2　用二分法求方程的近似解
一、 單項選擇題
1 (2025北京期末)設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0的近似解的過程中，有f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，則該方程的根所在的區間為(　　)
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5)
C. (1.5，2) D. 不能確定
2 (2025淄博期末)下列函數的零點不能用二分法求出的是(　　)
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝x＋－4
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x＋1
3 若函數f(x)的圖象在區間[a，b]上連續，且同時滿足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f＞0，則下列說法中一定正確的是(　　)
A. f(x)在區間上有零點
B. f(x)在區間上有零點
C. f(x)在區間上無零點
D. f(x)在區間上無零點
4 已知函數f(x)在區間(10，12)內有一個零點，要使零點近似值的精確度為0.001，若只從二等分區間的角度來考慮，則對區間(10，12)至少需要二等分(　　)
A. 8次 B. 9次 C. 10次 D. 11次
5 用二分法求方程log8x－＝0的近似解時，所取的第一個區間可以是(　　)
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
6 (2024昆明期末)若函數y＝f(x)的一個正零點用二分法計算，零點附近函數值的參考數據如下：f(1) ＝－2，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.406 25)＝－0.054，f(1.437 5)＝0.162，f(1.6)＝0.625，則方程f(x)＝0的一個近似根(精確度為0.1)為(　　)
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
7 對于函數f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，則函數f(x)在區間(a，b)內(　　)
A. 可能有兩個零點 B. 一定沒有零點
C. 一定有零點 D. 至多有一個零點
二、 多項選擇題
8 (2025武漢六中月考)某同學利用二分法求函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點時，用計算器算得部分函數值如下表所示：
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
則函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點的近似值(精確度為0.1)可取為(　　)
A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58
9 已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝(x－2)(x－3)＋0.02，則下列關于y＝f(x)在R上零點的說法中正確的是(　　)
A. 有4個零點，其中兩個零點在區間(－3，－2)內
B. 有5個零點，其中兩個零點在區間(－3，－2)內
C. 有5個零點，都不在區間(0，2)內
D. 有5個零點，正零點有一個在區間(0，2)內，一個在區間(3，＋∞)內
三、 填空題
10 (2025上海奉賢期末)某同學利用二分法求函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點時，利用計算器分別計算了x＝2，x＝2.5，x＝3三處的函數值，為了尋求函數零點更精準的近似值，則下一次需計算x的值為________．
11 若函數f(x)的圖象是連續的，且函數f(x)的唯一零點同在區間(0，4)，(0，2)，，內，則與f(0)符號不同的是________．(填序號)
①f(4)；②f(2)；③f(1)；④f；⑤f.
12 某同學在借助題設給出的數據求方程lg x＝2－x的近似解(精確到0.1)時，設f(x)＝lg x＋x－2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4個x的值，計算其函數值的正負，并得出判斷：方程的近似解為x≈1.8，那么他所取的4個值中的第二個值為________．
四、 解答題
13 判斷函數f(x)＝2x3－1的零點個數，并用二分法求零點的近似值．(精確度為0.1)
14 求方程x2＝2x＋1的一個近似解．(精確度為0.1)
15 (2024新鄉月考)隨著社會的發展，電動車進入了千家萬戶，給我們的生活帶來了極大的方便．某品牌電動車2018年平均每臺電動車的生產成本為1 500元，并以純利潤15%標定出廠價.2019年開始，公司加強管理，降低生產成本.2022年平均每臺電動車盡管出廠價僅是2018年出廠價的75%，但卻實現了純利潤40%的高收益．若以2018年的生產成本為基數，用二分法求2019～2022年生產成本平均每年降低的百分數．(精確度為0.01，參考數據：0.554≈0.091 5，0.74＝0.240 1，0.84＝0.409 6，0.854≈0.522 0，0.8754≈0.586 2，0.887 54≈0.620 4，0.94＝0.656 1，0.881 254≈0.603 1)
4．5.2　用二分法求方程的近似解
1. B　因為f(x)＝3x＋3x－8是R上的增函數，且f(1.25)<0，f(1.5)>0，則f(1.25)·f(1.5)<0，所以根據零點存在定理可知，方程的根所在的區間為(1.25，1.5).
2. C　對于A，f(x)＝x3－1在R上單調遞增，且與x軸有唯一交點，交點兩側的函數值異號，故A中的零點可用二分法求解；對于B，當x<0時，f(x)＝x＋－4＝－－4≤－2－4＝－6，當且僅當x＝－1時，等號成立，無零點；當x>0時f(x)＝x＋－4≥2－4＝－2，當且僅當x＝1時，等號成立．又f(x)在區間(0，1)上單調遞減，在區間(1，＋∞)上單調遞增，此時有兩個零點x＝2±，且函數值在零點兩側異號，故B中的零點可用二分法求解；對于C，f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2只有一個零點x＝－，且在該零點左右兩邊的函數值都大于零，故C中的零點不能用二分法求解；對于D，f(x)＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，在區間(－∞，2)上單調遞增，在區間(2，＋∞)上單調遞減，所以f(x)max＝f(2)＝5>0，可得零點處的兩側函數值異號，故D中的零點可用二分法求解．
3. B　由題意，易得f(b)·f＜0，因此f(x)在區間上一定有零點，但在其他區間上可能有零點，也可能沒有零點．
4. D　設對區間(10，12)至少二等分n次，此時區間長度為2，則第n次二等分后區間長度為.由題意，得<0.001，所以2n>2 000，即n>log22 000.因為log21 0245. B　令f(x)＝log8x－.因為函數y＝log8x，y＝－在區間(0，＋∞)上都單調遞增，所以函數f(x)＝log8x－在區間(0，＋∞)上單調遞增．又f(1)＝－<0，f(2)＝log82－＝－＝>0，所以函數f(x)＝log8x－在區間(1，2)內有唯一零點，所以用二分法求方程log8x－＝0的近似解時，所取的第一個區間可以是(1，2).
6. C　因為f(1.437 5)>0，f(1.375)<0，所以f(1.437 5)f(1.375)<0，所以函數f(x)在區間(1.375，1.437 5)內有零點．又1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程f(x)＝0的一個近似根(精確度為0.1)是區間(1.375，1.437 5)內的任意一個值(包括端點值)，結合選項可知，1.4∈[1.375，1.437 5].
7. A　如圖，若函數f(x)的圖象及給定的區間(a，b)如圖1或圖2所示，可知C錯誤；若如圖3所示，可知B，D錯誤，A正確．
圖1 圖2 圖3
8. BC　因為函數f(x)＝ln x＋2x－6在其定義域上單調遞增，結合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的唯一近似解所在區間可以是(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)內，其區間長度分別為0.5，0.25，0.125，0.062 5.又精確度為0.1，所以方程ln x＋2x－6＝0的近似解在區間(2.5，2.562 5)上，則近似解可取為2.52，2.55.故選BC.
9. BC　①當x＞0時，f(x)的圖象可由拋物線y＝(x－2)(x－3)(與x軸交點的橫坐標為2，3)向上平移0.02個單位長度得到，可得f(x)在區間(2，3)內有兩個零點．②當x＜0時，f(x)＝－(x＋2)(x＋3)－0.02，同理可得f(x)在區間(－3，－2)內也有兩個零點．③因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，所以有五個零點．故選BC.
10. 2.75　因為f(2)＝ln 2－2<0，f(2.5)＝ln 2.5－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零點存在定理知，區間(2.5，3)內存在零點，下一步需計算＝2.75.
11. ①②④　由二分法的步驟可知，因為零點在區間(0，4)內，則有f(0)·f(4)<0，所以f(4)與f(0)符號不同，不妨設f(0)>0，f(4)<0，故①正確；取中點2，因為零點在區間(0，2)內，則有f(0)·f(2)<0，則f(0)>0，f(2)<0，故②正確；取中點1，因為零點在區間(1，2)內，則有f(1)·f(2)<0，則由f(2)<0知f(1)>0，故③錯誤； 取中點，因為零點在區間內，則有f(1)·f<0，則由f(1)>0知f<0，故④正確；取中點，因為零點在區間內，則有f·f<0，則由f<0知f>0，故⑤錯誤，所以與f(0)符號不同的是f(4)，f(2)，f.
12. 1.75　先判斷零點所在的區間為(1，2)，故用“二分法”取的第一個值為1.5，由于方程的近似解為x≈1.8，故零點所在的區間進一步確定為(1.5，2)，故取的第二個值為(1.5＋2)÷2＝1.75.
13. 因為f(x)＝2x3－1，
所以f(0)＝－1<0，f(1)＝2－1＝1>0.
因為f(0)·f(1)<0，所以f(x)在區間(0，1)內有零點．
又f(x)＝2x3－1是R上的增函數，
所以f(x)有且只有一個零點x0∈(0，1).
取區間(0，1)的中點x1＝0.5，f(0.5)＝2×0.53－1＝－0.75<0，
所以f(0.5)·f(1)<0，可得x0∈(0.5，1)；
取區間(0.5，1)的中點x2＝0.75，f(0.75)＝2×0.753－1＝－0.156 25<0，
所以f(0.75)·f(1)<0，可得x0∈(0.75，1)；
取區間(0.75，1)的中點x3＝0.875，f(0.875)＝2×0.8753－1≈0.339 8>0，
所以f(0.75)·f(0.875)<0，可得x0∈(0.75，0.875)；
取區間(0.75，0.875)的中點x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝2×0.812 53－1≈0.072 8>0，
所以f(0.75)·f(0.812 5)<0，可得x0∈(0.75，0.812 5).
因為|0.812 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以f(x)＝2x3－1零點的近似值可取為0.75.
14. 設f(x)＝x2－2x－1，
因為f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
且f(x)在區間(2，3)內單調遞增，
所以在區間(2，3)內，方程x2－2x－1＝0有唯一的實數根，設為x0.
取區間(2，3)的中點2.5，因為f(2.5)＝0.25>0，所以f(2)f(2.5)<0，此時x0∈(2，2.5)；
取區間(2，2.5)的中點2.25，因為f(2.25)＝－0.437 5<0，所以f(2.25)f(2.5)<0，此時x0∈(2.25，2.5)；
取區間(2.25，2.5)的中點2.375，因為f(2.375)<0，所以f(2.375)f(2.5)<0，此時x0∈(2.375，2.5)；
再取區間(2.375，2.5)的中點2.437 5，因為f(2.437 5)>0，所以f(2.375)f(2.437 5)<0，此時x0∈(2.375，2.437 5).
因為|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
所以方程x2＝2x＋1的一個精確度為0.1的近似解可取為2.437 5.
15. 設2022年每臺電動車的生產成本為M元，依題意得M(1＋40%)＝1500×(1＋15%)×75%，
解得M≈924，
所以2022年每臺電動車的生產成本約為924元．
設2019～2022年生產成本平均每年降低的百分數為x，
根據題意，得1 500(1－x)4＝924(0x 10% 15% 20% 30% 45%
f(x) 60.15 －141 －309.6 －563.85 －786.75
則f(0.1)·f(0.15)<0，故函數在區間(0.1，0.15)內有零點x0.
取區間(0.1，0.15)的中點x1＝0.125，f(0.125)≈－44.7，
所以f(0.125)·f(0.1)<0，可得x0∈(0.1，0.125).
取(0.1，0.125)的中點x2＝0.112 5，f(0.112 5)≈6.6，
所以f(0.112 5)·f(0.125)<0，可得x0∈(0.112 5，0.125)，
同理x0∈(0.112 5，0.118 75).
因為|0.118 75－0.112 5|＝0.006 25<0.01，
所以原方程的近似解可取為0.112 5，
故2019～2022年生產成本平均每年降低11.25%.

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